ルーシェの定理を使います。 F(z)=z^7-5z^4+z^2-2, G(z)=-5z^4+z^2 とおきます。すると、 F(z)-G(z)=z^7-2 となりますね。 ここで|z|=1における|F(z)-G(z)|と|G(z)|の評価をします。 |F(z)-G(z)|=|z^7-2|≦3 (z=-1のときに最大となります) |G(z)|=|z^2|*|-5z^2+1|=|-5z^2+1|≧4 (z=1のときに最小になります) つまり、何がわかったかというと、|z|=1においては |F(z)-G(z)|<|G(z)| が成り立つということです。 ここでルーシェの定理を使えば、 F(z)とG(z)の|z|=1の内部における零点の個数は等しいということがわかりますね。 G(z)の|z|=1の内部における零点は因数分解してみればわかるように z=±1/√5,0(二重解) すなわち、四個。 (0は