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「テンソル」とは？ ディープラーニングでは、複雑なニューラルネットワーク上で膨大な数の数値が駆け巡っています。コンピュータはそれらの数値を個別に扱うこともできます。 しかし、そのままではニューラルネットワーク内での計算を理論化できませんし、何よりもニューラルネットワークごとに扱う数値に関する何かしらの共通認識がなければ、ほかの人間がプログラムのコードを読んでも何が書いてあるのか分からず、技術の応用や発展につなげにくくなります。そこで使われるようになった数学的概念が「テンソル」でした。 テンソルという概念は数学的に理解するには難解なものですが、私たちから見る分には「沢山の数値の集まり」として見えます。 基本的には沢山の数値を集めて「1つの情報」として表現するのがテンソルで、例えるなら「ゲームキャラクターの特徴を無数のステータスで表す」ようなものです。表現したい情報は「キャラクター」という1つ
物理の本ではよく, 「反変ベクトルとは～～という変換則をもち, 共変ベクトルは・・・という変換則をもつものとして定義される」と説明がなされますが, 初学者にとってはなぜ唐突にこのような定義がされるのか非常にわかりにくいと思います. そこでこのページでは数学的によりシンプルな定義を採用し, 一点の曇りなく自然に反変ベクトルと共変ベクトルが導入されることを説明します. さらに2つの拡張としてテンソルが自然に導入されることもみていきます. 以下では$${\left(e_i\right)_{1\leq i\leq n}}$$を$${n}$$次元実ベクトル空間$${V}$$の基底とします. 複素ベクトル空間の場合も以下の$${\mathbb{R}}$$を$${\mathbb{C}}$$に変えるだけで全て上手く成り立ちます. このページと同じ内容のPDFも用意していますので適宜ご利用ください. 前提知
グーグルは量子機械学習アプリの作成をより容易にする、無料のオープンソース・ソフトウェア「テンソルフロー・クアンタム（TensorFlow Quantum）」をリリースした。2015年の発表以来、機械学習の普及に貢献してきたグーグルの人気ツールキット、テンソルフローのアドオンだ。 テンソルフローは、多層ニューラルネットワークを簡素化し、再利用可能なコードを提供することで、新しい機械学習アプリをゼロから作成する必要をなくし、機械学習を利用しやすくするものだ。テンソルフロー・クアンタムは、量子機械学習でも同様のことを実現しようとしている。 テンソルフロー・クアンタムを使うと、アプリを実行しているハードウェアの細かな制約に縛られることなく量子アプリを作成できる。実際の量子コンピューターと従来のコンピューター上でシミュレーションする量子コンピューターとを切り替えられる。つまり、本格的な量子コンピュー
ん？ あれ？ ひょっとして … 一昨日書いた記事「なぜにテンソル記法は意味不明なのか」を読み直していて、気付いたことがあります。テンソル記法の「意味不明問題」は、解決できるようです。 思いついたときに書いておかないと、二度と書かない（書けない）ことがあるので、ふんばって必要なことは全部書いておきました。 内容： テンソル記法の「意味不明問題」とは アイディアと方法 インデックスからマーカーへ テンソル空間 テンソルとプロファイル プロファイル注釈 テンソルのテンソル積 双対空間に対するマーカー テンソルの縮約 置換と置換が定めるテンソル テンソルの置換同値 もうひとつの縮約 ネーム化とコネーム化 インデックスとしての添字 テンソル記法の「意味不明問題」とは テンソルの書き方〈記法〉としては、伝統的記法をそのまま採用します。「 はテンソルである」のような言い方を許容します。書き方・言い方にお
最近hmatrixで深層学習を実装する機会があったのですが、hmatrixはベクトルと行列しか提供していないので3階以上のテンソルが必要になって困るという場面に出くわしました。そこで自分で長さ付きベクトルを組み合わせてサクッとn階テンソルが作れると便利かな〜と調べていたら（素直にrepaやmassivを使えという話ではあるのですが ）表現可能関手を使うことでn階テンソルとその演算が楽に（そして抽象的に）実装できるという文献1を見つけたので備忘録も兼ねてまとめておこうと思います。 この記事で紹介したコードは以下のGistで公開しています。 https://gist.github.com/lotz84/78474ac9ee307d50376e025093316d0f 関手、つまりFunctorのことですが、表現可能関手はその中でも特別な性質を持つものです。この記事は前半と後半に分けて、前半では
