関数方程式 - Wikipedia
数学、及びその応用分野において、関数方程式（かんすうほうていしき、functional equation）は、単一の（または複数の）関数のある点と他の点での値の関係を示す方程式である。関数の性質は、与えられた条件を満たす関数方程式の種類などをもとに決定することができる。通常は代数方程式に帰着できない方程式を指す。 リーマンゼータ関数やその類似物が満たす特殊な関数方程式は、関数等式と呼ばれることが多い。 リーマンゼータ関数 ζ は関数方程式 を満たす。ただし大文字の Γ はガンマ関数である。 ガンマ関数は以下の関数方程式を満たす。ガンマ関数は、以下の3本の方程式からなる系を満たす唯一の関数である。 関数方程式 は k 次の保型形式を定義する。ただし a、b、c、d は ad − bc = 1 を満たす整数とする。 その他にも多くの例を挙げることができる。 すべての指数関数は を満たす。 すべ
微分方程式 - Wikipedia
解析学において、微分方程式（びぶんほうていしき、（英: differential equation）とは、未知関数とその導関数の関係式として書かれている関数方程式である[1]。 数学の応用分野においてしばしば、異なる2つの変数の関係を調べることが行われる。2変数を対応付ける関数があらわになっていなくても、その導関数（の満たすべき方程式）を適当な仮定の下で定めることができ、そこから目的とする関数を探し出すことができる。 物理法則を記述する基礎方程式は、多くが時間微分、空間微分を含む微分方程式であり、物理学からの要請もあり微分方程式の解法には多くの関心が注がれてきた。 方程式論は解析学の中心的な分野で、フーリエ変換、ラプラス変換等は元々、微分方程式を解くために開発された手法である。また物理学における微分方程式の主要な問題は境界値問題、固有値問題である[1]。 微分方程式は大きく線型微分方程式と
偏微分方程式 - Wikipedia
偏微分方程式（へんびぶんほうていしき、英: partial differential equation, PDE）は、未知関数の偏導関数を含む微分方程式である。 微分方程式は通常多くの解をもち、しばしば解集合を制限する境界条件を付加して考える。常微分方程式の場合にはそれぞれの解がいくつかのパラメータの値によって特徴付けられるような族を解としてもっているが、偏微分方程式については、パラメータは関数値をとると考えるほうが有用である。このことは、過剰決定的な方程式系でない限りは概ね正しいといえる。 偏微分方程式は、自然科学の分野で流体や重力場、電磁場といった場に関する自然現象を記述するモデルとして現れる。これらの場というものは例えば、フライトシミュレーションやコンピュータグラフィックス、あるいは天気予報などを扱うために重要な役割を果たす道具である。また、一般相対性理論や量子力学の基本的な方程式も
重調和方程式 - Wikipedia
数学における重調和方程式（英: biharmonic equation）とは、次のように書かれる 4 階の偏微分方程式である： ここで ∇4 は 4 階の偏微分作用素、またはラプラス作用素 Δ の自乗で、重調和作用素 (biharmonic operator) として知られている。 例えば、3次元デカルト座標系では重調和方程式は次の形になる。 重調和方程式の解は重調和関数 (biharmonic function) と呼ばれる。どんな調和関数も重調和であるが、逆は真ではない。 重調和方程式は連続体力学の分野（線型弾性理論における応力関数や流体力学におけるストークス流れの解など）において現れる。 2次元の場合の一般解は ここで は調和関数で は の調和共役である。 2変数の調和関数は複素解析関数と深く関わりを持つが、2変数の重調和関数についても同じことが言える。2変数の重調和関数の一般形は次
オイラーの等式 - Wikipedia
オイラーの等式は、その数学的な美によって特筆すべきものと多くの人に認識されている。 この等式は次の5つの基本的な数学定数を含んでいる。 1：乗法に関する単位元 0：加法に関する単位元、すなわち零元 π：円周率。三角比、ユークリッド幾何学、微分積分学で頻出。およそ 3.14159 である。 e: ネイピア数。自然対数の底でもあり、微分積分学で広く出現。およそ 2.71828 である。 i：虚数単位。複素数における虚数単位であり、積分などの多くの演算においてより深い洞察に導く。 かつ、それらが次の3つの基本的な算術演算によって簡潔に結び付けられている。 加法 乗法 指数関数 幾何学、解析学、代数学の分野でそれぞれ独立に定義された三つの定数 (π, e, i) がこのような簡単な等式で関連付いている。なお、一般的に解析学では方程式は片側（概ね右辺）に「0」を置く形で記される。 数学誌のThe M
解析学 - Wikipedia
解析学（かいせきがく、英語：analysis, mathematical analysis）とは、極限や収束といった概念を扱う数学の分野である[1][2]。代数学、幾何学と合わせ数学の三大分野をなす[3]。 数学用語としての解析学は還元主義とは異なっており、初等的には微積や級数などを用いて関数の変化量などの性質を調べる分野と言われることが多い[1][4]。これは解析学がもともとテイラー展開やフーリエ級数などを用いて関数の性質を研究していたことに由来する[1]。 例えばある関数の変数を少しだけずらした場合、その関数の値がどのようにどのぐらい変化するかを調べる問題は解析学として扱われる[1]。 解析学の最も基本的な部分は、微分積分学、または微積分学と呼ばれる。また微分積分学を学ぶために必要な数学はprecalculus(calculusは微積分の意、接頭辞preにより直訳すれば微積分の前といっ
微分法 - Wikipedia
函数のグラフ（黒）とその接線（赤）。接線の傾きが接点における函数の微分係数に等しい。 数学における微分法（びぶんほう、英: differential calculus; 微分学）は微分積分学の分科で、量の変化に注目して研究を行う。微分法は積分法と並び、微分積分学を二分する歴史的な分野である。 微分法における第一の研究対象は関数の微分（微分商、微分係数）、および無限小などの関連概念やその応用である。函数の選択された入力における微分商は入力値の近傍での函数の変化率を記述するものである。微分商を求める過程もまた、微分 (differentiation) と呼ばれる。幾何学的にはグラフ上の一点における微分係数は、それが存在してその点において定義されるならば、その点におけるグラフの接線の傾きである。一変数の実数値関数に対しては、一点における函数の微分は一般にその点における函数の最適線型近似を定める。
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