超越関数 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "超越関数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2015年7月) 超越関数（ちょうえつかんすう、英: transcendental function）とは、多項式方程式を満たさない解析関数であり、代数関数と対照的である。言い換えると、超越関数は加算、乗算そして冪根という代数的演算を有限回用いて表せないという意味で代数を「超越」したものである。 超越関数の例として、指数関数、対数関数、そして三角関数が挙げられる[1]。 正式には、実あるいは複素変数 z の解析関数 f(z) が超越的とは、f(z) が z と代数的独立であるこ
代数関数 - Wikipedia
数学において、代数関数（だいすうかんすう、英: algebraic function）は（多項式関数係数）多項式方程式の根として定義できる関数である。大抵の場合、代数関数は代数演算（英語版）（和、差、積、商、分数冪）のみでできる有限項の式に表すことができ、例えば などが典型的である。しかし、（エヴァリスト・ガロワとニールス・アーベルによって証明されたように）そのような有限表式に書けない代数関数もある。例えば、 によって定義される関数がそのような例である。 代数関数を定義する多項式方程式の係数多項式として、有理数体 Q 上の多項式を考え、「Q 上代数的な関数」について述べることがかなり多い。そのような代数的関数を有理点において評価した値は代数的数を与える。 代数的でない関数は超越関数と呼ばれる。例えば、指数関数 、正接関数 、対数関数 、ガンマ関数 などが該当する。超越関数の合成が代数関数に
連鎖律（多変数関数の合成関数の微分） | 高校数学の美しい物語
連鎖律（チェインルール）とは，高校数学で習う合成関数の微分公式を多変数関数に拡張した公式です。例えば，2変数関数の場合，以下のようになります。 (x,y)(x,y)(x,y) から (u,v)(u,v)(u,v) が定まり，(u,v)(u,v)(u,v) から fff が定まるとき， ∂f∂x=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}∂x∂f=∂u∂f∂x∂u+∂v∂f∂x∂v ∂f∂y=∂f∂u∂u∂y+∂f∂v∂v∂y\dfrac{\partial f}{\partial y}=\d
一般化二項定理とルートなどの近似 | 高校数学の美しい物語
∣x∣<1|x| < 1∣x∣<1 なる複素数 xxx と，任意の複素数 α\alphaα に対して (1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯ (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots (1+x)α=1+αx+2!α(α−1)x2+⋯ が成立する。 一般化二項定理 (1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯ (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots (1+x)α=1+αx+2!α(α−1)x2+⋯ を無限級数の形できちんと書くと， (1+x)α=∑k=0∞F(α,k)xk (1+x)^{\alpha}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}F(\alpha,k)x^k (1
ベータ関数 - Wikipedia
この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注によって参照されておらず、情報源が不明瞭です。脚注を導入して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2016年11月） 数学におけるベータ関数（ベータかんすう、英: beta function）とは、特殊関数のひとつである。ベータ関数は、第一種オイラー積分とも呼ばれる（なお、ベータ関数と深い関わりをもつガンマ関数は、第二種オイラー積分と呼ばれる）。 一般化された関数として、セルバーグ積分がある。 定義[編集] , を満たす複素数 , に対して、ベータ関数は次式で定義される: 性質[編集] 対称性[編集] ベータ関数は次のような対称性を持つ。 証明[編集] 置換積分による計算を行う。 とおくと、 であり、また積分区間は から へと変化するから、 したがって、 が示された。 関数等式[編集] ベータ関数は次の関係式を満たす。 積分表示
ノルベルト・ボルツ - Wikipedia
この存命人物の記事には、出典がまったくありません。信頼できる情報源の提供に、ご協力をお願いします。存命人物に関する出典の無い、もしくは不完全な情報に基づいた論争の材料、特に潜在的に中傷・誹謗・名誉毀損あるいは有害となるものはすぐに除去する必要があります。 出典検索?: "ノルベルト・ボルツ" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2015年2月） ノルベルト・ボルツ 書籍 (2018年) ノルベルト・ボルツ（Norbert Bolz、1953年4月17日 - ）は、ドイツの哲学者、メディア理論研究者。ベルリン工科大学教授。 フリードリヒ・キットラーらとともに、ドイツ・メディア理論の先駆者とされる。フリードリヒ・ニーチェ、ヴァルター・ベンヤミン、ニクラス・ルーマン、マーシャル・マクルーハンに影
