大学の理学部（数物系）、工学部などの出身者であれば、テンソルという言葉を少なくても１度は耳にしたことがあると思います。重要な概念にも関わらず、どうしてテンソルは理解されないのか、その原因について考えてみたいと思います。 いろいろなテンソル テンソルと最初に出会うのは、全学共通科目（昔でいう教養科目）の力学に登場する慣性モーメントテンソルあたりでしょう。専門学部（理学部の物理学科や工学部）に進むと、電磁気学の電磁場テンソル、連続体力学や構造力学の応力テンソル、一般相対論のアインシュタインテンソル、場の量子論のボソンフォック空間やフェルミオンフォック空間と至る所に登場します。数学では代数学、幾何学、解析学、分野を問わず登場します。統計学でも多次元の確率変数のモーメント*1を定義するのに必要となります。また最近では機械学習の分野でも見かけるようになりました。 このように八面六臂の大活躍をするテン
目的 このシリーズは中学三年生程度の数学の知識があれば、Python言語の機械学習記述用ライブラリを利用して記述された、基本的な教師あり学習のニューラルネットワークである誤差伝搬型3層ニューラルネットワークのプログラム、つまり、TensorFlowのサイト（TensorFlow.org)上にあるTutorialのMNIST For ML Beginnersの内容をを理解できるということを目的としています テンソルとは何か 早速本題に入り、まずはテンソルということについて考えて行きます ベクトルとスカラー テンソルについて説明する前に、まず、スカラーとベクトルについて説明します スカラーとは大きさです。例えば距離、例えば重さ、そういうものを数学用語でスカラーといいます ベクトルとは大きさと向きがあるものです。座標というものベクトルで考えることができます。それは原点をどこかにとれば、座標への向
ベクトル解析 - [物理のかぎしっぽ]
ベクトル代数1 † もう一度ベクトル1（やっさん著） もう一度ベクトル2（ベクトルの読み書きそろばん）（やっさん著） もう一度ベクトル3（幾何と代数の通訳）（やっさん著） ベクトル方程式（やっさん著） ベクトルの回転（Joh著） 続・ベクトルの回転（クロメル著） 続々・ベクトルの回転(クロメル著) 続々々・ベクトルの回転(クロメル著) 続×４ベクトルの回転(クロメル著) 四次元空間中のベクトルの回転(クロメル著) ベクトルの基底の変換(クロメル著) 軸性ベクトルと極性ベクトル（Joh著） 三重積（Joh著） ベクトルの割り算（Joh著） 球面三角形の角度（Joh著） 七次元の外積（Joh著） ガウスの定理は本当に常に成り立っているの？（クロメル著） ↑ ベクトル代数2 † ベクトルことはじめ（Joh著） 基底の座標変換（Joh著） 共変ベクトルと反変ベクトル（Joh著） 双対基底（Joh著
何の話かと言うと 量子計算の説明で必ず出てくるのが、 といったヘソマーク を用いた積（テンソル積）です。テンソル積の定義にはいくつかの方法（流派？）があり、個人的には、双対空間を用いた多重線型写像として定義するのがいちばんスッキリするのですが、数学的な厳密性にこだわらない方むけには、いまいち抽象的すぎて、遠回りな説明に感じられるかも知れません。 そこでここでは、一番ベタな「数ベクトル」による、基底を用いた定義を使って、テンソル積を説明してみます。 1階のテンソル 量子計算の話を念頭に置いて、2次元の複素ベクトル空間で話を進めます。まずは、2個の複素数を縦にならべた「縦ベクトル」を考えます。 一般には、これは、「複素数ベクトル」と呼ばれるものですが、ここでは、これに「1階のテンソル」という別名を与えます。 また、これを転置して横に数字を並べて、さらに、各成分の複素共役をとったものを考えます。
物理の本ではよく, 「反変ベクトルとは～～という変換則をもち, 共変ベクトルは・・・という変換則をもつものとして定義される」と説明がなされますが, 初学者にとってはなぜ唐突にこのような定義がされるのか非常にわかりにくいと思います. そこでこのページでは数学的によりシンプルな定義を採用し, 一点の曇りなく自然に反変ベクトルと共変ベクトルが導入されることを説明します. さらに2つの拡張としてテンソルが自然に導入されることもみていきます. 以下では$${\left(e_i\right)_{1\leq i\leq n}}$$を$${n}$$次元実ベクトル空間$${V}$$の基底とします. 複素ベクトル空間の場合も以下の$${\mathbb{R}}$$を$${\mathbb{C}}$$に変えるだけで全て上手く成り立ちます. このページと同じ内容のPDFも用意していますので適宜ご利用ください. 前提知
