算術の基本定理 - Wikipedia
素因数分解の一意性はガウスの『算術研究』（1801年）で最初に証明された[注 1]。ただし『算術研究』でガウスが基本定理と呼んだ定理は「平方剰余の相互法則」のことである[1]。 算術の基本定理（さんじゅつのきほんていり、英: fundamental theorem of arithmetic）または素因数分解の一意性（そいんすうぶんかいのいちいせい、英: unique factorization theorem）は、「任意の正整数は、1 を除いて、一つまたはそれ以上の素数の積として（因子の順番の違いを除いて）ただ一通りに表すことができる」[注 2]という初等整数論（算術）における定理である[注 3]。 定理 ― 任意の正整数 n > 1 は一意的に素数の積に表される： ただし、 p1 < p2 < … < pk は素数、 ni は正の整数である。 例えば 120 は 2 × 2 × 2 ×
モンティ・ホール問題 - Wikipedia
モンティ・ホール問題 閉まった3つのドアのうち、当たりは1つ。プレーヤーが1つのドアを選択したあと、例示のように外れのドアが1つ開放される。残り2枚の当たりの確率は直感的にはそれぞれ 1/2（50%）になるように思えるが、はたしてそれは正しいだろうか。 モンティ・ホール問題（モンティ・ホールもんだい、英: Monty Hall problem）とは、確率論の問題で、ベイズの定理における事後確率、あるいは主観確率の例題の一つとなっている。モンティ・ホール（英語版）（Monty Hall, 本名：Monte Halperin）が司会者を務めるアメリカのゲームショー番組、「Let's make a deal（英語版）[注釈 1]」の中で行われたゲームに関する論争に由来する。一種の心理トリックになっており、確率論から導かれる結果を説明されても、なお納得しない者が少なくないことから、モンティ・ホール
0.999... - Wikipedia
実数として "0.999…" と"1"は等しくなることを示すことができる（ただし、0.9999など途中で終了する小数は1と等しいと言えない）。この証明は、実数論の展開・背景にある仮定・歴史的文脈・対象となる聞き手などに応じて、多様な数学的厳密性に基づいた定式化がある[注釈 1]。 循環する無限小数一般に言えることだが、0.999… の末尾の … は省略記号であり、続く桁も 9 であることを示す。省略記号の前の 9 の個数はいくつでもよく、0.99999… のように書いてもよい。あるいは循環節を明確にするために 0.9、0.9、0.(9) などと表記される。 一般に、ある数を無限小数で表すことも有限小数で表すこともできる。本稿で示されるように 0.999… と 1 は等価性であるから、例えば 8.32 は 8.31999… と書いても同じ数を表す。十進数を例に採ったが、数が一意に表示されない
ネイピア数の無理性の証明 - Wikipedia
ネイピア数の無理性の証明（ねいぴあすうのむりせいのしょうめい）は、1744年にオイラーが初めて行った。実際、ネイピア数 e は 2 < e < 3 を満たす無理数である。証明は背理法による。すなわち、e が有理数であると仮定して矛盾を導く。e が無理数であることの証明は、円周率 π が無理数であることの証明よりずっと易しい。π の無理性が初めて示されたのは1761年のことである。 e を底とする指数関数 ex は以下のようにテイラー展開される。 x = 1 を代入すると 以下、これを e の定義として無理数であることを証明する。 証明[編集] e = a/b を満たす自然数 a, b が存在すると仮定すると b! ⋅ e は以下のように展開される。 左辺は であるから自然数である。右辺は ( ) 内の b! から b!/b! までの項は全て自然数であるが、{ } 内の b!/(b + 1)
ベルンシュタインの定理 - Wikipedia
ベルンシュタインの定理（ベルンシュタインのていり、カントール＝ベルンシュタイン＝シュレーダーの定理、シュレーダー＝ベルンシュタインの定理、カントール＝ベルンシュタインの定理とも、英: Schröder–Bernstein theorem）とは、集合 A から集合 B に単射 があり、集合 B から集合 A へも単射があれば、集合 A から集合 B への全単射があるというものである。濃度においては、これは |A| ≤ |B| かつ |B| ≤ |A| ならば |A| = |B| である、ということを言っているわけで、非常に基本的な要請がこの定理によって満たされることになる。 歴史[編集] 数学ではよくあることだが、この定理は歴史的に込み入った事情を経て成立しており、歴史的経緯を正確に反映した名前を決めるのは難しい。伝統的によく用いられていた「シュレーダー＝ベルンシュタイン」は1898年に独立
円周率の無理性の証明 - Wikipedia