弧状連結の定義と具体例｜「ひとつに繋がった集合」の考え方
位相空間$X$において「集合$A\subset X$がひとつに繋がっていること」を表す概念として弧状連結性があります． 大雑把に言えば「集合$A$上のどの２点も$A$上の曲線で結べる」とき，集合$A$は弧状連結であると言います． なお，似た概念に連結性がありますが，実は「弧状連結なら連結」は成り立ちますが逆は成り立ちません．つまり，連結性の方が少し広い性質となっています． この記事では 弧状連結性の定義 弧状連結な集合の具体例 を順に説明します． なお，この記事では以下$X$を位相空間とします．
【級数】コーシーの収束判定法とは～具体例8つと証明～
定理（コーシーの収束判定法; Cauchy’s root test） 数列 \{a_n\} に対し， \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}= r とする。このとき， \sum_{n=1}^\infty a_n の収束・発散について 0 \le r < 1 ならば絶対収束 r > 1 ならば発散 となる。 なお， r= 1 の場合は収束も発散もあり得ます。 これは，あくまで十分条件であることに注意してください。コーシーの判定法が使えないが収束・発散する例については後で述べます。 また，絶対収束すなわち \sum_{n=1}^\infty |a_n| < \infty となるとき，元の級数 \sum_{n=1}^\infty a_n も有限値に収束することは有名です。これについての証明は以下を参照してください。
コーシー列 | 高校数学の美しい物語
数列 {an}\{ a_n \}{an} がコーシー列であるとは， limn,m→∞∣an−am∣=0 \lim_{n,m \to \infty} |a_n - a_m| = 0 n,m→∞lim∣an−am∣=0 であることを表す。 イプシロンデルタ論法の表現できちんと述べると， 任意の正の実数 ε\varepsilonε に対し，ある正の整数 NNN があって，NNN より大きい任意の整数 n,mn,mn,m に対して ∣an−am∣<ε | a_n - a_m | < \varepsilon ∣an−am∣<ε となることを表す。
ジョン・アーリ - Wikipedia
ジョン・アーリ ジョン・アーリ（John Urry、1946年6月1日 - 2016年3月18日）は、イギリスの社会学者。ランカスター大学社会学科教授（ディスティングイッシュトプロフェッサー）。スコット・ラッシュとの共著や観光社会学の研究、さらに2000年以降は「移動の社会学」によって世界的に知られている。 来歴[編集] ロンドン生まれ。ケンブリッジ大学で経済学を学んだ後、1972年に同大学大学院で社会学の博士号を取得。1970年にランカスター大学に赴任。社会学科の講師、助教授を務める。1983年からは1989年まで社会学科長、1989年から1994年まで社会科学部長。ほかに、CeMore所長、英国ロイヤル・ソサエティ・オブ・アーツフェローなど。 研究歴[編集] アーリの当初の研究関心は、国家権力、革命の社会学的分析にあり、ランカスター大学に赴任以後ラッセル・キートらとともに批判的実在論に
メディア環境研究所｜博報堂DYメディアパートナーズ
「メ環研’s EYE」は、メディア環境研究所の研究員が目にした、 メディアや情報環境に関する最新情報や見立てをご紹介するニュースレターです。
福田繁雄 - Wikipedia
福田 繁雄（ふくだ しげお、1932年2月4日 - 2009年1月11日[1]）は、日本のグラフィックデザイナー。 日本グラフィックデザイナー協会三代目会長。単純化された形態とトリックアートを融合させたシニカルなデザインが特徴。「日本のエッシャー」とも称される。 画家の福田美蘭は娘。童画家の林義雄は義父（妻・靖子の父）[2]。 東京都台東区浅草出身[3]。母の郷里二戸市に疎開し、岩手県立福岡高等学校を経て東京芸術大学図案科卒業（1956年）。大学在学中に日本童画会展アンデルセン生誕150年記念賞などを受賞[4]。 卒業後、味の素デザイン室を経て、1958年フリーとなる[5]。1966年、日本宣伝美術会会員[6]。1967年、日本万国博覧会の公式ポスターに入選して脚光を浴びる。また、万国博覧会会場の迷子標識などの絵文字(ピクトグラム)も手がけた[7]。 1969年よりカゴメ・アートディレクシ
Waifu Labs - Magical Anime Portraits
