連鎖律（多変数関数の合成関数の微分） | 高校数学の美しい物語
連鎖律（チェインルール）とは，高校数学で習う合成関数の微分公式を多変数関数に拡張した公式です。例えば，2変数関数の場合，以下のようになります。 (x,y)(x,y)(x,y) から (u,v)(u,v)(u,v) が定まり，(u,v)(u,v)(u,v) から fff が定まるとき， ∂f∂x=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}∂x∂f=∂u∂f∂x∂u+∂v∂f∂x∂v ∂f∂y=∂f∂u∂u∂y+∂f∂v∂v∂y\dfrac{\partial f}{\partial y}=\d
【級数】コーシーの収束判定法とは～具体例8つと証明～
定理（コーシーの収束判定法; Cauchy’s root test） 数列 \{a_n\} に対し， \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}= r とする。このとき， \sum_{n=1}^\infty a_n の収束・発散について 0 \le r < 1 ならば絶対収束 r > 1 ならば発散となる。 なお， r= 1 の場合は収束も発散もあり得ます。 これは，あくまで十分条件であることに注意してください。コーシーの判定法が使えないが収束・発散する例については後で述べます。 また，絶対収束すなわち \sum_{n=1}^\infty |a_n| < \infty となるとき，元の級数 \sum_{n=1}^\infty a_n も有限値に収束することは有名です。これについての証明は以下を参照してください。
コーシー列 | 高校数学の美しい物語
数列 {an}\{ a_n \}{an} がコーシー列であるとは， limn,m→∞∣an−am∣=0 \lim_{n,m \to \infty} |a_n - a_m| = 0 n,m→∞lim∣an−am∣=0 であることを表す。 イプシロンデルタ論法の表現できちんと述べると， 任意の正の実数 ε\varepsilonε に対し，ある正の整数 NNN があって，NNN より大きい任意の整数 n,mn,mn,m に対して ∣an−am∣<ε | a_n - a_m | < \varepsilon ∣an−am∣<ε となることを表す。
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