リーマンの再配列定理を使って級数を「お望みの実数」に収束させよう - tsujimotterのノートブック
今日のテーマは 「リーマンの再配列定理」 です。「条件収束する実数列の級数は、再配列によって任意の実数に収束させることができる」という主張です。何を言っているかわからないという方にも、これから詳しくは説明していきますのでご安心ください。 無限級数 が絶対収束するとは、各数列に絶対値をつけた が収束するということです。名前の通りですね。 対する条件収束とは、無限級数が絶対収束はしないが収束はすることを言います。 たとえば、平方数の逆数の和 は絶対収束しますが、自然数の逆数を足し引きする級数（交代級数） は条件収束します。後者が条件収束であることは、たとえばこちらの記事の最後に紹介されています： mathtrain.jp 「なぜ絶対収束か条件収束を気にするのか」と疑問に思った方もいるかもしれませんが、それにはワケがあります。 絶対収束する級数は、足し合わせる順番に関わらず同じ値に収束します。つ
「2乗してはじめて0になる数」とかあったら面白くないですか？ですよね - アジマティクス
「その数自体は0でないのに、2乗するとはじめて0になる数」ってなんですか？ そんな数あるはずがないと思いますか？ でももしそんな数を考えることができるなら、ちょっとワクワクすると思いませんか？ 今回はそんな謎の数のお話。 実数の中には、「2乗して0になる数」というのは0しかありません。 （2乗して0になる実数は0しかない図） ということは、「2乗してはじめて0になる数」というのがあるとしたら、それは実数ではありえません。 「1年A組にはメガネの人はいないので、メガネの人がいたとしたらその人は1年A組ではありえない」くらいの当たり前のことを言っています。 この辺の議論は、複素数で「」を導入したときと同じですね。 「実数の中には、2乗して-1になる数というのは存在しないので、それがあるとしたら実数ではありえない」ということで「虚数」であるが導入されるわけです。 それならばということで、ここでは
数学検定1級に9歳で最年少合格した少年に会ってきた話｜ヨビノリたくみ
ある日、テレビ局からメールが届いた。内容は要約すると以下の通りだ。 "数学検定1級に9歳で合格した安藤匠吾くんに取材をしているのだが、どうやって勉強したのかと聞くと、あなたのYouTubeチャンネルを愛用しているらしい。番組内でYouTubeの授業動画を使用させて頂けないか" え・・・、 ほんとに・・・？数検1級といえば、その試験範囲に大学数学(微分積分・線形代数・確率統計など)を含む、合格率が10%を切ることもある難関試験である。 それを小学4年生の子供が・・・？冷静なフリをして返信を済ませ、そっと喜びを噛み締めた。自分のYouTubeチャンネル(予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」：通称『ヨビノリ』)は主に大学レベルの数学や物理を扱うチャンネルであり、メインのターゲットはもちろん理系大学生である。 しかし、開設当初から「学校の勉強に満足ができない子に進んだ教材として利用してほしい」と
ノートの作り方（私家版） - 木曜不足
togetter.com 可積分系の研究者 takey_y さんによる、数学書の読み方、数学を勉強するときのノートの作り方。数学以外の（ちょっと難しいと感じる）科目にも応用可能と思われます。こういう骨の折れる作業を怠る人、怠らない人。これが数学や物理学を好きになるかならないかの分岐点な気がします。 Tsukuba.R #7 でたまたま「パターン認識と機械学習(PRML)」のお勉強に使っているノートを広げて話す機会があって、そんなノート作ってんのと驚かれたことに驚いたのだけど、この Togetter 見て、なんか納得した。 技術者界隈では時折「写経」って言葉が使われてるけど、本当に手でノートに写している人って実は少ないのかな。まさか本に載ってるコードを打ち込むことを「写経」とは言わんよなあ……。 逆に、他の人はどうやってこの手の本を勉強しているんだろう。 以下、自分流のノートの作り方。 PR
Detexify LaTeX handwritten symbol recognition
Did this help? Hosting Detexify costs money and if it helps you may consider helping to pay the hosting bill. Want a Mac app? Lucky you. The Mac app is finally stable enough. See how it works on Vimeo. Download the latest version here. Restriction: In addition to the LaTeX command the unlicensed version will copy a reminder to purchase a license to the clipboard when you select a symbol. You can p
Python でグラフ・(疎)行列計算するためのライブラリを紹介するよ - 武蔵野日記
PageRank とか HITS といったリンク解析ではグラフの計算が頻発するのだが、Python でそのあたり書くときの話をまとめてみる。グラフは行列で表現できる(ノード×ノード次元の行列 A を考えて、ノード i からノード j にエッジがあるとき、A[i,j] に値を入れておけばよい。無向グラフのときは A[i,j] = A[j,i] なので対称行列になる)ので、要は行列を手軽に扱えるライブラリの紹介である。 実は Python の行列演算ライブラリはどれも lapack/blas を内部的に呼んでいるので、C/C++ 等と比較してもそんなに遅くない。それどころか、自動的に並列化できるところは並列化してくれたりするので、まれに C より速いこともあるらしい。特に巨大なグラフを作る場合、ほとんどの処理は C などで書かれた関数に飛ぶので、速度的な問題は無視してもいいくらいである(逆に、
関数解析入門 II 積分・関数空間ノート1 桂田 祐史 2007 年 11 月 19 日 1自分のための注: ~/math/functional-analysis/functional-analysis-2.tex 目 次 第 1 章 Lebesgue 積分のいろは 2 1.1 測度空間の定義 . . . . . .
