n×nn\times nn×n 正方行列 AAA に対して，対角成分の和 ∑k=1nakk\displaystyle\sum_{k=1}^na_{kk}k=1∑nakk を AAA のトレース（跡）と言い，tr A\mathrm{tr}\:AtrA と書く。
行列のトレースのいろいろな性質とその証明 | 高校数学の美しい物語
n×nn\times nn×n 正方行列 AAA に対して，対角成分の和 ∑k=1nakk\displaystyle\sum_{k=1}^na_{kk}k=1∑nakk を AAA のトレース（跡）と言い，tr A\mathrm{tr}\:AtrA と書く。
固有値と固有ベクトル - Wikipedia
モナ・リザの画像（左図）を平行四辺形に線形変換した画像（右図）。この線形変換において、画像の中にある右向きの矢印（青色）は変化していないのに対し、上を向いた矢印（赤色）は方向が変化している。この青い矢印がこの変換における固有ベクトルであり、赤い矢印は固有ベクトルではない。ここで青い矢印は伸張も収縮もしていないので、この固有値は 1 である。このベクトルと平行なすべてのベクトルは固有ベクトルである。零ベクトルも含めて、これらのベクトルはこの固有値に対する固有空間を形成する。 数学の線型代数学において、線型変換の固有値（こゆうち、英: eigenvalue）とは、零ベクトルでないベクトルを線型変換によって写したときに、写された後のベクトルが写される前のベクトルのスカラー倍になっている場合の、そのスカラー量（拡大率）のことである。この零ベクトルでないベクトルを固有ベクトル（こゆうベクトル、英:
対角行列 - Wikipedia
数学、特に線型代数学において、対角行列（たいかくぎょうれつ、英: diagonal matrix）とは、正方行列であって、その対角成分（(i, i)-要素）以外が零であるような行列のことである。 この対角行列は、クロネッカーのデルタを用いて (ci δij) と表現できる。また、しばしば diag(c1, c2, ..., cn) のようにも書かれる。 単位行列やスカラー行列は対角行列の特殊例である。 性質[編集] 対角行列の行列式は、各対角成分の総乗 Πci に等しい。対角行列の行列式は、対角成分が等しい上三角行列、下三角行列の行列式とも等しくなる。 対角行列の転置行列は同一である。そのため対角行列は対称行列でもある。 対角行列の逆行列は対角成分の逆数を並べた対角行列である。 例[編集] 三重対角行列[編集] 三重対角行列（さんじゅうたいかくぎょうれつ、tridiagonal matri
その58 やっぱり欲しい回転行列⇔クォータニオン相互変換
算出されるyzwの符号に注目です。真のxの符号が+の時は正しく出ていますが、真のxの符号が-の場合は符号が反転しています。しかし、実はこれは問題ないんです。というのは「回転クォータニオンのQと-Qは同じ回転になる」という性質があるためです。時計の回転する長針を正面から見るか裏から見るかの違いでして、同じ回転であるのに違いありません。つまり、4*|x|さえ分かれば良いんです。そして、それはもう先の式で計算してあるではないですか(^-^)v。±の符号の「＋」を採用して4*|x|を作ればいいだけです。 ここまでの情報があれば「よしゃー、変換はこれでできたぜ！」と思いたくなります。しかし、実は落とし穴がありまして、もう少し考慮が必要になります。右辺を4*|x|で割る時、xが0である可能性があるんです。例えば回転軸nが(0,1,0)とすると、|x|はあっさりと0になってしまいます。この場合、4*|x
無限小回転2 [物理のかぎしっぽ]
ここまで 無限小回転1 で次のようなことを勉強しました． 有限回転では，一般に回転の順序を変えることができないということ． 無限小回転においては，回転の順序を交換することができるということ． ベクトルを無限小回転させたときの変化分は，元のベクトルに反対称行列を掛けることによって表わされるということ． この記事では，さらに回転についての考察を進めていきます． ベクトルの外積を使う 読者のみなさんは，無限小回転の変化 が，次のような反対称行列 を使って表わされることを既に知っています．これは の二次以上の積が無視できることと， が直交行列であることから導き出された結果でした．
交代行列 - Wikipedia
