燃やす埋める問題とProject Selection Problemの整理 - Qiita
2021年3月から毎日問題が公開されている「競プロ典型90問」、皆さま解いていらっしゃいますでしょうか？ 一昨日、第40問として公開された「Get More Money」が解説を読み、その後いろいろな記事を見ても理解が難しかったので整理してみました。 当然のことながらこの問題の解法に触れますので、問題に挑戦したい方はこの記事は後からお読みいただくことをお勧めします。 AtCoder常設ジャッジ 問題画像 公式解説 何が理解できなかったのか 公式解説にもある通り、この問題はいわゆる「燃やす埋める問題」というタイプの問題です。公式解説は紙面の都合もあって要点を絞って書かれているので、ほとんど予備知識がなかった筆者の場合はあまり腹落ちしませんでした。そこで「燃やす埋める問題」というキーワードを元にググってみて記事を色々と読んだのですが、どうもこの問題を解くやり方はいくつかパターンがあるようで、書
Le Algorithm: 高速な全点対最短経路アルゴリズム
理論計算機科学 (Thoerotical Computer Science) の色んな定理やアルゴリズムを紹介していきます. 基本的には日本語の資料がほとんどないような知見を解説していきます. 1. 全点対最短経路問題の計算量の外観 グラフ $G$ が与えられたときに全点対最短経路(APSP : all pair shortest paths)を求めたいときがあります. そんなときはほとんどの人がワーシャル・フロイド法または各点ダイクストラなどを使うかと思います. しかしこれらのアルゴリズムは頂点数 $n$ に対して最悪 $O(n^3)$ 時間かかってしまうので, $n=1000$くらいでもちょっと厳しい感じがあります. 実は辺重み付きグラフのAPSPの計算量には多くの歴史があり、ワーシャルフロイド法以降様々なアルゴリズムが提案されてきました. しかし、任意の $\epsilon>0$ に
AGC018: C – Coins を離散凸解析（L 凸関数最小化）で解く
頂点集合が $U = \set{1,\dots,N},$ $V = \set{1,2,3}$ である完全二部グラフ $G = (U, V; E)$ を考える．以下が与えられる: 正整数 $b_1, b_2, b_3$（ただし $b_1 + b_2 + b_3 = N$），各辺 $(i, j) \in E$ の正整数重み $c_{ij}$．以下の $2$ 条件を満たすように辺部分集合 $S \subseteq E$ を選ぶとき，重みの和 $\sum_{(i, j) \in S} c_{ij}$ の最大値を求めよ: 二部グラフ $(U, V; S)$ において各頂点 $i \in U$ の次数は $1$，二部グラフ $(U, V; S)$ において各頂点 $j \in V$ の次数は $b_j$． 入力に対する制約$3 \leq N \leq 10^5$$1 \leq c_{ij} \leq
清一色のシャンテン数を01BFSで計算する - yukinote
概要 清一色のシャンテン数は01BFSで計算できる。 機械的な計算なので、正当性が簡単に証明できる。 シャンテン数とは テンパイするまでに必要な牌の最小枚数のこと。 例えば 🀉🀊🀍🀎🀑🀒🀙🀚🀛🀜🀜🀀🀁 のとき、🀈🀌 を引いて🀀🀁を捨てればテンパイとなる。これより少ない枚数の入れ替えでテンパイすることはできないので、この手牌のシャンテン数は2となる。 この例のようにシャンテン数がわかりやすいケースがほとんどだが、清一色のような場合はシャンテン数を求めにくい。 特にプログラムでシャンテン数を計算する場合、正しいコードを書くことは難しい。また、正当性を保証するのも難しい。 考える問題 清一色だけを考える。以下では萬子🀇🀈🀉🀊🀋🀌🀍🀎🀏だけを扱う。 複数色ある場合や字牌を含む場合でも、清一色のシャンテン数さえ計算できていれば、軽いdpで解くことが