A state-of-the-art AI that draws custom anime portraits, just for you! This machine learning artist figures out your preferences and creates a perfect character illustration in 4 easy steps. If it sounds like magic, that's because it is! It's totally free to use! Start Now! Use your character in a game! Introducing Arrowmancer. Meet unique, beautiful characters! Import your own from Waifu Labs! Yo
RAD-IT21 | RAD-IT21 WEBマガジン
2020.10.21 AI 今泉 允聡 「深層学習はなぜ賢いのか？」 著者： 今泉 允聡 1.はじめに 深層学習の躍進から始まる人工知能ブームが始まって久しい。深層学習は、2012年の画像処理の大会でその存在が広く認知され、その後に様々な分野への応用が推進された。有名な例の一つとして、DeepM… 2020.10.15 AI 松浦 晋也 「日本の宇宙開発 — 未来を見通すためのパースペクティブを過去から得る」 著者： 松浦 晋也 1．はじめに 第二次世界大戦以前から、日本でも軍用噴進弾としてロケット推進の研究は行われていた。が、具体的に宇宙空間を目指した研究開発は、1955年4月の東京大学・生産技術研究所の糸川英夫教授によるペンシル… 2020.10.09 AI 反中 望 UXデザインの変遷と未来 著者： 反中 望 1. はじめに～UXデザインとは UXデザイン（ユーザーエクス
カーネル法 - Wikipedia
カーネル法（カーネルほう、英: kernel method）はパターン認識において使われる手法の一つで、 判別などのアルゴリズムに組み合わせて利用するものである。よく知られているのは、サポートベクターマシンと組み合わせて利用する方法である。 パターン認識の目的は、一般に、 データの構造(例えばクラスタ、ランキング、主成分、相関、分類)を見つけだし、研究することにある。この目的を達成するために、 カーネル法ではデータを高次元の特徴空間上へ写像する。特徴空間の各座標はデータ要素の一つの特徴に対応し、特徴空間への写像（特徴写像）によりデータの集合はユークリッド空間中の点の集合に変換される。特徴空間におけるデータの構造の分析に際しては、様々な方法がカーネル法と組み合わせて用いられる。特徴写像としては多様な写像を使うことができ（一般に非線形写像が使われる）、それに対応してデータの多様な構造を見いだす
モンテカルロ木探索 - Wikipedia
モンテカルロ木探索（モンテカルロきたんさく、英: Monte Carlo tree search、略称MCTS）とは、モンテカルロ法を使った木の探索の事。決定過程に対する、ヒューリスティクス（＝途中で不要な探索をやめ、ある程度の高確率で良い手を導ける）な探索アルゴリズムである。 モンテカルロ木検索は、主に囲碁・チェス・将棋などのゲームの次の着手の決定などに使用される。また、リアルタイムPCゲームや、大富豪、ポーカーなどの相手の手の内が全て分かるわけではないゲームへも使用される。 他のアプローチでは解決不可能または困難な決定問題を、ランダム性を使用するモンテカルロ法で解決する試みは、1940年代に始まった。ブルース・アブラムソンは、1987年の博士論文で、通常の静的評価関数ではなく、ミニマックス法をランダムなゲームプレイアウトに基づく期待結果モデルと組み合わせた[1]。アブラムソンは、期待結
ネオコグニトロン - Wikipedia
ネオコグニトロン（英: Neocognitron）は、1979年に福島邦彦によって提唱された畳み込みニューラルネットワークである[1][2] 。 畳み込みの手法を導入する以前のコグニトロン（「教師なし学習」を行う多層神経回路）では位置ずれや変形の影響を受けやすかった。 このため、形の類似性だけに基づいてパターン認識することを目的としてネオコグニトロンが開発された。 ネオコグニトロンは複数の種類の細胞から構成され、その中で最も重要な細胞は「S細胞」および「C細胞」と呼ばれる[3] 。 局所特徴量はS細胞によって抽出され、微小変位（local shift）といったこれらの特徴の変形はC細胞に委ねられている。 入力中の局所特徴量は、隠れ層によって徐々に統合され、分類される[4]。 デイヴィッド・ヒューベルとトルステン・ウィーセルが1959年に提唱したモデルから発想を得ている。 彼らは「単純細胞（
［評価指標］AUC（Area Under the ROC Curve：ROC曲線の下の面積）とは？
［評価指標］AUC（Area Under the ROC Curve：ROC曲線の下の面積）とは？：AI・機械学習の用語辞典 用語「AUC」について説明。二値分類タスク（問題）に対する評価指標の一つで、「ROC曲線の下の面積」を意味し、AUC値が1.0に近いほど分類を予測する機械学習モデルの性能が高い。 連載目次 用語解説 統計学／機械学習におけるAUC（Area Under the ROC Curve、AUROC、ROC-AUC）とは、主に二値分類タスク（問題）に対する評価指標の一つで、「ROC曲線（後述）の下の面積」を意味する。この指標は、0.0（＝0％）～1.0（＝100％）の範囲の値を取り、1.0に近いほどモデルの予測性能が高いことを示す。 例えば機械学習モデルによる予測が全て正解（＝図1のideal curve：理想の曲線）であった場合、AUC値は1.0となり、予測性能が高いこと