テンソル - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "テンソル" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2011年8月） テンソル（英語: tensor, ドイツ語: Tensor）とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。しかし、テンソル自身は、特定の座標系によらないで定まる対象である。個々のテンソルについて、対応する量を記述するのに必要な配列の添字の組の数は、そのテンソルの階数とよばれる。 例えば、質量や温度などのスカラー量は階数0のテンソルだと理解される。同様にして力や運動量などのベクトル的な量は階数1
線型代数学 - Wikipedia
英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Linear algebra|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明が
Power2ch かっこいい数学用語
1 名前：とりあえず[] 投稿日：2005/05/18(水) 06:36:08 幾何原論。それにフェルマー予想。 2 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/05/18(水) 07:35:53 素数 完全数 5 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/05/18(水) 18:16:06 “シュヴァルツ＝クリストッフェル変換”というのを憶えたとき、 口にしただけで頭が良くなったような気がしたっけなあ6 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/05/18(水) 18:22:39 ホモクリニック解 7 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/05/18(水) 19:30:46 K‐次共変交代テンソル場 8 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/05/18(水) 20:09:08 次元定理 10 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2
微分の計算は色々な場面で必要です。が、微分の記号である や が入った式の解釈って難しいですね。式の型〈type〉が分かりにくいのです。実際、原理的に型が判断できない式が使われることがあります。にもかかわらず、「分かる人には分かる」のは、暗黙のお約束や習慣的手順が駆使されるからです。 僕は、暗黙のお約束や習慣的手順が嫌いなので、ハッキリした計算方法を示したいと思います。現状の記法の問題点と対処法を知りたい方は、前半をテキトーに読み飛ばして、後半の3つの節を読めばいいと思います。 事前にラムダ計算について少し知っているほうがいいでしょう。JavaScriptや絵を使って説明した記事は： JavaScriptで学ぶ・プログラマのためのラムダ計算 JavaScriptで学ぶ・プログラマのためのラムダ計算 問題集 絵を描いて学ぶ・プログラマのためのラムダ計算 ラムダ計算をJavaScript側に寄せ
古典的微分幾何・ベクトル解析のモダン化： ダイレクトインデックス記法 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
微分幾何では、点の座標やベクトルの成分表示において、上下の添字〈インデックス〉を使い分けます。これはもの凄く便利です。しかし、添字が整数範囲を動くとしていることで、余分な煩雑さが発生しています。整数範囲ではなくて、ベクトル空間の基底をそのままダイレクトに添字集合〈インデックスセット〉に使う方法を紹介します。 双対ベクトル空間に関しては、「双対ベクトル空間、これくらい知ってればイインジャナイ」と「双対ベクトル空間、もう少し知っておいたほうがイイカモ」へのリンクが含まれます。必要があればリンクをたどって参照してださい。 [追記]自分で読み返して、分かりにくいと思った箇所があるので、補足追加の記事準備中、おそらく月曜の夜までには。この記事への直接修正はたぶんしません（大きな書き換えはしない方針なので）。[/追記][さらに追記]「上付き・下付き添字をマジに考えたら頭痛がした」に補足説明を書きました