ネットワークフロー問題たちの関係を俯瞰する - 私と理論
ネットワークフロー好き好きマンとして，フローを布教したくなったので記事を書きました． ただし，フローの解説資料は既に素晴らしいものがたくさんあるので，今回は今まであまり焦点が当てられてこなかった部分を推して話をしたいと思います． テーマは，数あるフローの問題の関係を整理することです． フローの問題たちには共通の歴史があり，共通の定式化があり，共通のアルゴリズムの思想があります． その「共通」の部分を理解することで，フローに対する理解が深まり，より面白いと感じられると僕は思っていて，そこについて書きます． かなり基本的な内容しか書いてないので，強い人が得るものはあまりないかもしれません． あとこの記事はおきもちを書いてる部分が多いです． また，この記事では問題の話だけをしてアルゴリズムの詳細の話をほとんどしません．この辺りは 保坂さんのスライド などが非常に分かりやすいので，そちらを参照して
燃やす埋める問題を完全に理解した話 - koyumeishiのブログ
完全に理解しても今ではもう捻くれた応用問題しか出ないので 今後解けるとは言っていないです。 数弱なのでガバってると思うけど雰囲気で察してください。 参考資料 書き終えてから見つけたけど、この記事の内容大体ここに書いてあった気がする。 再発明万歳... Graph cut optimization - Wikipedia Quadratic pseudo-Boolean optimization - Wikipedia 燃やす埋めるをグラフ表現可能な劣モジュラ関数の視点から見たもの。 これがなかったらソルバなんて作らなかった 燃やす埋める問題と劣モジュラ関数のグラフ表現可能性 その① 燃やす埋める問題と劣モジュラ関数のグラフ表現可能性 その② グラフ構築編 燃やす埋めるが出題される度に見に行くいつものやつ 最小カットを使って「燃やす埋める問題」を解く 最小カットを使って「燃やす埋める」問題を
最小費用流についてのちょっとしたメモ - gdgdiary
恥ずかしながら、最小費用流をかなりブラックボックスとして利用していたのだが、今まであまり気付いてなかったことたちが少し整理できたので雑なメモを残しておきます。アルゴリズム自体は各種資料を見てください(怠惰) 双対 LP との関係も知る人ぞ知るジャンルではあるのですが詳しい資料がたくさんあるのでそちらへ 最小費用流のライブラリを整備したい人は、これが今まで見た中で最も一般的な形をしている(fが負って何？)ので頑張って通すと良さそう。 Minimum cost b-flow フローについて詳しいことが知りたい人には Mi_Sawa さんの記事たちがかなり参考になり、今回はこれを参考にしました ぼくの考えたさいきょうのフローライブラリ - みさわめも みなさん大好き組合せ最適化も参考にしました。hosさんやwataさんやtokoharuさんの資料も有名です。 b-flow というのは、各頂点に需
Dinic法について - TAISA_'s blog