相似次元 - Wikipedia
相似次元（そうじじげん、similarity dimension）は、図形の自己相似性に注目した次元の定義である。人工的な自己相似図形に対して次元を求める場合に用いる。人工的な自己相似図形以外の図形（実際の自然界に存在する図形など）に対しても相似次元の概念を適用できるように定義を拡張した次元として、容量次元がある。 定義[編集] 通常のユークリッド次元との整合性: ユークリッド次元 D の自己相似図形は相似比 1/r の小図形を N = rD 個用いて復元される。 自己相似図形の相似次元は、縮小図形をいくつ集めると元の図形を復元できるかという観点から定義される。ある図形を r 分の 1 の相似比で縮小したとき、元の図形を復元するために必要な縮小図形の個数を N = N(1/r) とする。このとき、 となるような Ds を、相似次元と呼ぶ。相似次元が D であるような自己相似図形は、それを
岩尾エマはるか - Wikipedia
岩尾エマはるか（いわおエマはるか、Emma Haruka Iwao 1984年4月21日 - ）は、日本のコンピュータ技術者。 12歳の頃に円周率に興味を持ち、夢中になった[4][5]。当時円周率の計算の世界記録を持っていた金田康正をはじめとする数学者がとても身近に感じられ、また多大な影響を受けた[6]。高校時代は数学の成績が良くなかったため大学は文系に進んだが、クラス担任の先生のアドバイスを受けて、筑波大学第二学群人間学類から第三学群情報学類に転向した[7][8]。大学ではコンピュータサイエンスを学び、当時スーパーコンピューターを使って計算した最も正確な円周率の記録保持者であった高橋大介に師事[5][9][10]。筑波大学大学院システム情報工学研究科でコンピューティングの研究を始める前の2008年に、学部長表彰を受けた。修士論文は、高性能コンピュータシステムについてのものである。その後、
ウォリスの公式とその3通りの証明 | 高校数学の美しい物語
∏n=1∞(2n)2(2n−1)(2n+1)=π2\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}\dfrac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{\pi}{2}n=1∏∞(2n−1)(2n+1)(2n)2=2π つまり， 2⋅21⋅3×4⋅43⋅5×6⋅65⋅7×⋯=π2\dfrac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\times\dfrac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\times\dfrac{6\cdot 6}{5\cdot 7}\times\cdots=\dfrac{\pi}{2}1⋅32⋅2×3⋅54⋅4×5⋅76⋅6×⋯=2π ∏n=1∞\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}n=1∏∞ は，n=1n=1n=1 から順々に無限にかけ算していく（無限積）という意味です。 ウォリスの公式
ヨハネス・ヴィトマン - Wikipedia
ヨハネス・ヴィトマン（独: Johannes Widmann、1460年ごろ – 1498年以降) は、ドイツの数学者。1489年にライプツィヒで出版した仕事における黒字や赤字に関する本Mercantile Arithmetic or Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafftは、印刷物として初めてプラス記号とマイナス記号を用いた著作である[1][2]。 ボヘミア、エゲル生まれ。1480年代にライプツィヒ大学で学んだ。1482年、"Baccalaureus"（教養学士）を取得し、1485年にマギステル（博士号）を取得した。 1489年にライプツィヒでBehende und hübsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft (『あらゆる商業上の敏捷で親切な計算法』）を出版した[2]。
整数論の美しい定理７つ | 高校数学の美しい物語
111 から nnn までの整数の中にある素数の数を π(n)\pi(n)π(n) とおく。 nnn が十分大きいとき，π(n)≒nlogn\pi (n)\fallingdotseq \dfrac{n}{\log n}π(n)≒lognn つまり，limn→∞π(n)lognn=1\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\pi(n)\log n}{n}=1n→∞limnπ(n)logn=1 （私が思う）整数論の最も美しい定理です。素数の分布（割合）に関する非常に有名な定理です。主張は簡単＆美しい，にもかかわらず証明は非常に難しいです（私も理解していません）。 素数定理から，素数が無限個あることが分かります。
ラマヌジャンのタクシー数 | 高校数学の美しい物語