円周率の無理性の証明（えんしゅうりつのむりせいのしょうめい）は、円周率が無理数であること、すなわち円周率の小数展開が無限に続き、しかも循環しないことの証明である。円周率が無理数であること自体はよく知られた事実であるが、その証明を目にする機会はあまりない[1]。知られている中で最も簡単な証明は、初等的な微分積分学のみを用いるものである。 歴史[編集] 円周率は古代から考察の対象とされ、無理数であることは紀元前4世紀のアリストテレスが予想していたが、証明されたのは二千年以上後のことである。1761年、ドイツの数学者ヨハン・ハインリッヒ・ランベルトは、正接関数の無限連分数表示 を用いて、初めて円周率の無理性を示した[2]。その証明は現代的にはやや不満の残るものであったが、1794年にフランスのアドリアン＝マリ・ルジャンドルは厳密な証明を与え、さらに π2 も無理数であることを発見した。したがって
数学的帰納法 - Wikipedia
数学的帰納法（すうがくてききのうほう、英: mathematical induction）は、数学における証明の手法の一つである。 例えば自然数に関する命題 P(n) が全ての自然数 n に対して成り立つことを証明するために、次のような手続きを行う[注 1]。 P(1) が成り立つことを示す。 任意の自然数 k に対して、「P(k) ⇒ P(k + 1)」が成り立つことを示す。 1と2の議論から任意の自然数 n について P(n) が成り立つことを結論づける。 概要[編集] 自然数に関するペアノの公理の中に、ほぼ等価なものが含まれている。 なお、数学的「帰納」法という名前がつけられているが、数学的帰納法を用いた証明は帰納ではなく、純粋に自然数の構造に依存した演繹論理の一種である。2 により次々と命題の正しさが"伝播"されていき、任意の自然数に対して命題が証明されていく様子が帰納のように見え
双子のパラドックス - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "双子のパラドックス" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2017年6月） 双子のパラドックス（ふたごのパラドックス）とは、特殊相対性理論（1905年）による運動系の時間の遅れに関して提案されたパラドックスである。初めは、相対性理論に内部矛盾があるかどうかについて、アインシュタイン本人が時計のパラドックスとして出した問題であるが、1911年にポール・ランジュバンが双子をモデルしたパラドックスに仕立てたため、双子のパラドックスとして有名になった。 なお、アインシュタインは26歳のときに出した、特殊相対性理論の論文「動いている物体の
ヘンペルのカラス - Wikipedia
ヘンペルのカラス （英: Hempel's ravens） とは、ドイツのカール・ヘンペルが1940年代に提出した、帰納法が抱える根本的な問題（「帰納法の問題（英語版）」）を喚起する問題である。「カラスのパラドックス」とも呼ばれるが、パラドックスとして扱うべきかどうかには異論もある[1]。 「ヘンペルのカラス」は「全てのカラスは黒い[注釈 1]」という命題を証明する以下のような対偶論法を指す[1]。 「AならばBである」という命題の真偽は、その対偶「BでないものはAでない」の真偽と必ず同値となる[2][3][4]。全称命題「全てのカラスは黒い」という命題はその対偶「全ての黒くないものはカラスでない」と同値であるので、これを証明すれば良い[2][3]。そして「全ての黒くないものはカラスでない」という命題は、世界中の黒くないものを順に調べ、それらの中に一つもカラスがないことをチェックすれば証明
気体分子運動論 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "気体分子運動論" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2021年12月） 気体分子運動論（きたいぶんしうんどうろん、英語: kinetic theory of gases）は、原子論の立場から気体を構成する分子の運動を論じて、その気体の巨視的性質や行動を探求する理論である。気体運動論や分子運動論とも呼ばれる。最初は単一速度の分子群のモデルを使ってボイルの法則の説明をしたりしていたが、次第に一般化され、現今では速度分布関数を用いて広く気体の性質を論ずる理論一般をこの名前で呼ぶようになっている。 歴史[編集] 気体分子運動論のもっと
オイラーの多面体定理の証明
