フレーゲ構造と忘れられたもう一つの集合観（前編）…フレーゲの述語優先主義 - 捨てる・おんぶ・ですってね
2024.11 « 12345678910111213141516171819202122232425262728293031 » 2024.01 （毎度のことですが勉強メモなんであんまり信用しないでください） フレーゲは著書『算術の基本法則』で、今日「素朴集合論」と呼ばれる集合論の立場の公理化を史上初めて行った、と言われることがあります。この言い方は別に大きな間違いではありません。しかし実は、集合というものについてのフレーゲの捉え方は、現代の我々が、例えば素朴集合論を学んだりするときの標準的な捉え方とは、実は著しく異なっていました。このエントリでは、オルタナティブな集合観の一つとして、フレーゲの集合観を紹介したいと思います。 ・"ふつうの"集合観としてのカントール的集合観 まず最初に、集合というものがどのように普通考えられているか整理してみましょう。多くの集合論（特に素朴集合論）の教科書
カリー＝ハワード同型対応 - Wikipedia
関数型プログラムとして書かれた証明：自然数の加法に関する交換律のCoqによる証明。 カリー＝ハワード同型対応（カリー＝ハワードどうけいたいおう、英語: Curry–Howard correspondence）とは、プログラミング言語理論と証明論において、計算機プログラムと証明との間の直接的な対応関係のことである。「プログラム＝証明」(proofs-as-programs)・「型＝命題」(formulae-as-types)などとしても知られる。これはアメリカの数学者ハスケル・カリーと論理学者ウィリアム・アルヴィン・ハワード（英語版）により最初に発見された形式論理の体系とある種の計算の体系との構文論的なアナロジーを一般化した概念である。通常はこの論理と計算の関連性はカリーとハワードに帰属される。しかしながら、このアイデアはブラウワー、ハイティング、コルモゴロフらが定式化した直観主義論理の操作
カリーのパラドックス - Wikipedia
カリーのパラドックス（英: Curry's paradox）は、素朴集合論や素朴論理学で見られるパラドックスであり、自己言及文といくつかの一見問題ない論理的推論規則から任意の文が派生されることを示す。名称の由来は論理学者のハスケル・カリーから。 ドイツの数学者マルティン・フーゴー・レープ（Martin Hugo Löb）の名をとって レープのパラドックスとも呼ばれている[1]。 自然言語の場合[編集] カリーのパラドックスの自然言語版は次のような文である。 この文が真なら、サンタクロースは実在する。 この文が真であると仮定する。すると、その内容からサンタクロースが実在するということが結論として得られる。これは conditional derivation（条件付き演繹）と呼ばれる自然演繹技法を使った推論である。 つまり、この文が真であるなら、サンタクロースは実在する — これはその文そのも
コンビネータ論理 - Wikipedia
コンビネータ論理（英: combinatory logic、組み合わせ論理）は、モイセイ・シェインフィンケリ（ロシア語版、英語版）（露: Моисей Эльевич Шейнфинкель、英: Moses Ilyich Schönfinkel）とハスケル・カリー（英: Haskell Brooks Curry）によって、記号論理での変数を消去するために導入された記法である。最近では、計算機科学において計算の理論的モデルで利用されてきている。また、関数型プログラミング言語の理論（意味論など）や実装にも応用がある。 コンビネータ論理は、コンビネータまたは引数のみからなる関数適用によって結果が定義されている高階関数、コンビネータに基づいている。 コンビネータ論理は元来、本質的に量化変数を消去することによって量化変数の役割を明確にするような「pre-logic」を意図していた。量化変数を消去す
自然演繹 - Wikipedia
自然演繹（しぜんえんえき、英: Natural deduction）は、「自然な」ものとしての論理的推論の形式的モデルを提供する証明理論の手法であり、哲学的論理学の用語である。 自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系 L は、証明の構文規則に関する次のような9つの基本的規則だけを持つ。 仮定の規則 "The Rule of Assumption" (A) モーダスポネンス "Modus Ponendo Ponens" (MPP) 二重否定の規則 "The Rule of Double Negation" (DN) 条件付き証明の規則 "The Rule of Conditional Proof" (CP) ∧-導入の規則 "The Rule of ∧-introduction" (∧I) ∧-除去の規則 "The Rule of ∧-elimina
Seminar on Logic
Course Materials SEMINAR ON LOGIC 京都大学、現代文化学の基礎演習（佐野勝彦先生）のリンクから来た方々へ。佐野先生がリンクを張ってくださったので、サービスに昔話を一つ。 わ たしが論理学の授業を受けたのは、1965年、工学部を卒業して文学部へ学士入学した一年目だった。当時、そしてわたし自身が京都大学に教師として着任し た1990年まで、京大にはロクな「論理学者」はいなかった。したがって、わたしが受けた授業の先生は非常勤講師、東京から集中講義で来てくださった石本 新先生だった。いまと違って、当時の集中講義は60時間もあって、通例では夏と冬、30時間ずつを二回に分けてやることになっていた（つまり、非常勤講師 の先生に払う旅費は二回分しかなかったということ）。ところが、石本先生は、「そんな日程で論理学が身につくワケがない！」とおっしゃって、自腹を切って 数回にわた