テンソルとは何か Part.1 | 高校数学の美しい物語
テンソル積（tensor product）とは，2つの（R\mathbb{R}R 上の）ベクトル空間 V,WV, WV,W に対して定まる新しいベクトル空間 V⊗WV \otimes WV⊗W です。（→ベクトル空間と次元） はじめに背後にあるモチベーションを説明し，次にとっつきやすい定義を紹介します。最後に普遍性を使った厳密な定義について軽く触れようと思います。 (以下では全て R\mathbb{R}R 係数で考えます。) 333 次元ベクトル空間 R3\mathbb{R}^3R3 を考えます。空間ベクトル v,w∈R3v, w \in \mathbb{R}^3v,w∈R3 に対して内積 v⋅wv \cdot wv⋅w というものが定義されていました。ここでは vvv と www の内積のことを b(v,w)b(v, w)b(v,w) と書くことにしましょう。つまり bbb は写像 b
2022.7.25 MIRU2022 チュートリアル講演「テンソル分解の基礎と応用」でのスライド資料になります。
連載目次 前回は、PyTorchの核となる部分の説明を行った。今回は、PyTorchの基礎部分といえる「テンソルとデータ型」をチートシート形式で確認する。 なお、本連載の第1回～第3回までは続きものとなっている。 全3回の大まかな流れは以下の通りである。 （1）ニューロンのモデル定義 （2）フォワードプロパゲーション（順伝播） （3）バックプロパゲーション（逆伝播）と自動微分（Autograd） （4）PyTorchの基礎： テンソルとデータ型 （5）データセットとデータローダー（DataLoader） （6）ディープニューラルネットのモデル定義 （7）学習／最適化（オプティマイザ） （8）評価／精度検証 このうち、（1）～（3）は前回説明済みである。今回は、（4）を説明する。それではさっそく説明に入ろう。※脚注や図、コードリストの番号は前回からの続き番号としている（第1回～第3回は、切り
画像／動画データのディープラーニングの本質が視覚的に分かる「スカラ」「ベクトル」「行列」「テンソル」の基礎知識
画像／動画データのディープラーニングの本質が視覚的に分かる「スカラ」「ベクトル」「行列」「テンソル」の基礎知識：「AI」エンジニアになるための「基礎数学」再入門（11） AIに欠かせない数学を、プログラミング言語Pythonを使って高校生の学習範囲から学び直す連載。今回は「スカラ」「ベクトル」「行列」「テンソル」について、数式を使わずに図版とPythonコードで解説します。 AIに欠かせない数学を、プログラミング言語Pythonを使って高校生の学習範囲から学び直す本連載『「AI」エンジニアになるための「基礎数学」再入門』。前回は「ベイズの定理」を学びました。今回のテーマ「スカラ」「ベクトル」「行列」「テンソル」は、数学でよく出てくる用語であり、AI（人工知能）が行う計算でもたびたび使われます。「ベクトルやテンソルとは何か」を数式を使わずに説明します。 スカラ、ベクトル、行列 まずは、スカラ
テンソル形状のコンパイル時検査＋実行時アサーション化を今のHaskellで書いてみる - Qiita
はじめに Edward Z. Yang 氏の記事 A compile-time debugger that helps you write tensor shape checks は、テンソルの形状の検査を依存型でコンパイル時に対話的にやりつつ、静的に決まらない部分や静的な検証が難しい部分はアサーションとして実行時検査に遅延するという仕組みの提案。 対話的なアサーションの挿入部分とかはともかく、型付けとアサーションの部分は今のHaskellでも大体出来るなぁと思ったので試しに書いてみた。 (元記事自体Haskellっぽい構文で書かれているし、 Edward Z. Yang 氏自身、ここまでは出来るのは当然知って書いているのだと思うけれど) 結果 元記事での、アサーションを挿入した最終的なプログラムは以下: main() { x = load("tensor1.t") y = load("t