理解にかなり手間取った&面白かったのでメモ。 アルゴリズム やっていることは、「長さが短い順に増加路を使っていく」というだけ。 以下、頂点数 、辺数 、始点 、終点 のネットワークを考える。 残余グラフを構築しておく。 増加路がなくなるまで、以下を繰り返す。この一回の繰り返しを「1ステップ」とする。 BFSで、「容量正の辺のみを使った時の、 から までの最短路長」 を求める。 長さ の増加路がなくなるまで、DFSで増加路を選び、フローを増やす。 なる辺 以外はないものとして扱えば、増加路は全て長さ になる。 DFSの際には、「その辺を使ったフローがこれ以上流せない」状態になった辺を記録し、以降の探索では無視するようにする。つまり、その辺を使おうとしたが、 に辿り着けなかった時と、容量が0になった時、辺は死ぬ。 なお、辺が死んでも1回のステップが終わったら復活する。 計算量(一般のグラフの場
最短経路問題総特集！！！～BFSから拡張ダイクストラまで～ - Qiita
基本的アルゴリズム（幅優先探索など）から応用（経路復元、拡張ダイクストラなど）まで、最短経路問題に関するアルゴリズムを総特集しました。 基本的なグラフ理論の用語については、次を参考にしてください。 グラフ理論 用語集 queueなどのデータ構造の用語については、次のスライドの後半を参考にしてください。 C++ STL講習会 by @e869120 最短経路問題とは 一般的に、次のような問題とされます。 $V$ 頂点と $E$ 辺からなるグラフが与えられる。頂点 $u$ と 頂点 $v$ を結ぶパスのうち、重みの総和が最も小さいものはどれか。 始点を固定して他のすべての頂点との対について最短経路問題を解く場合や、任意の2頂点の対について解く場合などが実際には多いです。 実社会とも強く密着した問題のため、古くからたくさん効率的な解法が考えられてきました。 今回はそれらを紹介しつつ、細かいテクニ
IDA* -- Iterative Deepening A* - Qiita
自分は孫弟子にあたるらしいRichard E. Korf 先生の論文紹介です。 会ったことないですがKorf先生→ https://www.youtube.com/watch?v=EnX8cQPiB1M https://www.youtube.com/watch?v=TAjyI06Q1x8 IDAはAと同じく最適解を返すアルゴリズムですが、A*と異なり メモリ使用量が線形 であるという違いがあります。 Iterative Deepening Depth First Search だれだ反復深化深さ優先探索なんて長ったらしい名前を付けたのは。 反復Xは長いのでIDDFSと呼びましょう。 IDDFSは、ダイクストラの深さ優先版です。 ダイクストラやA*などの最良優先探索系、もとい幅優先探索系に共通する問題は、OPENリストを全部メモリに確保しておかないといけないという点です。 しかし、実際のコ
行列木定理の証明 - blogoid
0. はじめに 今回は行列木定理(Kirchhoff's theorem)の証明を紹介してみようと思います。 行列木定理とは、全域木の個数の数え上げに関する定理です。証明方法はいくつかありますが、今回は漸化式を用いた全域木の個数の数え上げとの対応を見ることで定理を証明してみたいと思います。 1. 定理の内容 頂点数$n$のループを含まない多重無向グラフ$G$が与えられたとします。対角成分に頂点の次数を並べた行列から、隣接行列*1を引いたものをラプラシアン行列といいます。つまり、$G$に対する$n$×$n$ラプラシアン行列$L=(l_{ij})$は$$\begin{aligned}l_{ij}=\begin{cases}\text{頂点iの次数}&(i=j)\\ \text{頂点iと頂点jの間の辺の数}\times (-1)&(\mathrm{otherwise}) \end{cases}
トポロジカルソートと強連結成分分解でWikipediaの特定カテゴリー配下のページをすべて取得する - 終末 A.I.