関数解析入門 II 積分・関数空間ノート1 桂田 祐史 2007 年 11 月 19 日 1自分のための注: ~/math/functional-analysis/functional-analysis-2.tex 目 次 第 1 章 Lebesgue 積分のいろは 2 1.1 測度空間の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 零集合、完備な測度空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 ほとんど至るところ等しい . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Beppo Levi の単調収束定理 .
数値計算法 - Katsurada Labo. Text
桂田研卒研ノート 主に数値計算法を中心に、 過去の卒研や院生ゼミで扱った題材についてまとめた (寄せ集めた) ものです。 (こんなの書きたくないのですが、 数値計算関係は学生が迷子になってしまう本が多くて…) プログラムについては、 「公開プログラムのページ」 を探した方がよいかも。 また、コンピューターの使いこなしについては、 「桂田研KnowHowページ」が参考になるかも。 最近更新したもの 2007年度卒研は、S-W 近似が少しだけ前進。ノウハウ系で色々前進があった。 ぼちぼち書いていきます。 『Laplace変換ノート』 (HTML), (PDF) (2008/3/25) 『音の取り扱いに関するメモ』 (HTML), (PDF) (2008/3/6) 『Laplacian と極座標』 (PDF)(2007/5/12) 『C言語これくらいは覚えよう』 (HTML), (PDF) 『熱
ハートのグラフ - Gemmaの日記
バレンタインのネタで雑誌に載ってました。 by Dwight Boddorf,American Mathematical Monthly Volume 115 Number 2 (February 2008) page 113 AdobeのAfterEffectsで、ブラシの位置をJavascriptでプログラムして、GIFに出力しました。
Paved by Roger Penrose - 書評 - The Road to Reality : 404 Blog Not Found
2006年04月18日14:30 カテゴリ書評/画評/品評Math Paved by Roger Penrose - 書評 - The Road to Reality いやあ、脱帽。 The Road to Reality Roger Penrose これはすごい本だ。まだ邦訳はないみたいだけど、オイラーの贈り物を気に入った人ならすぐ注文すべきだ。大丈夫。高校修了の数学力と英語力でちゃんと読み通せるから。騙されたと思って←をポチッとクリックするあるよ。 本書は、理論物理学の第一人者であるRoger Penroseによる、一般ピープル向けの物理および数学の教科書だ。そう。本当に真剣に一般ピープル向け。 The Emperor's New Mindを呼んだ人は、かえって身構えてしまうかも知れない。私もそうだった。ましてや、本書は1000ページを超える大著である。ところが、ページをたぐって見ると
確率微分方程式超入門 - 最尤日記
どうも世の中の確率微分方程式の入門はハイブロウすぎると思う。経済学のいくつかの講義ノートを見たけど、ボレル集合族とか確率空間とか伊藤積分とかはやりすぎ。そういうのは微分を学ぶのにいきなりε-δ論法から入門するみたいなものだ[1]。物理屋風の方法論なら以下のように簡単に伊藤の補題も導きだされる。きちんとしたのはその後でよい。 さて、確率微分方程式とは連続時間でランダムな擾乱を受ける系を記述する微分方程式である。 例えばブラウン運動を考えてみよう。ブラウン運動では粒子はランダムに動く。そして試行をくり返せばその統計集団は正規分布に従う。そして分布の標準偏差は時間tの時には √t に比例する。これがブラウン運動の基本的な性質である。 ブラウン運動を微視的に見れば、それぞれの微小時間Δtごとに大きさ b √Δtの正規分布に従う動きをしている。一般の微分方程式であればΔtのあいだの粒子の動きΔXは、
微積分講義ノート