事前知識 テンソルで理解しておくべきことは意外と少ない 畳み込みとは 畳み込み 畳み込みニューラルネット 畳み込みニューラルネットの畳み込み処理 空間フィルタ 畳み込み層 RGB画像を扱う場合 畳み込み層まとめ 分類の方法について プーリング層 活性化関数 全体のまとめ 事前知識 テンソルで理解しておくべきことは意外と少ない 畳み込みニューラルネットワークでは非常にたくさんの添字が現れます。 しかし決して難しいものではありません。実はとてもシンプルな処理を繰り返しているだけです。そのことを理解するためには、テンソルの概念を知っておくと便利です。 言葉が聞き慣れないだけで全く難しくありません。 テンソルのインターネットで検索すると何やら難しい話が出てきます。 以下はWikipediaの引用です（読む必要ありません。テンソルって聞くとこんな話が出てきますが、気にしないでくださいということが言い
ん？ あれ？ ひょっとして … 一昨日書いた記事「なぜにテンソル記法は意味不明なのか」を読み直していて、気付いたことがあります。テンソル記法の「意味不明問題」は、解決できるようです。 思いついたときに書いておかないと、二度と書かない（書けない）ことがあるので、ふんばって必要なことは全部書いておきました。 内容： テンソル記法の「意味不明問題」とは アイディアと方法 インデックスからマーカーへ テンソル空間 テンソルとプロファイル プロファイル注釈 テンソルのテンソル積 双対空間に対するマーカー テンソルの縮約 置換と置換が定めるテンソル テンソルの置換同値 もうひとつの縮約 ネーム化とコネーム化 インデックスとしての添字 テンソル記法の「意味不明問題」とは テンソルの書き方〈記法〉としては、伝統的記法をそのまま採用します。「 はテンソルである」のような言い方を許容します。書き方・言い方にお
ベクトル解析 [物理のかぎしっぽ]
ベクトル代数1 もう一度ベクトル1 （やっさん著） もう一度ベクトル2（ベクトルの読み書きそろばん） （やっさん著） もう一度ベクトル3（幾何と代数の通訳） （やっさん著） ベクトル方程式 （やっさん著） ベクトルの回転 （Joh著） 続・ベクトルの回転 （クロメル著） 軸性ベクトルと極性ベクトル （Joh著） 三重積 （Joh著） ベクトルの割り算 （Joh著） 球面三角形の角度 （Joh著） 七次元の外積 （Joh著） ベクトル代数2 ベクトルことはじめ（数学） （Joh著） 基底の座標変換 （Joh著） 共変ベクトルと反変ベクトル （Joh著） 双対基底 （Joh著） ベクトル空間と線形写像 （Joh著） 双対空間 （Joh著） 双対基底と双対空間 （Joh著） 内積空間 （Joh著） 双対基底の図形的関係 （Joh著） ベクトルの成分を表わす （Joh著） ベクトル成分の座標変換
i プログラミングのための確率統計（仮） 未完成原稿（平成 20 年 11 月 3 日） 未完成原稿のため誤りや抜けがあります。 お気づきの点はこちらまでお知らせいただけると幸いです。 http:/
i プログラミングのための確率統計（仮） 未完成原稿（平成 20 年 11 月 3 日） 未完成原稿のため誤りや抜けがあります。 お気づきの点はこちらまでお知らせいただけると幸いです。 http://wiki.fdiary.net/lacs/?Comment （平成 年 月 ! 日コンパイル） iii 能書き この本は、確率・統計に関して「ぜひわかっておいてほしいのに、やさしい本ではあまりしっか り解説されていなくて困る」という事項をおさえることを目標にしています。 確率・統計といえば、めんどうな数えあげから始まって公式だの「○○検定の手順」だのを習い ながらも、結局、実際の仕事に役立つのは「表計算ソフトの操作法」……といった印象を持たれが ちです。使わないと「科学的」「客観的」とは認めてもらえないから、しかたなく所定の手続きに 従う、という消極的動機で接している方も多い
関手 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "関手" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2015年10月） 圏論における関手（かんしゅ、英: functor）は、圏から圏への構造と両立する対応付けである。関手によって一つの数学体系から別の体系への組織的な対応が定式化される。関手は「圏の圏」における射と考えることもできる。 歴史[編集] 関手の概念の萌芽はエヴァリスト・ガロアによる群を用いた代数方程式の研究に見ることができる。 20世紀初めのエミー・ネーターらによる加群の研究において拡大加群などさまざまな関手的構成が蓄積された。 20世紀半ばの代数的位相幾何学において実際に
