テンソルって何？
〜高校生のための微分幾何 第一部〜 有限次元テンソル積 ベクトルとベクトルを掛けたら何になるのか？ この単純な疑問が、テンソルを理解するきっかけになる。 ベクトルとベクトルとベクトルを掛けたら何になるのか？ この単純な疑問が、おそらくテンソルを生み出した。 章の構成を説明する。 まず、外積の説明を通じて、ベクトルの積とは何かを考察する。 そのあと、いわば体積要素を基底とするベクトル空間である、外積代数(グラスマン代数)について理解する。 それを足がかりとして、テンソル積とテンソルを順に区別して理解していこうと思う。 このコラムは、当初の予定に比べて大幅に量の多いものとなってしまった。しかし、これはテンソルを理解するためのミニマムであると思われる。この中に、テンソルを理解するうえで必要のないものはない はずだ。 長い道のりとなるが、どうか頑張って読破して頂けると、筆者としては喜
微分形式の張る空間と座標変換 [物理のかぎしっぽ]
外積代数の記号である や を使って微分形式の張るベクトル空間を表現しましたが，外積代数そのものには，外微分は定義されていなくても良く，微分形式には外微分が必須ですので，微分形式の張る空間には，『外微分が入った構造だよ』ということを明示的に示すために何か他の記号を使った方が良かったかも知れません．一般に，積や和といった代数構造と，微分や積分といった操作は別なのです．あまり色々出て来ると面倒なので，横着しました． 微分形式の座標変換 このセクションでは，微分形式の座標変換を考えてみます．すでに，関数 等の 全微分として知っていた公式は，一次微分形式の座標変換の式だと読むこともできます． 式 をあわせれば， 座標系から 座標系への座標変換が表わされていることが分かると思います．二次微分形式の基底は次のように変換されます．ヤコビアンがたくさん出てきます．（ 面積素と微分形式 も参考にしてみて下さい
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