SetはFunctorである - think and error
Haskell Advent Calendar 2013 9日目です。 概要 SetはFunctor。 Categorical Programming for Data Types with Restricted Parametricity rmonad: Restricted monad library なぜSetはFunctorになっていないのか Setを要素が重複しないデータ構造とします。Setはその性質のため、要素には比較出来ることが要求されます。Haskellで言うとEq制約です。まあ本来重複しないことだけを要求するならEq制約だけでいいはずですが、SetがOrd制約を要求しているのは効率の良い実装にするためでしょう。containersパッケージのData.Setはバランス二分木で実装されています。 本来SetはFunctorにすることが出来るはずです。しかし現状(GHC7.6
Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic
Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic Last updated: Oct. 8, 2019 The study of logic goes back more than two thousand years and in that time many symbols and diagrams have been devised. Around 300 BC Aristotle introduced letters as term-variables, a "new and epoch-making device in logical technique." (W. & M. Kneale The Development of Logic (1962, p. 61). The modern era of mathematical n
第四回選択公理オフ：数理論理学の初歩の初歩の初歩の……
[PDF版 ] はじめに この発表では，数理論理学の初歩的な知識から始まって，構造の濃度に関する Löwenheim-Skolem の定理や，超積に関する Łoś の定理1と選択公理の関係について述べます．これらは，数理論理学と呼ばれる分野の初歩的な結果です．数理論理学は集合論やモデル理論，証明論，計算理論など幾つもの分野に別れていますが，ここで扱うのはややモデル理論よりの結果です．数理論理学は数学という営為じたいを数学的に分析してみよう！という分野ですので，はじめて見るぜ！という人に関しても，普段自分達がやっている数学がどのように形式化され扱われるのかを鑑賞して頂ければと思います．また，以下では本質に関わらない記号の選び方云々に関しては，意図的に適当に書いて目を瞑ったところがあります．また，この発表ではモデル理論的な側面を強調して，証明論的な側面は殆んど触れられていません．しっかりとした
SetはFunctorではない - xuwei-k's blog
SetがFunctorではない理由を延々と説明します。最初これ http://failex.blogspot.jp/2013/06/fake-theorems-for-free.html を訳そうとしましたが、英語力と理解力のなさにより断念し、中途半端な翻訳になるなら、自分なりに書き下そうという結論になりました。内容は上記の記事と半分以上被ると思います。あと、上記の記事書いた人は「Scalazのコミッターであり、おそらくekmettの同僚であり、ermine-languageのコミッター」な人です。よってオススメなので、そっちも読みましょう。*1 以下、Scala以外の言語でも大概は当てはまると思いますが、一応Scala(というか、Scalaz)を念頭において書いていきます。 さて、プログラミングにおいて、Setとは一体何でしょうか？ とりあえず「要素の重複を持たないデータ構造」といえるで
endomap の構造 | tnomuraのブログ
集合 A に 集合 A から集合 A 自身への写像を定義することもできるが、この写像は endomap と呼ばれる。x1, x2 を集合 A の要素とすると、endomap α は、 x2 = α x1 で表す事ができる。x2 もまた集合 A の要素なので α を関数適用できるからその値を x3 とすると、 x3 = α x2 = α (α x1) となる。さらに x3 にも α を関数適用すると ... というように最初の要素 x1 から始まって次々に関数適用していく事ができる。 x1 -> x2 -> x3 -> x4 -> ... -> xn -> ... このような要素の連鎖を考えていくとこの連鎖にいろいろなパターンがある事が分かる。最も小さなパターンは不動点 fixed point だこれは x1 に α を関数適用すると x1 になる場合だ。 x1 = α x1 これは集合の中
東大 理学部情報科学科／大学院情報理工学系研究科｜情報科学科NAVIgation
きわめて抽象度が高く、それゆえに近寄りがたい印象がもたれている圏論。その圏論のもわーっとしている入口へ案内します。とはいえ、圏論のきちんとした定義をわずかな文章で示してもわかりにくいばかりなので、ここではまず小さな例で雰囲気をつかんでください。興味がわいたら、最後に紹介する文献をどうぞ。 矢印ばっかり描いているのだ 数学では普通、「集合 A があって、その元 a ∈ A があって……」というように、集合ベースで話が進みます。圏論というのは、代わりに対象と射を使う数学のコトバです。ぱっと見でいえば、「矢印ばかり描いている」という印象になるでしょう。 次の図を見てください。 X、Y、Z、X ⊔ Y というのが対象で、その間に描いてある矢印が射です。 圏論ではこの図を、 X、Y が与えられたとき、 特別な X ⊔ Y と、κ1、κ2 がとれる。 どう特別かというと、ほかに Z とf、g というも
順序対 - Wikipedia
数学における順序対（じゅんじょつい、英: ordered pair）は、一口に言えば対象を「対」にしたものである。二つの対象 a, b の順序対をふつうは (a, b) で表す。ここで、「順序」対において対象の現れる順番は重要であることに注意しなければならない、すなわち a = b でない限り (a, b) という対と (b, a) という対とが相異なる[注 1]。 順序対 (a, b) において、対象 a を第一成分 (first entry, first component), 対象 b を第二成分 (second entry, second component) などと呼ぶ。場合によっては、第一、第二座標や、左射影・右射影ともいう。 順序対のことを二つ組とか長さ 2 の列（計算機科学方面ではリスト）とも呼ぶ。あるいは、スカラー（数量）の順序対は二次元の（数）ベクトルである。順序対の成
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Is pattern matching in Set Comprehensions in Haskell possible, or what is an alternative?
http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/syugou-index.html