奇遇ですね。 「テンソルってなんかよくわかんね」 僕も比較的最近、「テンソルってなんなんだよ」と考える機会がありました。 「テンソルってなんなんだよ」と最初に考えたのはもう二十数年も前になるのではないでしょうか。それ以来、たまに思い起こすことがあります。 昔（二十から三十年ほど前です）は、微分幾何や物理工学系の本も含めて勘定すれば、テンソルの本はけっこうたくさんあったように思います。が、最近は何故かあんまり見かけませんね（僕の気のせいでしょうか？）。まーとにかく、当時はテンソルの教科書は複数あって見比べることも出来たのですが、どれを読んでもサッパリまったく理解できませんでした。 これは黒魔術か？ それらの本におけるテンソルの定義は次のようなものでした。 i1, ..., in、j1, ..., jmを適当な範囲を動く添字（番号）だとして、添字付けられた数（スカラー）の組 ai1, ...,
「なんとかならないのか!? ベクトル解析：用語法の無茶苦茶」で次のように言いました： （物理的な意味での）次元解析をちゃんとすべし それで、次元解析（みたいなこと）の話をしたいのですが、「次元」という言葉は注意が必要です。「次元」の2つの意味・用法と、それら2つの次元を両方とも同時に計算・解析する方法について述べます。 内容： 幾何次元と物理次元 量の空間の演算 直積と外積 無次元量 実例：熱流束密度と熱伝導度 L3/(L3∧L3) の分析 強い型付けとしての次元解析 ●幾何次元と物理次元 「次元」は多義語なので、代表的な2つの用法を「幾何次元」と「物理次元」と分けて呼びましょう。 幾何次元は、「直線が1次元で平面なら2次元」といった使い方をする「次元」です。要するに、「空間がいくつの方向に広がっているか」ですね。あるいは、空間の位置を数値の組（座標）で表すとき、「いくつの数を必要とするか
IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence (IEEE)
[2015] [2014] [2013] [2012] [2011] [2010] [2009] [2008] [2007] [2006] [2005] [2004] [2003] [2002] [2001] [2000] [1999] [1998] [1997] [1996] [1995] このインデックスでは、新しい号が上になるように、発行日と逆順に 並べています。 なお、和文要約のデータそのものは、発行年ごとにファイルを分けて、 ファイル中では発行日順に並べています。 Vol.37, NO.8 August, 2015 相互情報量を用いた特徴選択の探索法に基づく半定値プログラミング 部分空間クラスタリングのための教師なし・教師あり制約の活用 構造木のforestsを用いた高速なエッジ検出 物体認識のための部分検出器の識別性能の高い組み合わせの学習 単一のレベルセット関数を用いた多領域
複素数の実用 (物理学への応用) (23-11-20) 『「ホモロジー群」とは何か』了 (23-10-14) 『「ホモロジー群」とは何か』: おわりに (23-10-14) \( Ker( \partial_1 ) / Im( \partial_2 ) \) の基底の導出手順 (23-10-14) トーラスのホモロジー加群の基底 (23-10-13) トーラスの１次バウンダリ写像の表現行列 (23-10-12) 球面のホモロジー加群 (23-10-11) ホモロジー加群 \( H_1 = Ker( \partial_1 ) / Im( \partial_2 ) \) (23-10-11) バウンダリ写像 \( \partial_2, \partial_1 \) (23-10-11) 『「ホモロジー群」とは何か』の構成 (23-10-10) 辺に方向をつける──\( C_1 \) の基底を固
KEN-CHIK LIBRARY インターネット上の基礎知識 NDC：400-489 自然科学 Natural Science Since April 14th 2004 Access Counter No.3 (主に理系 ＋暦･年号) ・インターネット上の概説･概論的なページ、データベース的なページを集めてみました。 ・個人の頁、高校の頁、大学の頁、研究所の頁、企業の頁、博物館の頁、学協会の頁など、いろいろあります。 ・制作のポリシーがサイトごとに全く異なります。利用にあたっては各サイトで決めておられるポリシーを尊重願います。 ・各項目内部の配列は「あいうえお順」です。 ・容量の平均化のため、490-499医学と800-999言語/文学、300-399社会科学と600-799産業/芸術をひとつの頁にしています。完全なNDC順でなくて、検索にご不便をおかけします。(2008.
