ハウスドルフ空間とは | Math Relish

着想や背景 近傍と点列の収束 ハウスドルフ空間を理論構成の道具立てとして議論で仮定する理由は， 点列の収束の一意性を保証したいからである． このことを考える過程で自然とハウスドルフ空間の定義が見えてくる．今，それを見てみよう． まず位相空間上での点列の収束を次のように定義する． 位相空間 上の点列 が に収束するとは， の任意の近傍 について次が成り立つことをいい，これを とかく． $$\forall U\ni x,~ \exists N,~ \lbrace x_n\rbrace_{n\geq N} \subset U$$ これは点列のある点から先は収束先となる点の近傍にすべて含まれることをいっている． 集合だけで収束性を表現できているのである．素晴らしい． 望ましくない収束例 位相空間上の収束の定義から，位相によっては次のことがあり得ることになる． 収束が一意でない． 収束できない点列が