一般化線形モデル - Wikipedia
一般化線形モデル (いっぱんかせんけいモデル、英: Generalized linear model、GLM)は、残差を任意の分布とした線形モデル。似たものとして一般線形モデルがあるが、これは残差が多変量正規分布に従うモデル。一般化線形モデルには線形回帰、ポアソン回帰、ロジスティック回帰などが含まれる。1972年にネルダーとウェダーバーンによって提唱された[1]。 概要[編集] 確率変数 が指数型分布族である、つまり確率密度関数 は正準 (canonical) パラメーター , 分散 (dispersion) パラメーター とスカラー関数 , を用いて指数型 で表すことができるものとする。 一般化線形モデルでは、指数型分布族の正準パラメーター について、リンク関数 (link function) と呼ばれる滑らかな関数 と、別の確率変数 の実現値 とを用いて、 と表すことができるものとする
ナッシュの埋め込み定理 - Wikipedia
ジョン・フォーブス・ナッシュ (John Forbes Nash) の名に因んだナッシュの埋め込み定理 (Nash embedding theorems (or imbedding theorems)) は、すべてのリーマン多様体はユークリッド空間の中へ等長に埋め込むことができるという定理である。等長とは、すべての道 (path)（英語版）の長さが保存されることを意味する。例えば、紙のページを引き伸ばしたり破ったりすることなしに折り曲げると、ページのユークリッド空間への等長うめこみ（英語版）になる。ページに描かれた曲線はページが折り曲げられても同じ長さのままであるからだ。 第一の定理は、連続微分可能な（C1 級の）埋め込みに対するものであり、第二の定理は、解析的な埋め込みと、3 ≤ k ≤ ∞ に対して Ck 級の滑らかさを持つ埋め込みに関するものである。これらの 2つの定理は、互いに非常
ロジスティック写像 - Wikipedia
ロジスティック写像の振る舞いをクモの巣図法で示した図。初期値を0.2としてパラメータ（図中の r）を 1 から 4 まで増やしたときに起こる振る舞いの変化がアニメーションで示されている。 ロジスティック写像（ロジスティックしゃぞう、英語: logistic map）とは、xn+1 = axn(1 − xn) という2次関数の差分方程式（漸化式）で定められた離散力学系である。単純な2次関数の式でありながら、驚くような複雑な振る舞いを生み出すことで知られる。ロジスティックマップ[1][2][3]や離散型ロジスティック方程式（英語: discrete logistic equation）[4][5][6]、単に2次写像族[7][8]や2次関数族[9][10]とも呼ばれる。 ロジスティック写像の a はパラメータと呼ばれる定数、x が変数で、適当に a の値を決め、最初の x0 を決めて計算すると
ポアンカレ・ベンディクソンの定理 - Wikipedia
ポアンカレ・ベンディクソンの定理によれば、平面上の極限集合は(1)平衡点、(2)周期軌道、(3)複数の平衡点とそれらを繋ぐ軌道のいずれかとなる ポアンカレ・ベンディクソンの定理（ポアンカレ・ベンディクソンのていり、Poincaré–Bendixsonの定理）とは、平面上の連続力学系あるいは自励的常微分方程式系では、有界な軌道が時間経過後に最終的に落ち着く先は、平衡点を含まなければ周期軌道であることを述べる数学の定理である。19世紀末にアンリ・ポアンカレが発表し、後の20世紀初頭にイーヴァル・オット・ベンディクソン（英語版）がより厳密・一般化した形で証明して発表した。 与えられた系の周期軌道の存在を明確にすることは一般的に難しいが、ポアンカレ・ベンディクソンの定理はその手法を与える希少なものの一つである。また、定理の帰結として、このような平面の系で状態変数が収束する先は、本質的に平面上の1点
ロジスティック方程式 - Wikipedia
ロジスティック方程式の解曲線（ロジスティック曲線）の一例。S字の形を描き、環境収容力に収束する。 培養容器内のキイロショウジョウバエ。ロジスティック曲線に当てはまる個体数増加が確認された例である。 ロジスティック方程式（ロジスティックほうていしき、英語：logistic equation[1]）は、生物の個体数の変化の様子を表す数理モデルの一種である。ある単一種の生物が一定環境内で増殖するようなときに、その生物の個体数（個体群サイズ）の変動を予測できる。人間の場合でいえば、人口の変動を表すモデルである。 1838年にベルギーの数学者ピエール＝フランソワ・フェルフルスト（Pierre-François Verhulst）によって、ロジスティック方程式は最初に発案された。フェルフルストは、1798年に発表されて大きな反響を呼んだトマス・ロバート・マルサスの『人口論』の不自然な点を解消するために
放射基底関数 - Wikipedia
函数近似（英語版）において、各々適当な点に関して球対称となる実数値函数からなる基底を考えるとき、各基底函数は放射基底関数（英: radial basis function、RBF、動径基底関数）と呼ばれる。一般に、函数 φ が動径函数あるいは球対称 (radial) であるとは、φ(x) = φ(‖ x ‖), すなわちその値が偏角成分に依存せず動径成分（つまり原点からの距離）のみに依存して決まることを言う。従って動径基底函数は適当な点 c を中心として、c からの距離のみに依存して決まる (φ(x; c) = φ(‖ x − c ‖))。ここで、ノルムはふつうユークリッド距離で考えるが、べつの距離函数を取ることもできる。 動径基底函数の和としての近似の過程は、単純な種類のニューラルネットワークとしても解釈することができる。これはもともとは David Broomhead と David