双対ベクトル空間 - Wikipedia
数学におけるベクトル空間の双対ベクトル空間（そうついベクトルくうかん、英: dual vector space）あるいは単に双対空間（そうついくうかん、英: dual space）は、そのベクトル空間上の線型汎函数（一次形式）全体の成す空間として定義される。有限次元ベクトル空間の双対空間はテンソルの研究に利用することができる。函数の成す（典型的には無限次元の）ベクトル空間に対する双対空間は、測度や超函数、あるいはヒルベルト空間のような概念の定義や研究に用いられ、結果として双対空間は函数解析学の研究における重要な観念となっている。 一般に双対空間には、代数的双対と連続的双対の二種類が用いられており、代数的双対は任意のベクトル空間に対して定義することができるが、位相線型空間を扱うときは代数的双対よりもその部分線型空間として、連続線型汎函数全体の成す連続的双対空間を考えるのが自然である。 体 F
リーマン多様体 - 初級Mathマニアの寝言
この記事ではリーマン多様体という概念を説明します。リーマン多様体とは簡単に言うと多様体の各点に内積が導入された集合のことです。多様体のことを知らない人のために、まずは多様体から説明しましょう。その後に接空間、２つの多様体間の写像の微分、余接空間と１次微分形式、２次テンソル場の概念を説明して最後にリーマン多様体を定義したいと思います。以下の記事はこの記事の続編になっています。 ユークリッド空間と2次元球面の違い 位相空間の初歩 多様体 多様体に関する注意 多様体上の関数 接空間 速度ベクトル 二つの多様体間の写像の微分 余接空間と１次微分形式 2次テンソル場 リーマン多様体 参考文献 ユークリッド空間と2次元球面の違い 多様体を理解するために、まずよく知られているユークリッド空間について復習しましょう。ユークリッド空間は次の図のように一つの座標系で空間のすべての点を表示することができます。
ここまで書いて飽きました. 1章 圏とその構造 1.1 圏の定義と千景の講義 「4月からのゼミはもう決めた？」 「うん. とりあえず,クラスの子とホモロジー代数ゼミをやろうと思ってるよ. 春休みのうちに予習を進めないと」 「ふぅん,ホモロジー代数ね」 千景は読んでいた本をパタンと閉じて, 勢い良く立ち上がったと思ったら大きく伸びをして, つかつかと足を引っ掛けるようにして黒板の前まで歩き, そのあと立ち止まってからくるりと振り返ってこちらを見た. 「homologyはいいね. 複雑な空間から単純だけど重要な情報を抜き出せる. 複雑に絡み合った網の中の, 本当に大切なものを拾い上げるようにして情報が得られる. homologyはとてもいいよね」 「千景はホモロジー代数もやってるの？」 「必要な時に扱うだけね. Abelian categoryはそんなに詳しくないし」 「あーべりあんかてごりー
テンソル積 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "テンソル積" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2015年10月） 数学におけるテンソル積（テンソルせき、英: tensor product）は、線型代数学で多重線型性を扱うための線型化を担う概念で、既知のベクトル空間・加群など様々な対象から新たな対象を作り出す操作の一つである。そのようないずれの対象に関しても、テンソル積は最も自由（英語版）な双線型乗法である。 原型はハスラー・ホイットニーによる1938年の論文"Tensor products of Abelian groups."が初出である。 共通の体 K 上の二つの ベ
リー群というのは、おおざっぱには「微分ができる群」だと説明できるけれど、正則行列や指数行列を使って説明するものもあれば、多様体を使って説明するもあったりで、なかなか分かりにくい。 目次: リー群とは リー群の扱い方 微分でリー群の特徴を取り出す 接ベクトル 物理学の場合1 リー群のリー代数 物理学の場合2 リー群とリー代数の関係 微分写像 リー代数 指数写像、指数行列 指数写像 指数行列 左不変ベクトル場によるリー代数 接ベクトル場 接ベクトル場のリー微分 左不変ベクトル場 1. リー群とは リー群というのは、おおざっぱに 微分ができる群 と説明できる(可微分群?)。実数ℝから群Gへの関数 f: ℝ→G を考えて、その関数fの微分が考えられるなら、たぶんその群Gはリー群だろうと期待できる。 たとえば 実数の集合ℝ : 加法について群になっている。さらに関数f: ℝ→ℝの微分を考えられる。