222 以上の整数 mmm，nnn は m3+13=n3+103m^3 + 1^3 = n^3 +10^3m3+13=n3+103 を満たす。mmm，nnn を求めよ。 与式を変形すると m3−n3=103−13=999 m^3 - n^3 = 10^3 - 1^3 = 999 m3−n3=103−13=999 となる。因数分解すると (m−n)(m2+mn+n2)=33×37 (m-n)(m^2 + mn + n^2) = 3^3 \times 37 (m−n)(m2+mn+n2)=33×37 となる。 m−n=km-n = km−n=k とおく。このとき m2+mn+n2=3n2+3kn+k2 m^2 + mn + n^2 = 3n^2 + 3kn + k^2 m2+mn+n2=3n2+3kn+k2 となる。 k=1,37k = 1,37k=1,37 の場合，3n2+3kn+k23n^
ゼータ関数のオイラー積 | 高校数学の美しい物語
ζ(s)=∑n=1∞1ns=∏p11−1ps \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} = \prod_{p} \dfrac{1}{1-\frac{1}{p^s}} ζ(s)=n=1∑∞ns1=p∏1−ps11 12sζ(s)=12s+14s+16s+⋯ \dfrac{1}{2^s} \zeta (s) = \dfrac{1}{2^s} + \dfrac{1}{4^s} + \dfrac{1}{6^s} + \cdots 2s1ζ(s)=2s1+4s1+6s1+⋯ となるので， (1−12s)ζ(s)=11s+13s+15s+⋯ \left( 1- \dfrac{1}{2^s} \right) \zeta (s) = \dfrac{1}{1^s} + \dfrac{1}{3^s} + \dfrac{1}{5^s} + \
メルセンヌ数・メルセンヌ素数とは～定義と性質～
定義（メルセンヌ数・メルセンヌ素数） 正の整数 n に対し， \Large \color{red} M_n=2^n-1 の形の数をメルセンヌ数 (Mersenne number) という。メルセンヌ数が素数であるとき，メルセンヌ素数 (Mersenne prime) という。
フェルマーの小定理とその3通りの証明
フェルマーの小定理 (Fermat’s little theorem) p を素数， a を p と互いに素な整数とする。このとき， \large\color{red} a^{p-1}\equiv 1 \pmod p が成立する。また，任意の整数 a に対して， \large\color{red} a^{p}\equiv a \pmod p が成立する。 かなり有名な定理です。上の2つの主張のうち，片方を示せば，もう片方も簡単に示せます。 実際，前半が示せれば，a が p と互いに素のときは両辺 a をかけるだけで，そうでないときは a^p\equiv a \equiv 0 で後半が言えますね。また，後半が示せれば， a が p と互いに素のときは両辺 a で割り算できるため，前半が従います。 フェルマーの小定理は，RSA暗号にも用いられている重要な理論です。 注意ですが， p-1 は a
アーベル-ルフィニの定理 - Wikipedia
アーベル–ルフィニの定理（アーベル–ルフィニのていり、英: Abel–Ruffini theorem）は、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない、と主張する定理である。より正確には、5以上の任意の整数 n に対して、一般の n 次方程式を代数的に解く方法は存在しない、という定理である。 方程式を「代数的に解く」とは、与えられた方程式の係数から出発して四則演算と冪根をとる操作を有限回繰り返し、方程式の根を表示することをいう。単に「冪根によって解く」ともいう。このようにして得られる表示可能な数の全体は、係数体に適当な冪根を添加して拡大したものとなるが、もし方程式に代数的な解の公式が存在するなら、根がそのような拡大体のどこかに含まれているはずである。従って、「代数方程式が代数的に解ける」、すなわち「代数方程式の根が冪根による表示をもつ」とは、次のように定義される。 方程式の係数を含む体に適
カルダノの公式と例題【三次方程式の解の公式】 | 高校数学の美しい物語
三次方程式 ax3+bx2+cx+d=0 (a≠0)ax^3+bx^2+cx+d=0\:(a\neq 0)ax3+bx2+cx+d=0(a=0) について考えます。 入試で出題される三次方程式は 99.9％99.9％99.9％ 因数分解できます。→三次方程式の解き方3パターンと例題5問 しかし，因数分解できないタイプの問題が誘導付きで出題される可能性も 000 ではありません。そこで，カルダノの公式です！ どんな三次方程式でも解ける万能な解の公式です。 この記事では，まず一般的な場合についてカルダノの公式を3ステップで解説します。その後，具体例を挙げます。一般的な場合でよく分からない方は具体例をご覧ください。 目標は一般の三次方程式 ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d=0ax3+bx2+cx+d=0 を解くことですが，定数倍と平行移動の自由度をうまく利用することでよ