時相論理 - Wikipedia
時相論理（Temporal Logic）とは、時間との関連で問題を理解し表現するための規則と表記法の体系である。時相論理では、「私はいつも腹ペコだ」、「私はそのうち腹ペコになる」、「私は何かを食べるまで腹ペコだろう」といった文を表現できる。1950年代末にアーサー・プライアーが提唱した様相論理に基づいた時相論理を特に時制論理（Tense Logic）と呼ぶことがある。ハンス・カンプ（英語版）が重要な業績を残した。その後、そこから発展し、アミール・プヌーリら計算機科学者や論理学者が研究を進めた。 時相論理はシステムのハードウェアやソフトウェアの要求仕様を記述する方法として形式的検証で利用される。例えば、「要求が発生したら常にリソースへのアクセスがそのうちに承認される。ただし、決して2つの要求を同時に承認してはならない」といった文章は時相論理で表せる。 「私は腹ペコだ」という文を考えてみよう。
フレーゲ哲学の最新像 岡本賢吾 編 金子洋之編
『算術の基礎』のアイデアをもとにフレーゲの論理主義の再評価をはかる「新フレーゲ主義者」の論文を中心に、フレーゲを新しい視点から捉えた重要論文を精選した。 文脈原理――フレーゲ哲学の中心［マイケル・ダメット／岩本敦訳］ フレーゲの数の理論［チャールズ・パーソンズ／小川芳範訳］ フレーゲ『算術の基礎』の無矛盾性［ジョージ・ブーロス／井上直昭訳］ ヒュームの原理は分析的か［クリスピン・ライト／津留竜馬訳］ フレーゲはなぜ新フレーゲ主義者ではなかったか？［マルコ・ルフィーノ／須長一幸訳］ プラトニズムは認識論的に破綻しているか？［ボブ・ヘイル／長谷川吉昌訳］ フレーゲ構造と命題、真理、集合の概念［ピーター・アクゼル／土谷岳士訳］ 証明論的意味論と命題についてのフレーゲ的同一性規準［ヨラン・スントホルム／金子洋之訳］ 編者解説［岡本賢吾］ 人名索引 事項索引 フレーゲの著作・論文索引
閉世界仮説 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "閉世界仮説" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2019年8月) 閉世界仮説（へいせかいかせつ、英: Closed world assumption）は、現時点で真であると判明していないことは偽であると仮定することを意味する[要出典]。論理学では、Raymond Reither が閉世界仮説を形式化した。閉世界仮説の逆を開世界仮説（Open world assumption）と呼び、知識の欠如を偽とは見なさない。 失敗による否定（Negation as failure）は閉世界仮説と関連しており、真であると証明されなかった
3値論理 - Wikipedia
この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注による参照が不十分であるため、情報源が依然不明確です。 適切な位置に脚注を追加して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2022年12月） 3値論理 (英: ternary, three-valued or trivalent logic) とは、通常の真 (true) と偽 (false) から成る真偽値の他に、第3の真理値を持つ論理体系。多値論理のひとつである。 古典論理は排中律を前提としているが、クルト・ゲーデルによって「正しいが証明できない命題」が存在することが証明されたため、「二重否定の除去」を認めない直観主義論理などが成立した。これは様相論理学の一種ともいえ、「真であることが証明可能である」「偽であることが証明可能である」「真であるか偽であるかが証明不能である」の三つの真偽値を考える必要があった。 古典論理では真理値
数理論理学 - Wikipedia
数理論理学（すうりろんりがく、英 : mathematical logic）または現代論理学[1][2]、記号論理学[1][2]、数学基礎論[3]、超数学[4]は、数学の分野の一つであり[4]、「数学の理論を展開する際にその骨格となる論理の構造を研究する分野」を指す[3][注 1]。数理論理学（数学基礎論）と密接に関連している分野としては計算機科学〔コンピュータ科学〕[4]や理論計算機科学などがある[注 2][注 3]。 数理論理学の主な目的は形式論理の数学への応用の探求や数学的な解析などであり、共通課題としては形式体系の表現力や形式証明系の演繹の能力の研究が含まれる。 数理論理学はしばしば集合論、モデル理論、再帰理論、証明論の4つの領域に分類される。これらの領域はロジックのとくに一階述語論理や定義可能性に関する結果を共有している。計算機科学（とくにACM Classification（英
ファジィ論理 - Wikipedia
ファジィ論理（ファジィろんり、英: Fuzzy logic）は、1965年、カリフォルニア大学バークレー校のロトフィ・ザデーが生み出したファジィ集合から派生した[1][2]多値論理の一種で、真理値が0から1までの範囲の値をとり、古典論理のように「真」と「偽」という2つの値に限定されない[3]ことが特徴である。ファジィ論理は制御理論（ファジィ制御）から人工知能まで様々な分野に応用されている。 ファジィ論理と確率論理は数学的に似ており、どちらも0から1までの値を真理値とするが、概念的には解釈の面で異なる。ファジィ論理の真理値が「真の度合い」に対応しているのに対し、確率論理では「確からしさ」や「尤もらしさ」に対応している。このような違いがあるため、ファジィ論理と確率論理では同じ実世界の状況に異なるモデルを提供する。 真理値と確率が0から1の範囲の値をとるため、表面的には似ているように思われる。例
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三浦俊彦 「ラッセルのパラドクス｣