線型写像 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "線型写像" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2020年7月） 数学の特に線型代数学における線型変換（せんけいへんかん、英: linear transformation、一次変換）あるいは線型写像（せんけいしゃぞう、英: linear mapping）は、ベクトルの加法とスカラー倍を保つ特別の写像である。特に任意の（零写像でない）線型写像は「直線を直線に移す」。 概要[編集] 抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは（体上の加群としての）ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は
2つの関手の随伴性、2つのベクトル空間の双対性、2つの単調写像からなるガロア接続（Galois connections）は、同じ定式化が出来る3つの事例です。それぞれの舞台とセッティングは異なりますが、次のような対応関係があります。 関手の随伴性 ベクトル空間の双対性 ガロア接続 圏の圏 ベクトル空間の圏 順序集合の圏 圏 基点（唯一） 順序集合 圏の対象 - 順序集合の要素 圏の射 - 要素の順序関係 射の結合 - 順序の推移性 関手 ベクトル空間 単調写像 関手の結合 ベクトル空間のテンソル積 単調写像の結合 自然変換 線形写像 写像の順序関係 自然変換の縦結合 線形写像の結合 写像の順序の推移性 自然変換の横結合 線形写像のテンソル積 写像の結合の単調性 一般的な枠組みとしては、2次元の圏が必要ですが、それぞれの例における構成要素（セル）は次のようになります。 構成要素 関手の随伴性
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直積 (ベクトル) - Wikipedia
線型代数学における直積（ちょくせき、英: direct product[1]）あるいは外積（がいせき、英: outer product）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。座標ベクトル（英語版）の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。 ベクトル同士の外積は行列のクロネッカー積の特別な場合である。 「テンソルの外積」を「テンソル積」の同義語として用いる文献もある。外積は R, APL, Mathematica などいくつかの計算機プログラム言語では高階函数でもある。 ふたつのベクトル u, v の外積 u ⊗ v は、u を m × 1 列ベクトル、v を n × 1 列ベクトル（従って v⊤ は行ベクトル）としたときの行列の積
複素数の実用 (物理学への応用) (23-11-20) 『「ホモロジー群」とは何か』了 (23-10-14) 『「ホモロジー群」とは何か』: おわりに (23-10-14) \( Ker( \partial_1 ) / Im( \partial_2 ) \) の基底の導出手順 (23-10-14) トーラスのホモロジー加群の基底 (23-10-13) トーラスの１次バウンダリ写像の表現行列 (23-10-12) 球面のホモロジー加群 (23-10-11) ホモロジー加群 \( H_1 = Ker( \partial_1 ) / Im( \partial_2 ) \) (23-10-11) バウンダリ写像 \( \partial_2, \partial_1 \) (23-10-11) 『「ホモロジー群」とは何か』の構成 (23-10-10) 辺に方向をつける──\( C_1 \) の基底を固
■ 予備知識 特殊相対性理論とは、 『光の速さは、どのように等速運動している人（慣性系）から見ても同じになる』 という実験事実に基づく理論です。 止まっている人から見ても、光を追いかけるように走っている人から見ても、光の速さが同じに見える・・・ ということは、止まっている人と走っている人では、光の速さを測るモノサシが違っている。 空間の長さと、時間の進み具合が違うのだ、というのが特殊相対論の考え方です。 詳しくは以下を参照、 * ローレンツ変換の導出 >>> d:id:rikunora:20111107 ■ 時空の境界 見る人の立場によって時空のモノサシが変わる。 ということは、もし立場の違う２人が接したなら、２つの異なる時空の間に境界が生じるはずです。 例えば、立場Ａの人が空中にいて、立場Ｂの人が地上にいたとしたら、 空中と地上の間のどこかでモノサシが変わる境界線(面)が生じることでしょ