オイラーの多面体定理の証明 幾何学の有名な定理に、オイラーの多面体定理があります。 ＜オイラーの多面体定理＞ 凸多面体において、頂点の数をV，面の数をF，辺の数をEとすると、 V+F-E=2 が成り立つ。 例えば立方体ならば、V=8,，F=6，E=12だから、V+F-E=2が成り立ちます。 グラフ理論を使って証明されます。 グラフがいまいちわからない人はこちらへ→グラフ理論をちょっと勉強する。 まずは、任意の多面体の１つの面をはずし、それを広げるような形で平面に押しつぶすと、頂点と辺によって平面グラフが出来上がります。なお、任意の多面体の表面は球面に同相なので、必ず、平面グラフを作ることができます。なお、平面グラフにおける面は、図形の外側（無限に広がっていくエリア）も面の１つと数えることにします。これにより、１つの面をはずしたとしても数字のつじつまが合うことになります。
カントールの対角線論法 - Wikipedia
カントールの対角線論法（カントールのたいかくせんろんぽう、英: Cantor's diagonal argument）は、数学における証明テクニック（背理法）の一つ。1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文[1]の中で用いられたのが最初だとされている。 その後対角線論法は、数学基礎論や計算機科学において写像やアルゴリズム等が存在しないことを示す為の代表的な手法の一つとなり、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、時間階層定理といった重要な定理の証明で使われている。 対角線論法[編集] 集合による表現[編集] 対角線論法とは、以下の補題を使って定理を証明する背理法のことである。 を集合とし、をのべき集合とする。さらにをからへの写像とする。の部分集合をにより定義すると、となるは存在しない。 上の補題は以下のように示せる。となるが存在すると仮定
三角形の面積の公式
三角形の面積の公式 三角形の面積の公式といえば、（底辺）×（高さ）÷２ で、お馴染みである。基本的に、面 積の公式は全て、この公式が出発点である。 例１．（三角形の２辺 ａ 、ｂ とその間の角 θ が分かっているとき） Ｓ＝(１/２)ａｂ・sinθ (（底辺）＝ａ、（高さ）＝b sinθ) 例１．の変形バージョンとしては次の公式が有名だろう。 △ＡＢＣ の外接円、内接円の半径をそれぞれ Ｒ 、ｒ とすると、 Ｓ＝ａｂｃ/４Ｒ＝ｒｓ ただし、ｓは、三角形の周の長さの半分。 （証明） Ｓ＝ａｂｃ/４Ｒ を示すには、正弦定理を用いればよい。 正弦定理より、 ｓｉｎθ＝ｃ/２Ｒ なので、 Ｓ＝(１/２)ａｂ・sinθ＝(１/２)ａｂ・（ｃ/２Ｒ）＝ａｂｃ/４Ｒ Ｓ＝ｒｓ を示すには、△ＡＢＣを内接円の中心を頂点とする ３つの小三角形に分割し、その面積の総和を求めればよい。 即ち、Ｓ＝ａｒ/２＋
中点連結定理の証明
証明１ MNを延長した直線上にMN=NDとなる点Dをとる。 四角形AMCDで AN=NC, MN＝ND 対角線がそれぞれの中点で交わるので四角形AMCDは平行四辺形になる。 よって AM=DC, AM//DC 仮定より AM=MB MB=DC，MB//DC となり向かい合う１組の辺が平行で等しくなるので四角形MBCDは平行四辺形になる。 平行四辺形なので MD//BC，MD=BC よって MN//BC，MN=１／２BC ＜戻る＞ 証明２ 点Nを通り、平行四辺形ABDEとなるように作図する。 △NAEと△NCDで 仮定より、AN=CN ・・・・・１ 対頂角より、∠ANE＝∠DNC ・・・・・２ AE//DCなので、∠NAE＝∠NCD ・・・・・３ １，２，３より１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので △NAE≡△NCD 対応する辺なのでEN＝DN 作図より ＢＭ//ＤＮ 平行四辺形の対辺
ユークリッド原論
斎藤憲先生の『ユークリッド「原論」とは何か』には、現代においてユークリッドを読むことの意義について考える際に、避けては通れない問題を示唆する重要なエピソードが紹介されています。
栗まんじゅう問題 - アンサイクロペディア
バイバインは、一滴たらすとその物体を5分ごとに倍に分裂させる薬品である。物語は以下のように展開する。 のび太が1つしかない栗まんじゅうを食べようかどうか悩んでいる。 ドラえもんがバイバインを取り出すが、のび太の過去の言動を察してか、かけるのをやめる。(伏線) ドラえもんがのび太に事の重大性やリスクを敢えて忍ばせて、ちゃんと残さず食べてくれとお願いする(これが後に大きな命取りとなる)。 ドラえもんがバイバインを栗まんじゅうにかける。栗まんじゅうは分裂を始める（5分ごとに2倍に、つまり5n分後には2のn乗倍になる）。 のび太はしばらく放置し、増えたところで最初は喜んで食べていたが、食べきれない。母や友人にも助けを求めるが分裂速度に追いつかない。 栗まんじゅうは増え続け、思わず自宅のゴミ箱に捨ててしまう。 のび太はドラえもんに残さず食べたとウソをつき、ここでドラえもんが初めて事の重大性を述べる。
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