内積空間 [物理のかぎしっぽ]
この記事の内容は，ここまで考えてきた双対基底や，共変ベクトル，反変ベクトルといった話題とは直接関係ありません．しかし，せっかくベクトル空間や双対空間など，抽象的な概念を紹介しましたので，ついでにもう一つ，内積空間について勉強してしまおうと思います． 今すぐに大事なのは『ベクトル の長さは と定義する』という式だけです．その他の部分は，内積，角度，図形の長さといった概念に関する数学的背景ですので，興味の無い人は読まないで先へ進んでも大丈夫です． 長さとは？ 復習になりますが，ベクトル空間とは，ベクトルの満たす加法とスカラー積の演算法則を抽象化し，一般化した概念でした． しかし，まだこれだけでは幾何学を始めるのに十分ではありません．（普通の）幾何学をするには，さらに『長さの概念』を導入しなければなりません．元の間に長さが定義されている集合を 距離空間 と呼びます． 私たちの日常の感覚から言うと
相関関数 [物理のかぎしっぽ]
皆さん，想像してください．二人の人間があなたの目の前にいます．この二人は，ところどころで似通った点を持っています．髪型が同じ，服の色が同じ，好きなお酒が同じ，etc．でも，その似通った程度を数値で表せといわれたら，あなたはどうやって表しますか？ 相関関数とは 上の例では人間でしたが，ここでは数学なので，二つの関数について考えます． つまり，二つの関数があるときに互いにどれだけ似通っているか(類似度)を数値で表すこと．これが相関関数の目的です． 上の式では と という二つの関数の相関を で表しています．上の式から分かることは， は と を だけずらし乗算したものを， から の範囲分まで積分したものであるということです． 相関関数で見る相関とは，二つの関数を少しずつずらしながら積を取っていくことで求まるということなのです [*]_． ただし，関数が周期関数である場合や関数の存在範囲がある場合は
四元数 [物理のかぎしっぽ]
実数は直線上の一点を，虚数は平面上の一点を表すものです． しかし，残念ながら3次元以上の一点を表すような数を美しく定義することは出来ません． それでも，乗法の交換則を犠牲にすればなんとか四元数というものを定義することが出来ます． 高校や大学でも四元数の話を少し習うかもしれませんが， 物理学で実際に四元数をどのように応用できるかというと，勉強する機会はあまり多くないかもしれません． 実は，四元数を使うと剛体の回転が美しく記述できるのです． 剛体の回転運動や，結晶構造の解析などに役立ちますし， 実際にスペースシャトルの姿勢を制御する計算にも四元数が使われています． 四元数の生い立ち 四元数はアイルランドの数学者ハミルトン( )によって考案されました． 年 月 日の夕方， ハミルトンがアイルランド科学アカデミーの会合に参加するため ダブリン市内のロイヤル運河沿いを歩いていたとき， 突如として四元
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