ベクトル束 - Wikipedia
この項目では、微分幾何学におけるバンドル構造について説明しています。束 (lattice) を成す順序ベクトル空間としての「ベクトル束」については「リース空間」をご覧ください。 メビウスの帯は1-球面 S1 上の直線束である。局所的に S1 上の各点の周りでは U × R に見えるが、大域的に束全体を見れば S1 × R（これは円筒に同相）とは明らかに異なる。 数学において、ベクトル束（べくとるそく、英: vector bundle; ベクトルバンドル）は、ある空間 X（例えば、X は位相空間、多様体、代数多様体等）により径数付けられたベクトル空間の族を作るという方法で与えられる幾何学的構成である。 空間 X 上のベクトル束（ベクトルバンドル）とは、X の各点 x にベクトル空間 V(x) を対応させた（というよりは「貼り付けた」("attach")）とき、それらが「うまく貼り合わされて」
DVIOUT-残
1 章 リー代数と量子論 § 1.1 角運動量代数とスピン §§1.1.1 角運動量代数 通常の量子力学では、古典力学の軌道角運動量から出発し、角運動量演算子を微分演算子で表す。そして微 分演算子の固有関数として角運動量固有関数を構成し、あわせて固有値を得る。しかしながら、角運動量は回 転の生成子であり、あとで見るように、回転の生成子 J はリー代数を構成する。したがって、ここではリー代 数の交換関係からのみ出発しよう。微分演算子で表された軌道角運動量にとらわれないために、空間回転の生 成子としての角運動量演算子を Ĵ = ( ˆ Jx, ˆ Jy, ˆ Jz) と記そう。すなわち [ ˆ Jx , ˆ Jy ] = i ˆ Jz , [ ˆ Jy , ˆ Jz ] = i ˆ Jx , [ ˆ Jz , ˆ Jx ] = i ˆ Jy , または [ ˆ Ji , ˆ Jj ] = i
事前知識 テンソルで理解しておくべきことは意外と少ない 畳み込みとは 畳み込み 畳み込みニューラルネット 畳み込みニューラルネットの畳み込み処理 空間フィルタ 畳み込み層 RGB画像を扱う場合 畳み込み層まとめ 分類の方法について プーリング層 活性化関数 全体のまとめ 事前知識 テンソルで理解しておくべきことは意外と少ない 畳み込みニューラルネットワークでは非常にたくさんの添字が現れます。 しかし決して難しいものではありません。実はとてもシンプルな処理を繰り返しているだけです。そのことを理解するためには、テンソルの概念を知っておくと便利です。 言葉が聞き慣れないだけで全く難しくありません。 テンソルのインターネットで検索すると何やら難しい話が出てきます。 以下はWikipediaの引用です（読む必要ありません。テンソルって聞くとこんな話が出てきますが、気にしないでくださいということが言い
推薦図書リスト(current)
推薦図書リスト〜ちょっと背伸びの勧め〜 上智大学理工学部数学科 2002 年版 みなさん、上智大学理工学部数学科へようこそ。 新年度より専門的に数学に取り組むにあたり、期待や不安があるものと思います。 そこで、高校で学習する数学の枠を離れた、広く深い数学の世界に触れられる本を、 思いつくまま紹介します。勿論ここに挙げた以外にも数学の本は多くあります。 学校図書館・公立図書館・書店などの数学書のコーナーに行って、 自分でもいろいろと探して手に取って読んでみて下さい。 中には数学科で既に何年か学んだ学生向けかなという本もあるので、 今は良く判らない所があっても構わずに、興味の向くまま覗き見てみましょう。 教科書・参考書・演習書 大学の1年次には線型代数・微分積分学・集合などの基礎概念を学びます。 教科書・参考書のスタイルも高校までとは違い、専門の書籍となります。 線型代数・代数学 線型代数学:
数学に関する記事の一覧 - Wikipedia