Wikipediaの特定カテゴリー配下のページをすべて取得するためには、整理されていないグラフデータ特有のいくつかの問題に向き合う必要があります。 一つは、Category:カツラ科と糸井の大カツラのように、サブカテゴリーにはページへのリンクが含まれているが、カテゴリー本体にはページへのリンクが含まれていないケースがあるという問題。 もう一つは、Category:インフォグラム・エンターテインメントームソフトとCategory:アタリのゲームソフトのように、お互いがお互いのサブカテゴリーに含まれてしまっているケースがあるという問題です。 これらの問題は、以下の手順を踏むことで解決できます。 カテゴリーにリンクされているページだけでなく、サブカテゴリー内のリンクを順にたどって含まれるすべてのページを収集する ただし、一度たどったカテゴリーに再度到達した場合、それ以上はそのルートを探索しない
Dijkstra法に関するn考察 〜前半〜 - Mister雑記
(思ったより長くなりそうだったので前半と後半に分けることにしました。 後半の投稿予定は未定です。) 競技プログラミングのグラフ問題でしばしば題材となるアルゴリズム「Dijkstra法」。 その名前のインパクトと汎用性から比較的知名度が高いアルゴリズムだが、実装がそこそこ重いため初心者の壁となることもある。 そんなDijkstra法について、私の持つ知識、イメージを適当に書き連ねていこうと思う。 目次 目次 Dijkstra法の概要 何をするアルゴリズムか 具体例 イメージ？ 実装方法 パターンA パターンB (PFS) 計算量の比較 問題例 後半について Dijkstra法の概要 何をするアルゴリズムか Dijkstra法を一言で説明するなら「重み付きグラフにおいて、ある頂点から他の全ての頂点までの最短距離を求める」アルゴリズムである。 一工夫すれば最短距離を実現する経路も同時に求められる
ダイクストラとポテンシャルのはなし - niuez’s diary
はじめまして, niuezといいます. 競プロを少ししています. 最近勉強したことのメモ書きをしておきます. ダイクストラ法 ダイクストラ法(Dijkstra)は負の長さの無いグラフで始点からの最短距離を求めるアルゴリズムです. 具体的には 距離が未確定の頂点の中で一番小さいものを選び, 距離を確定させる. 選んだ頂点から距離が未確定の頂点に伸びる辺で, 未確定な距離をより短いものに更新する. を繰り返します. これを実装すると $O(N)$ですが, よく知られるダイクストラの計算量は $O((E+ V) \log E)$ です(heapとかを使う). #include <set> #include <queue> #include <vector> struct edge { int u,v; int dist; }; std::vector<int> dijkstra(const st
Graph Golf参加記
理論計算機科学 (Thoerotical Computer Science) の色んな定理やアルゴリズムを紹介していきます. 基本的には日本語の資料がほとんどないような知見を解説していきます. NII主催のグラフコンペティション Graph Golfに助教とM2の先輩と僕の3人チームで参加して優勝し、12/10に札幌で開かれたCANDAR'15にて講演をしました。(めっちゃ高そうな盾とかもらいました！！！)ということでGraph Golfの問題内容や背景、および僕らのとった手法の概略について適当に書いていきます。 前提知識として知っておいてほしい単語は以下の2つくらいです。 グラフ(点と点が繋がってるアレのこと) 次数(頂点に繋がってる辺の本数のこと) 問題内容 自然数nとdが与えられる。頂点数nでどの頂点の次数もd以下であるようなグラフのうち 1. 直径 2. ASPL が小さいものを構
最短経路の個数も一緒に数え上げる最短経路アルゴリズム - けんちょんの競プロ精進記録
ARC 090 E - Avoiding Collision で話題になったこともあり、簡単にメモします。 最短経路を求める DP 的処理をするとき、DAG上のDP だろうと、BFS だろうと、Dijkstra だろうと、以下のような緩和処理をやっています // Edge e の緩和 int dp[MAX_V]; // dp[v] := 始点 s から頂点 v への最短経路長 if (dp[e.to] < dp[e.from] + e.cost) { dp[e.to] = dp[e.from] + e.cost; } これをちょっと変えるだけで、最短経路の本数も一緒に数え上げられます。 // Edge e の緩和 int dp[MAX_V]; // dp[v] := 始点 s から頂点 v への最短経路長 int num[MAX_V]; // num[v] := 始点 s から頂点
実世界で超頻出！二部マッチング (輸送問題、ネットワークフロー問題）の解法を総整理！ - Qiita
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Hal Tasaki on Twitter: "遅ればせながら早水さん @hayamizu_lab のグラフ理論入門講義を仕事の合間に順に聴講してようやく連載（？）に追いつきました！ それにしても、みなさんおっしゃるように、これは本当に素晴らしい。YouTube 上の最高級の文… https://t.co/738Eahx1wk"
サンタコンペで二度全完した話