機械学習を行えば、インプットされるデータをもとにあらゆる目的のデータを推測・分類できますよね。その範囲はAI（人工知能）にもおよび、数々の先端技術の開発やデータソリューションの要としてなくてはならない存在です。そして、この機械学習に使われるのが、テンソルです。 テンソルは、多次元データの集合体で、AI（人工知能）の画像認識、音声認識、自然言語処理、言語翻訳などに欠かせないディープラーニング（深層学習）で必要なデータセットとして広く活用されています。テンソルをうまく使って膨大なデータをAI（人工知能）に反復学習させ、パターン化に成功すれば、有効なシステムやプロダクトが完成します。 この記事で機械学習の学びに有効なテンソルについて理解して、AI関連の先進的な技術やシステムの開発に役立てましょう。 そこで今回は、テンソルと機械学習の関連性や応用例、GoogleのTensorFlowとの関連性など
Tweet☜この記事をシェアする この記事であつかうテンソルは、行列とそっくりな２階のテンソルです。しかも２ｘ２という単純な・・・。なぜかって？２階のテンソルがわかれば他の複雑なテンソルも理解できると思うからです。 Tweet☜この記事をシェアする 専門家は言います。 テンソルと行列は違う と。 しかし、そう言われたって、テンソルと行列は、同じにみえます。 5 －1 3 4 どちらもこんなふうに数字のセットとして表されます。 ベクトルや行列との掛け算や計算のルールなども、まったく同じです。 テンソルとはいったい何なんでしょう？ いったい、専門家は何を言おうとしているのでしょうか。 （えっと・・・なぜか読者が急増しているので、あえてお断りしておきます。本記事はあくまで一般人を対象にした解説です。専門家の方を対象とした厳密な内容ではありません。その証拠に添字とかアインシュタインの縮約とか省略と
ド文系にも「アインシュタイン方程式」が読めた？これが行列の化け物「テンソル」だ！（現代ビジネス） - Yahoo!ニュース
---------- ベストセラーとなった科学書の編集を何冊も手がけてきたライターの深川峻太郎さんが一般相対性理論の“数式”へと挑んだ話題作『アインシュタイン方程式を読んだら「宇宙」が見えた』。そのプロローグと第1章を、全6回の短期連載で特別公開いたします。 【連載の第1回はこちら】ド文系が挑む「アインシュタイン方程式」 前回、登るべき山「アインシュタイン方程式」を目にした深川さんが最初に抱いた疑問は「μν」っていったいどう読むの？ というものでした……素人だけでこの冒険に挑むのはどう考えても不可能です。そこで、山登りのシェルパとしてKEK(高エネルギー加速器研究機構)で広報の仕事をしている「しょーた君」に協力してもらうことに。いよいよ、数式の中身を見ていきます。 ---------- 2015年12月、私は担当編集者とともにつくばへ向かった。しょーた君オススメのホルモン焼き店で、最初のミ
PennyLane on Braket + フォールトトレラントな量子コンピューティングに向けた進歩 + テンソルネットワークシミュレータ | Amazon Web Services
Amazon Web Services ブログ PennyLane on Braket + フォールトトレラントな量子コンピューティングに向けた進歩 + テンソルネットワークシミュレータ 昨年、初めて Amazon Braket について書き、量子コンピューティングの使用を開始するように皆さんをご招待しました! そのリリース以降、当社は前進を続け、Amazon Braket にいくつかの重要で強力な新機能を追加しました。 2020 年 8 月 – D-Wave、IonQ、および Rigetti から量子コンピューティングハードウェアへのアクセスを備えた Amazon Braket の一般提供。 2020 年 9 月 – D-Wave の Advantage 量子処理装置 (QPU) へのアクセス。これには、5,000 を超える量子ビットと 15-way 接続が含まれています。 2020 年
テンソルの作成 Numpy 配列から変換できます。３次のテンソル（3×4×23 \times 4 \times 23×4×2）を作成します。 import tensorly as tl import numpy as np tensor = tl.tensor(np.arange(24).reshape((3, 4, 2)), dtype=tl.float64) print(tensor) [[[ 0. 1.] [ 2. 3.] [ 4. 5.] [ 6. 7.]] [[ 8. 9.] [10. 11.] [12. 13.] [14. 15.]] [[16. 17.] [18. 19.] [20. 21.] [22. 23.]]]