使用上の注意 毎年のように大学初年級の微積分（に限りませんが） を教えていて最近思うことは、「適当」が通用しなくなってきたこと。 「教科書の通りにやらない」と怒られることもたびたびで、 「適当に計算練習を」とお願いしても、おろおろされるばかり。 これに懲りて、数年前から、いわゆる「教科書」は決めずに、 「自分に合った本を各自適当に用意するように」と妥協すれども、 不評の嵐やまず、このままでは、 「授業評価委員会」から不可の宣告を受けそうで、 どうにも困った挙句の講義ノートの公開。 せめて、世間の「教科書」の悪口の一つや二つ（十や二十）、 大目に見るだけの度量なき者は、すみやかに退散願奉候。 微積分 I (< cal-1.pdf ) このパートでは、１変数の微積分の基礎をカバーする。 この手の教科書は、山ほどあるが（とくに日本語の本が）、 どれも似たり寄ったりで、 こんなにも本を出版する意味
結城さんの「数学ガール」
結城さんの「数学ガール」 2007-06-07-2 [Book] 結城浩さんの「数学ガール」がいよいよ登場です。 アマゾンでの予約もスタートしたとのこと。 http://www.hyuki.com/d/200706.html#i20070606125312 ■結城浩 / 数学ガール 話しとしては、ミルカさんとかテトラちゃんとかです(see http://www.hyuki.com/girl/web.html)。とりあえず予約しとくかな。 そうそう、結城さんの数学本と言えば、これも良いかと。 ■結城浩 / プログラマの数学 (ref. [2005-09-04-2]) ついでに、数学で感動したい人はこれをどうぞ： ■サイモン シン / フェルマーの最終定理 (文庫版) (ref. [2005-10-30-1][2006-02-26-3])
ブラウザだけで使える、分数やルートの計算も簡単な手書き電卓『xThink Online Calculator』 | POP*POP
sta la staさんですでに紹介されていますが、「これはすごい！」と思ったのでこちらでもご紹介。 「xThink Online Calculator」はブラウザ上の電卓ですが、手書きで数式を書くことができます。分数やルートなど、キーボードで打ちにくい計算も楽々です。 学生さんに特に便利なのではないでしょうか。 詳しい使い方は以下からどうぞ。 ↑ 使い方は簡単。適当に数式を書いて「SOLVE」をクリックするだけ。 ↑ こういう複雑な式も楽々計算してくれます。 ↑ 分数の計算も楽々。答えも分数で出してくれるといいのですが・・・。 ↑ なお、掛け算する場合には「＊」を使いましょう。「X」だと認識しません。 ↑ 三角関数もお手のもの。 なお、数式以外にコメントをかけたり、数式を保存したり、有効桁数を変更したりといったことが可能なようです。詳しい使い方は画面下の「About」をクリックすればヘル
404 Blog Not Found:書評 - 数学入門
2007年03月05日05:00 カテゴリ書評/画評/品評Math 書評 - 数学入門 以前書評を予告しながらまだ書評していなかったのだけれど、「文化としての数学」(これまた光文社新書)も復刻されたので年貢をおさめておきたく。 数学入門 遠山啓 404 Blog Not Found:急がば微積本書は、遠山啓の「数学入門」(上下)あたりと一緒に読むことをお薦めする。そう。この「数学入門」も書評の対象なのだけど、体調不如意につき今晩はこれまで。 本書「数学入門」は、タイトルどおりの本。岩波新書でこういう直球のタイトルがついたものはまず外れがないのだけど、その中でも傑作中の傑作がこれ。なにしろ私が生まれる10年前に出版されて、それが未だに元のまま、遠山啓が亡くなった今も版を重ね、Amazonでも「在庫あり」なのだ。 中学を登校拒否している間、本書が私にとっての数学教師だった。だから本書が21世紀
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2007-01-07 - とりマセ
生活や実務に役立つ高精度計算サイト
Amazon.co.jp: 統計学のための数学入門30講 (科学のことばとしての数学): 靖,永田: 本
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods
数理論理学入門(Introduction to Mathematical Logic) 高崎金久（京都大学） 〜京都大学での全学共通科目講義に基づく〜