線型代数学において、交代行列（こうたいぎょうれつ、英: alternating matrix）、歪対称行列（わいたいしょうぎょうれつ、英: skew-symmetric matrix）または反対称行列（はんたいしょうぎょうれつ、英: antisymmetric matrix, antimetric matrix[1]; 反称行列）は、正方行列 A であってその転置 A⊤ が自身の −1 倍となるものをいう。すなわち、転置に対して反対称性を持つ行列は交代行列である。交代行列とは逆に、転置に対して対称な行列は対称行列と呼ばれる[注釈 1]。 例えば行列 は交代行列である。 交代行列と類似の反対称性を持つ行列として、歪エルミート行列がある。これはエルミート共役（転置複素共役）に対して反対称である。また、エルミート共役に対して対称な行列はエルミート行列と呼ばれる。実数の行列に対してはエルミート共役
力学：慣性モーメントテンソル
動機と準備 第 3 部では,回転軸からだけ離れた位置にある質点の慣性モーメントが と表せる理由を説明した.多数の質点が集まっている場合にはそれら全ての和を取ればいいし,連続したかたまりについて計算したければ各点の位置と密度を積分すればいい.このを使えば角速度と角運動量の間に という関係が成り立つのだった. しかしこれでは不便なところがある.一旦回転軸の方向を決めてその軸の周りの慣性モーメントを計算したら,その値はその回転軸に対してしか使えないのである.まぁ当たり前の話ではある.軸の方向を変えたらその都度計算し直してやればいいだけの話だ.それで満足できる人はそれでいい.この先も読まなくてもいい. しかし回転軸の方向をほんの少しだけ変更したらどうなるのだろう.元から少しずらしただけなのだから,慣性モーメントには少しの変化があるだけに違いない.わざわざ一から計算し直さなくても何か楽に求められるよ
座標変換
ベクトルで座標を表し、行列で変換することを扱います。 ロボットの世界は３次元が基本ですが、平面上で３次元を扱うことが、そもそも分かりにくいことなので、ここでは主に２次元平面を扱います。 ２次元と３次元、異なる点はいろいろありますが、３次元はだいたいは「２次元＋1」か「２次元×３」なので、まずは２次元でしっかりイメージをつかみましょう。 表 記 これから座標を扱うに当たって、表記の仕方を原則として以下のようにきめておきます。 座標、ベクトルはボールドイタリック(太字斜体)、小文字 座標変換のための行列などはボールドイタリック(太字斜体)、大文字 座標軸名、点などはローマン体(普通の)大文字 座標、ベクトル、行列の左肩に、基準となる座標系を記載する。 もちろん、不要なら省略します。(詳細は追って) 例： ベクトル p 1を座標系Aで観察したものを転置(横ベクトル)。 なお、通常の文章(HTML
三菱電機ソフトウエア
三菱電機グループのソフトウエア設計会社6社を経営統合し、 2022年4月1日、「三菱電機ソフトウエア株式会社」として発足いたしました。 社長挨拶
行列の定値性 - Wikipedia
線型代数学における行列の定値性（ていちせい、英: definiteness）は、その行列に付随する二次形式が一定の符号を持つか否か (二次形式の定値性) と密接な関係を持つ概念だが、付随する二次形式を経ることなくその行列自身の持つ性質によって特徴づけることもできる。 この概念は対称行列およびエルミート行列に対して定義するのが通例であるが、そうではない行列を含むように「定値性」の概念を一般化して適用する文献もある。 定義[編集] 正定値 n × n 実対称行列 M が正定値 (positive definite) であるとは、n 個の実数を成分に持つ零ベクトルでない任意の列ベクトル z に対して、二次形式 zTMz が必ず正となるときに言う。ここに zT は z の転置行列を表す。 より一般に、n × n エルミート行列 M が正定値であるとは、任意の非零複素ベクトル z に対して、z∗ M
つかう数学
制御工学IIでは、ベクトル、行列を多用します(というか、その上に成り立っている理論)。 本来、すでに習っているはずですが、忘れているとこの先の話が混乱しますので、しっかり復習しておきましょう。 （これまで単位を落した人の最大の原因は計算できないことだったり） ベクトル ベクトル： 標準で縦ベクトル、一般に小文字、ボールド(太文字)表記 転置(T)で横ベクトル。 ベクトルの長さ(大きさ)。 用途： ベクトルは状態変数など、状態量をあらわすのに使用。 ベクトルの加算、スカラ倍： ベクトルの内積： ベクトルの内積はその平行具合いを示します。２、３次元では成す角度をθとして、 となります。定義から、 であるため、状態量の大きさ評価として用いられる場合もあります。また、 と行列の積として書くことがあります。 行列 行列： 例) 、 (２×３) 行列は数字や関数を縦ｍ行×横ｎ列の形に並べたものです。
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微分積分