四平方定理 - Wikipedia
数学において、ラグランジュの四平方定理 (Lagrange's four square theorem) は、全ての自然数が高々四個の平方数の和で表されることを主張する定理である[1]。これはフェルマーの多角数定理の四角数の場合に当たり、ウェアリングの問題の二次の場合に当たる。ヤコビの四平方定理 (Jacobi's four square theorem) は自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数を与える定理である。 ラグランジュの四平方定理の証明[編集] オイラーの四平方恒等式 により、各々高々四個の平方数の和に表される二数の積は高々四個の平方数の和に表される。 従って、全ての素数に関して高々四個の四角数の和に表されることを証明すれば、全ての合成数も高々四個の四角数の和に表されることになる。 偶数の素数2に関しては、より明らかである。 次に奇素数について証明する。がの平方剰余であれば
ド・グアの定理 - Wikipedia
ド・グアの定理（ド・グアのていり、英: De Gua's theorem）はピタゴラスの定理の3次元版ともいえる定理であり、ジャン・ポール・ド・グア・ド・マルヴ（英語版、フランス語版）にちなんで命名された。日本では、四平方の定理と呼ばれることが多い。 三角錐に、3面が直交しあう頂点がある（立方体の頂点と同様）ならば、その頂点と向かい合う面の面積の平方は、残りの3つの各面の面積の平方の和に等しい。 一般化[編集] ピタゴラスの定理とド・グアの定理はいずれも直交する頂点を持つ n-単体に関する定理の特別な場合（n = 2, 3）である。さらにこれ自体、Donald R. Conant と William A. Beyer による以下に述べる定理[1]の特別な場合である。 U を、 の k-次元アフィン部分空間（よって ）に含まれるようなボレル集合とする。ちょうど k 個の要素からなる任意の部分
ヤーッコ・ヒンティッカ - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "ヤーッコ・ヒンティッカ" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2017年8月） ヤーッコ・ヒンティッカ、2006年 ヤーッコ・ヒンティッカ (Jaakko Hintikka、1929年1月12日 - 2015年8月12日） はフィンランドの哲学者、論理学者である。 経歴[編集] ヴァンター出身。フロリダ州立大学、スタンフォード大学、ヘルシンキ大学、フィンランドアカデミーで教鞭をとった。現在はボストン大学の哲学科教授である。30冊の著書と、300以上の論文がある多産な哲学者である。ヒンティッカは数理論理学、哲学的論理学、数学の哲学
二次計画法 - Wikipedia
二次計画法（にじけいかくほう、英: quadratic programming, QP）は、数理最適化における非線形計画法の代表例の一つであり、いくつかの変数からなる二次関数を線形制約の下で最適化（最小化ないしは最大化）する方法である。二次計画法の対象となる最適化問題を二次計画問題という。 問題の定式化[編集] n の変数と m の制約からなる二次計画問題は以下のように定式化することができる[1]。 以下を所与とする： 実数値の n 次元ベクトル c n 行 n 列の実数値対称行列 Q m 行 n 列の実数値行列 A 実数値の m 次元ベクトル b 二次計画問題の目的は以下の問題の解となる n 次元ベクトル x を見つけることである。 ここで xT はベクトル x の転置を表す。Ax ≤ b という記法はベクトル Ax の全ての要素が対応するベクトル b の要素より小さいもしくは等しいこと
ウェーブレット変換 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "ウェーブレット変換" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2022年2月） ウェーブレット変換（ウェーブレットへんかん、wavelet transformation）は、周波数解析の手法の一つ。基底関数として、ウェーブレット関数を用いる。フーリエ変換によって周波数特性を求める際に失われる時間領域の情報を、この変換においては残すことが可能である。フーリエ変換でも窓関数を用いる窓フーリエ変換で時間領域の情報は残せたが、窓幅を周波数に合わせて固定する必要があるため、広い周波数領域の解析には向かなかった。ウェーブレット変換では、基底関数
Grigori Perelman - Wikipedia
Grigori Yakovlevich Perelman (Russian: Григорий Яковлевич Перельман, IPA: [ɡrʲɪˈɡorʲɪj ˈjakəvlʲɪvʲɪtɕ pʲɪrʲɪlʲˈman] ⓘ; born 13 June 1966) is a Russian mathematician who is known for his contributions to the fields of geometric analysis, Riemannian geometry, and geometric topology. In 2005, Perelman abruptly quit his research job at the Steklov Institute of Mathematics, and in 2006 stated that he h
最大値原理 - Wikipedia