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情報幾何学を”非”数学者が学習する上で参考になりそうな書籍についてレビューする。特に、ニューラルネットワークなどの統計的学習理論を勉強している物理系/情報系/工学系の人間が読む前提で考えている。書籍は日本語に限り、３冊ピックアップした。 ※ここに記載されていない本は私が読んでいないだけで、読んだうえで本記事への掲載を取捨選択したわけではないことに注意をしていただきたい。紹介していない有用な参考文献も世の中にはまだまだあると思うし、もしおすすめがあればコメント欄から推薦してほしい。 紹介文献リスト 情報幾何の方法（甘利俊一・長岡浩司、岩波書店） 情報幾何学の基礎（藤原彰夫、牧野書店） 代数幾何と学習理論（渡辺澄夫、森北出版） 各書籍の目次比較 コンテンツとしてどのようなものが含まれているか、目次をもとに列挙する。あくまでコンテンツを確認することが目的なので、以下の箇条書きリストが目次と一致し
POINT 双対空間は「相対論の共変ベクトル」や「量子力学のブラベクトル」として特に説明なく導入されている． 双対空間を学べば，共変ベクトルの変換則が自然に導かれる． ある線形空間 (ベクトル空間) に対し定義される「双対空間」は，物理の様々な場面で (特に明示されることなく) 使われています．例えば，「共変ベクトル」とは双対空間の元のことです．そして，その変換則は「双対基底の変換則」に由来します．つまり，双対空間を学べば，共変ベクトルの変換則は天下りではなく，ちゃんと理由がつくことになります．また，量子力学においては，双対空間を「ブラベクトル」から成る空間として無意識に用いているのです． 双対空間の定義を学び，これらの事項を統一的に理解しましょう！ 【関連記事】 座標軸の回転と変換則 - Notes_JP：座標回転に限って，ベクトルの変換則を具体的に導いています．以下で扱う「テンソルの座
双線形関数 [物理のかぎしっぽ]
ベクトルは，抽象的にはベクトル空間という集合の元だと考えられました( ベクトル空間と線形写像 参照)．ベクトル空間の元で本質的に重要なのは 線形性 という性質です．つまり，ベクトル空間の元を ，適当なスカラーを とすると，関係式 がなりたつということです． このような抽象的な代数構造は，慣れないと無味乾燥な議論に思えるかも知れませんが，数学的な構造を理解するのには大変に強力です．たとえば，ベクトル空間 上の線形汎関数は，線形関数であって（つまり を満たすということ）， の双対空間と呼ばれるベクトル空間 を形成することを見ました．（ 双対空間 を参照．）これは大変に面白い結果ですが，抽象的な数学の議論に慣れていないと，ちょっとすぐには思いつかないでしょう．このような代数的な構造が分かると，共変ベクトルと反変ベクトルという二つの体系が織り成す双対の世界がクリアに見えてきます．ここまではベクトル
第１部 連立一次方程式 １ 行列の定義と略記法 ２ どうやって行列式の定義にたどりつくのか？ ３ 行列式 ４ 行列の余因子と逆行列 ５ 連立1次方程式の解の公式 第２部 線形写像 １ 連立１次方程式いろいろ ２ 解空間 ３ 行列の階数と核 ４ 次元定理 以上のPDF版 「はじめての線形代数」のダウンロード ←クリックしてください 583 KB 全47ページ 無料見本 はじめての線形代数 パスワードは， renrit です 第３部 テンソル入門 [二階テンソル] (旧線形代数から抜粋) 1 抽象ベクトル空間の定義 2 線形写像と双対空間 3 計量ベクトル空間 4 標準的な同型対応 5 多重線形性とテンソル 6 ベクトルの基底変換・座標変換 7 テンソルの基底変換･座標変換 8 ２階テンソル テンソル解析（微分･積分を含む内容）は別立てとなる予定です。 ↓ 一般相対性理論までの部分はこちら[
第50話 テンソル学習の感想
ベクトルの参考書が大型書店の数学書コーナーに多く並べられているのに比べると、テンソルの方はほとんど皆無の状態だ。そもそも、テンソルを解説した書物というものが極めて少ないように思う。テンソルと言えば、たいていはベクトル本の中で後半の数章を割いて解説されているか、連続体力学を扱った書物の付録として書かれていることが多い。 たまにあるテンソル数学書には１つ特徴があるようだ。著者に大正生まれの人が多いこと。もう１つ、数学者矢野健太郎さんのファミリー的メンバーによる執筆者だ。これらは、やはりヤノケンさんが憧れたアインシュタインの相対性理論からの影響が大きかったと思われる。 一方、大学の数学授業でも、理学部ではいざ知らず、工学部の学部課程においてはテンソルまで扱うところはまず無いと想像する。固体力学あるいは流体力学、はたまた電磁気学と各専門課程に進んだ大学院生が研究室で初めてテンソル学に接するというの
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