ナルシシスト数について | 高校数学の美しい物語
nnn 桁の数 NNN について考える。 NNN の各桁の nnn 乗の和は，最大で 9n+9n+⋯+9n=n×9n9^n+9^n+\cdots +9^n=n\times 9^n9n+9n+⋯+9n=n×9n また，NNN は nnn 桁なので N≧10n−1N\geqq 10^{n-1}N≧10n−1 よって，NNN がナルシシスト数なら 10n−1≦n9n10^{n-1}\leqq n9^n10n−1≦n9n が必要。 変形すると，(109)n−1≦9n\left(\dfrac{10}{9}\right)^{n-1}\leqq 9n(910)n−1≦9n これは nnn が十分大きいとき不成立（指数関数は一次関数より強い→指数関数の極限と爆発性）。 実際，n≧61n\geqq 61n≧61 だと上の不等式を満たさない（※）ので，ナルシシスト数は 606060 桁以下であるので有限個。
72の法則 - Wikipedia
英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Rule of 72|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明があります
ハノイの塔 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "ハノイの塔" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2017年7月) 8つの円盤のハノイの塔 ハノイの塔（ハノイのとう、英: Tower of Hanoi）は、パズルの一種。 バラモンの塔または ルーカスタワー（英: Lucas' Tower）[注 1]とも呼ばれる。 以下のルールに従ってすべての円盤を右端の杭に移動させられれば完成。 3本の杭と、中央に穴の開いた大きさの異なる複数の円盤から構成される。 最初はすべての円盤が左端の杭に小さいものが上になるように順に積み重ねられている。 円盤を一回に一枚ずつどれかの杭に移動させる
巡回数 - Wikipedia
巡回数（じゅんかいすう、英: cyclic Number）は、2倍、3倍、4倍...と乗算したとき（あるいは同じ数を連続して加算したとき）に、その各桁の数を順序を崩さずに「巡回」させた数になる整数である。ダイヤル数ともいう。 代表的な、142857で計算した例を示す。 142857 × 1 = 142857 142857 × 2 = 285714 142857 × 3 = 428571 142857 × 4 = 571428 142857 × 5 = 714285 142857 × 6 = 857142 となる。また、 142857 × 7 = 999999 は 9 が並ぶ。最後の式からはこの数が と表せることもわかる。 この数は 1 ÷ 7 が 0.142857142857142857... という循環小数になることと関連がある（ 0.142857142857142857... × 7
4乗の和，べき乗の和の公式 | 高校数学の美しい物語
S1=∑k=1nk=12n(n+1)S_1=\displaystyle\sum_{k=1}^nk=\dfrac{1}{2}n(n+1)S1=k=1∑nk=21n(n+1) S2=∑k=1nk2=16n(n+1)(2n+1)S_2=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)S2=k=1∑nk2=61n(n+1)(2n+1) S3=∑k=1nk3={12n(n+1)}2S_3=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3=\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\}^2S3=k=1∑nk3={21n(n+1)}2 S4=∑k=1nk4=130n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)S_4=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^4=\dfrac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(
エジプト分数（単位分数の和）に関する4つの話題 | 高校数学の美しい物語
まずは，分子が 111 である分数 1n\dfrac{1}{n}n1 をエジプト分数で表してみましょう。 1n=1n+1+1n(n+1)\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n(n+1)}n1=n+11+n(n+1)1 という等式を使うと， 12=13+16\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}21=31+61 13=14+112\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}31=41+121 14=15+120\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{20}41=51+201 のように表せます。ちなみに，上記の等式は右辺を通分すれば簡単に示せます。