1. はじめに 本記事では、異なる2つの自動微分パッケージの比較と、自動微分パッケージだけでは計算できない高階のテンソルまで計算する方法を紹介する。 Julia言語ではさまざまな自動微分のパッケージが開発されており、JuliaDiffというHPでまとめられている。いろいろあって迷ったが、よく使われているらしいZygote.jlかForwardDiff.jlで比較を行ってみることにする。比較においては、それぞれのパッケージによる自動微分の計算速度や計算精度について、数値微分や数式微分と合わせて比較することにする。 なお、本記事では、数式微分、数値微分、自動微分の定義や計算手法の詳細は割愛するため、興味があれば各自で調べてみるとよいだろう。もしそれぞれがよくわからないという場合は、まずは以下のイメージを持っておけば問題ないだろう。 数式微分：高校で学んだ微分そのもの。式が複雑だと大変。 数値微
えるエル on Twitter: "2020年発売予定の深層学習フレームワークPyTorchの入門書籍『Deep Learning With Pytorch』がフリー公開 PyTorchで深層学習を始める際に必要な知識、特に入門者がイメージしにくいテンソル操作や、コ… https://t.co/CZ9FhDBQgY"
2020年発売予定の深層学習フレームワークPyTorchの入門書籍『Deep Learning With Pytorch』がフリー公開 PyTorchで深層学習を始める際に必要な知識、特に入門者がイメージしにくいテンソル操作や、コ… https://t.co/CZ9FhDBQgY
テンソルのグラフ表現 - Qiita
はじめに テンソルネットワークなどで、テンソルをグラフで表現することがよくあります。慣れるまでは見ても良く分からないのですが、慣れると人に説明する時とかに便利なので、ここで表記についてまとめておきます。 (追記) 最初、「私がこの表記方法を初めて見たのはG. Vidalのセミナーだったが発案者は知らない」と書いていたら、コメント欄にて発案者はあのペンローズだと教えていただきました。 グラフ表記法 シンボルと足の数 テンソルのグラフ表現では、テンソルをシンボル(四角や丸など)、テンソルの足をシンボルから出る線で表現します。線の数がテンソルの階数(Order)です。まず、全く足がないものは0階のテンソル、すなわちスカラーです。足が1本のものはベクトル、2本のものは行列、3本なら3階のテンソル、n本ならn階のテンソルです。 縮約 グラフ表現でもっとも重要なのは足の縮約です。グラフの線を結んだら、
J.J.サクライ『現代の量子力学』の3.11節「テンソル演算子」(1版では3.10節)に入ったところで何をしているのか分からなくなり、特に球面テンソル周りの数式が何をやっているのか意味が取れずそこで止まっていた。 だいぶ試行錯誤して考えがまとまってきたので、現在理解した(と思う)ことを残しておく。 目次: ベクトル演算子 誤解 ベクトル演算子の変換の仕方 補足: 線形変換で成り立つ関係式 直交テンソル演算子 定義 基底としての性質と群の表現 既約でない表現 球面テンソル演算子 角運動量演算子の固有ベクトル 球面テンソル演算子の定義 球面テンソル演算子の無限小回転での定義 球面調和関数との関係 ウィグナー・エッカルトの定理 角運動量合成での基底ベクトル クレプシュ・ゴルダン係数 ウィグナー・エッカルトの定理 1. ベクトル演算子 1.1. 誤解 まずサクライp.311(1版 p.318)で、
はじめに 今回は、近年少しホットになっている量子インスパイア機械学習を紹介します。 ここでの"量子インスパイア"をもう少し正確に言うと、"量子系を古典計算でなるべく効率的にシミュレートするために用いられる手法から着想を得た"です。 具体的にはテンソルネットワークです。 背景 古典系による量子系のシミュレートにテンソルネットワークを用いる流れは以前からありました。多体量子系の状態を行列積状態を用いて効率的に計算する[1]、ゲート量子計算を無向グラフとテンソルネットワークの縮約の組み合わせで効率的にシミュレートする[2]、などです。 これらの手法が示すように、テンソルネットワークを用いることで量子系が持つ非常に高次元の空間をあくまで近似的にですが、古典計算で扱うことができます。 高次元であることは機械学習においては表現力の高さにつながります。 この特徴を量子系のシミュレートだけでなく古典機械学
ストリング図とテンソル計算に関して僕が言えること、言いたいことは「やってみてください」です。ある意味“機械的な作業”なので、やれば出来ます。ボブ・クック教授に言わせれば「幼稚園児でも出来る」（「幼稚園児のための量子力学とその周辺」参照）。もっとも、この記事では、字を知らない園児ではとうてい出来そうにない作業も扱いますが。 内容： 例題：行列の転置 特別なテンソル、象形文字と成分表示 ワイヤーベンディング・オペレーター 転置行列の構成 成分表示と計算 関連する記事： ストリング図計算のコツと小技 マルコフ圏におけるテンソル計算の手順とコツ 続きの記事： ストリング図と相性が良いテンソル計算 2/2 ストリング図と相性が良いテンソル計算 1/2 例題：行列の転置 行列のインデックスが無限集合になると厄介なので、インデックスの集合 は有限集合だとします。例えば、 とかだと思ってかまいません。 行