この項目では、偏微分方程式論における最大値原理について説明しています。複素解析における最大値原理については「最大絶対値の原理」を、最適制御理論における最大値原理については「en:Pontryagin's minimum principle」をご覧ください。 数学における最大値原理（さいだいちげんり、英: maximum principle）とは、特定の楕円型および放物型の偏微分方程式の解が持つある性質のことを言う。大雑把に言うと、ある領域内でのある関数の最大値は、その領域の境界上に存在する、ということがこの原理では述べられている。特に、ある関数が領域の内部で最大値を取るのなら、その関数は一様に定数である、ということについて述べた原理は「強最大値原理」と呼ばれる。関数の最大値は領域の境界上で取られるが、領域の内部でも同様に起こり得る、ということについて述べた原理は「弱最大値原理」と呼ばれる。
Cayley transform - Wikipedia
In mathematics, the Cayley transform, named after Arthur Cayley, is any of a cluster of related things. As originally described by Cayley (1846), the Cayley transform is a mapping between skew-symmetric matrices and special orthogonal matrices. The transform is a homography used in real analysis, complex analysis, and quaternionic analysis. In the theory of Hilbert spaces, the Cayley transform is
ミンコフスキー空間 - Wikipedia
この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注によって参照されておらず、情報源が不明瞭です。脚注を導入して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2023年10月） ミンコフスキー空間（ミンコフスキーくうかん、英: Minkowski space）とは、非退化で対称な双線型形式を持つ実ベクトル空間である。ドイツの数学者のヘルマン・ミンコフスキーに因んで名付けられている。アルベルト・アインシュタインによる特殊相対性理論を定式化する枠組みとして用いられる。この特定の設定の下では空間に時間を組み合わせた時空を表現するため、物理学の文脈ではミンコフスキー時空とも呼ばれる。 構造[編集] (m,n)-型のミンコフスキー空間 Mm,n は、まず計量を無視して単なるベクトル空間と考えるとm-次元ユークリッド空間と n-次元ユークリッド空間の直和 Mm,n = Em⊕En と定義されるもので
内積 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "内積" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2014年2月） 線型代数学における内積（ないせき、英: inner product）は、（実または複素）ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式（実係数の場合には対称双線型形式）のことである。二つのベクトルに対してある数（スカラー）を定める二項演算であるためスカラー積（スカラーせき、英: scalar product）ともいう。内積を備えるベクトル空間は内積空間と呼ばれ、内積の定める計量を持つ幾何学的な空間とみなされる。エルミート半双線型形式の意味での内積は
劣微分 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "劣微分" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2022年8月） 凸関数（青）と、 点 (x0, f(x0)) での劣微分の値（劣勾配）に対応する「接線」の集合（赤） 数学において劣微分（れつびぶん、英: subderivative, subdifferential）とは一般の微分の概念を微分不可能な関数に対して拡張した考え方である。一般の関数の微分は関数であるが、劣微分の値は集合となる。劣微分は凸解析の分野で広く用いられており、凸最適化と深い関係を持つ。 ある開区間 I 上の必ずしも全ての点で微分可能でない凸関数 f: I→R
代数関数 - Wikipedia
数学において、代数関数（だいすうかんすう、英: algebraic function）は（多項式関数係数）多項式方程式の根として定義できる関数である。大抵の場合、代数関数は代数演算（英語版）（和、差、積、商、分数冪）のみでできる有限項の式に表すことができ、例えば などが典型的である。しかし、（エヴァリスト・ガロワとニールス・アーベルによって証明されたように）そのような有限表式に書けない代数関数もある。例えば、 によって定義される関数がそのような例である。 代数関数を定義する多項式方程式の係数多項式として、有理数体 Q 上の多項式を考え、「Q 上代数的な関数」について述べることがかなり多い。そのような代数的関数を有理点において評価した値は代数的数を与える。 代数的でない関数は超越関数と呼ばれる。例えば、指数関数 、正接関数 、対数関数 、ガンマ関数 などが該当する。超越関数の合成が代数関数に
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Takens's theorem - Wikipedia
Maximum inner-product search - Wikipedia