ヴィエトの無限積の公式 | 高校数学の美しい物語
sinx=2sinx2cosx2=22sinx22cosx2cosx22=⋯=2nsinx2n(∏k=1ncosx2k)\sin x=2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}\\ =2^2\sin\dfrac{x}{2^2}\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2^2}\\ =\cdots\\ =2^n\sin\dfrac{x}{2^n}(\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\cos\dfrac{x}{2^k})sinx=2sin2xcos2x=22sin22xcos2xcos22x=⋯=2nsin2nx(k=1∏ncos2kx) ここで， limn→∞2nsinx2n=xlimn→∞2nxsinx2n=x\displaystyle\lim_{n\to\infty}2^n\sin\d
シェルピンスキーのギャスケット - Wikipedia
310(=59,049)個の正三角形で近似的に表したシェルピンスキーのギャスケット シェルピンスキーのギャスケット（英: Sierpinski gasket、波: uszczelka Sierpińskiego）は、フラクタル図形の1種であり、自己相似的な無数の三角形からなる図形である。ポーランドの数学者ヴァツワフ・シェルピンスキにちなんで名づけられた。シェルピンスキーのガスケット、シェルピンスキーの三角形（波: trójkąt Sierpińskiego、英: Sierpinski triangle）、シェルピンスキーのざる（英: Sierpinski sieve）とも呼ばれる。 作図例 シェルピンスキーのギャスケットはフラクタル図形であるため、正確に作図することは不可能だが、以下の手順を繰り返すことで、近似的な図形を作図できる。なお、その回数を増やせば、望むところまで近似のレベルを高め
行列のQR分解と応用（固有値・最小二乗法） | 高校数学の美しい物語
n×nn\times nn×n 行列 AAA が正則な場合のみ証明する。 AAA の iii 列目を aiundefined\overrightarrow{a_i}ai とおく。aiundefined\overrightarrow{a_i}ai たちは線形独立であり，グラムシュミットの直交化法を使うと，正規直交基底 q1undefined,...,qnundefined\overrightarrow{q_1},...,\overrightarrow{q_n}q1,...,qn を得る。 このとき，qjundefined\overrightarrow{q_j}qj は a1undefined,...,ajundefined\overrightarrow{a_1},...,\overrightarrow{a_j}a1,...,aj の一次結合である。この係数を ri
正規方程式の導出と計算例 | 高校数学の美しい物語
x,bx,bx,b は縦ベクトル，AAA は行列です。∥x∥\|x\|∥x∥ はベクトル xxx の長さを表します。 AAA と bbb が与えられたとき，∥Ax−b∥\|Ax-b\|∥Ax−b∥ を最小にするような xxx を求める問題は非常に重要です。→最小二乗法の行列表現（単回帰，多変数，多項式） 連立方程式 Ax=bAx=bAx=b が解を持つときは嬉しいけども，解を持たない時にも諦めるのではなく，AxAxAx が bbb に近くなるような xxx を探したいというモチベーションです。 正規方程式は，Ax=bAx=bAx=b の両辺に左から A⊤A^{\top}A⊤ をかけただけなので覚えやすいです。
二次形式の意味，微分，標準形など | 高校数学の美しい物語
二次形式とは，二次の項のみからなる多項式のこと。例えば，3x12−2x1x2+4x223x_1^2-2x_1x_2+4x_2^23x12−2x1x2+4x22 は二次形式。 二次形式とは，二次の項のみからなる多項式のことです。例えば，3x12−2x1x2+4x223x_1^2-2x_1x_2+4x_2^23x12−2x1x2+4x22 は x1,x2x_1,x_2x1,x2 についての二次形式です。 二次形式は，対称行列 AAA と「変数を縦に並べたベクトル xxx」を用いて，x⊤Axx^{\top}Axx⊤Ax というコンパクトな形で書けます。 例えば， 3x12−2x1x2+4x22=(x1x2)(3−1−14)(x1x2)=x⊤Ax\begin{aligned} 3x_1^2-2x_1x_2+4x_2^2\\ &=\begin{pmatrix}x_1&x_2\en
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Joshua Meyrowitz - Wikipedia
Perfect digit-to-digit invariant - Wikipedia
Midy's theorem - Wikipedia