後で自分が振り返る用の記事。表形式データをテンソルに変換し、NNで訓練できる形にすることが目標。 import import numpy as np import pandas as pd import torch torch.set_printoptions(edgeitems=2, threshold=50) a = np.arange(1,10) b = np.arange(11,20) c = np.arange(21,30) d = np.arange(1,10) target = np.random.rand(9) target = [round(x) for x in target] d = d.astype('str') d[:4] = 'a' d[4:] = 'b' data = pd.DataFrame([a,b,c,d,target]).T data.columns
流体力学：応力テンソル
この表の赤字はこの解説で主に使う用語で,カッコ内は様々な業界や分野で使われることのある別名である. 物理ではこれらの力をどれも「断面の単位面積あたりの力」として表すことにしている.機械工学,材料工学でもこれと同じ習慣を採用しており,応力と言えば単位面積あたりの力である. しかし土木・建築関係では,単位面積あたりの力を「応力度」と呼んでおり,ただ「応力」と言ったときには面積で割らない普通の力のことを意味している,という慣習の違いがある. さて,ここまでの用語は全て断面上の一点に掛かる力についての分類であった.これらの他に「ねじり応力」という用語もあるが,これは断面上のそれぞれの場所で異なる接線応力が働いている状況のことを表しているので,少し高次の概念である.物体全体をねじるように力を加えた場合には,そのような状況になったりする.しかし今回は断面上の一点に掛かる応力の表し方について話そうとして
皆さん、こんにちは。トラムのTYです。 弊社の業務でGoogleの機械学習プラットフォーム、Tensorflowを使う機会がありました。 プロジェクトのメンバーはみんな日本人なので当然会話は日本語なのですが、Tensorflowを「テンサーフロー」と発音する人と、「テンソルフロー」と発音する人がいました。 どちらでも意味は通じるので意思疎通に問題はないのですが、「テンサーフロー」と発音している人に対して、「テンソルフロー」で返すとなんとなく気まずい感じがするので(私だけか？)、発音の統一を提案しました。 で、どっちに統一するかなのですが、ちょうどその時開催されたGoogle Cloud Nextの日本人登壇者の複数の方が「テンサーフロー」と発音していたので、Googleの中の人たちはきっと「テンサーフロー」と発音しているんだ、ということで「テンサーフロー」になりました。 実は私は「テンソル
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「テンソル」「ベクトル」「行列」とは？ディープラーニングの情報整理のカラクリ
テンソルが意味不明な物理学習者へ: 共変ベクトルと反変ベクトルからテンソルまで｜vielb
グーグル、機械学習ライブラリ「テンソルフロー」の量子版を公開
テンソル記法の「意味不明問題」は解決した - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
テンソルを実装するのに表現可能関手がとても便利な件 - Qiita
テンソル分解の基礎と応用（MIRU2022チュートリアル）
第2回 PyTorchのテンソル＆データ型のチートシート
機械学習で使う数学を学ぶなら覚えておこう！「テンソル」とは
【基礎】たぶんこの世で一番やさしいテンソルの話 基礎の基礎 - スタディヘルプ
TensorLy で テンソル分解
Julia言語の自動微分パッケージの比較と高階のテンソルまで計算する方法
球面テンソル演算子についてのメモ - 再帰の反復blog
テンソルネットワークを用いた量子インスパイアな機械学習 - Qiita
ストリング図とテンソル計算： クソバカ丁寧編 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
【python,pytorch】表形式データをpytorchでテンソルにする - Qiita
「テンサーフロー」VS「テンソルフロー」 | 株式会社トラム
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