自然変換は関手 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
「関手は自然変換」という記事で、関手の射パートが自然変換になることを指摘しました。この記事では、自然変換が関手として解釈可能なことを説明します。 自然変換が関手であることを、アロー構成〈Arr構成〉に関する“とある公式”の特別なケースと位置付けます。アロー構成で得られるアロー圏は、定義の上では二重圏ではありませんが、二重圏にしようと思えばそうできます。つまり、アロー圏は二重圏の事例ともなります。（この記事では二重圏に仕立てていませんが。）$`\newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\twoto}{ \Rightarrow } `$ 内容： アロー圏 アロー構成の繰り返し アロー圏の反射的グラフ構造 自然変換
随伴系はなぜ難しいか - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
随伴系〈adjunction〉を理解するのはなかなか難しいようです。なぜ難しい？ -- いやむしろ、なぜ難しいと感じる？ のでしょう。 内容： ペアは台に過ぎない 役割の名称 ペア（だけ）じゃないから ペアは台に過ぎない 随伴系という言葉を使いましたが、単に随伴と呼ばれることもあります。一番よく使われる呼び名は随伴ペア〈adjoint pair〉でしょう。この言葉から、ペアを構成している2つのモノが主役のような印象を持ちますが、ペアは単に台〈underlying things〉を提供するだけです。別な例、モノイドで説明しましょう； モノイドを (M, m, e) の形で書きます。ここで、Mは集合で、m:M×M → M, e:1 → M です。集合Mをモノイドの台集合〈underlying set〉と呼びます。台集合Mがないと、乗法mや単位eを定義できないので台集合は必須です。が、単なる集合
Unifying Structured Recursion Schemes
Unifying Structured Recursion Schemes Ralf Hinze Nicolas Wu Jeremy Gibbons Department of Computer Science, University of Oxford, Wolfson Building, Parks Road, Oxford, OX1 3QD, England {ralf.hinze,nicolas.wu,jeremy.gibbons}@cs.ox.ac.uk Abstract Folds over inductive datatypes are well understood and widely used. In their plain form, they are quite restricted; but many dis- parate generalisations hav
テンソルを実装するのに表現可能関手がとても便利な件 - Qiita
最近hmatrixで深層学習を実装する機会があったのですが、hmatrixはベクトルと行列しか提供していないので3階以上のテンソルが必要になって困るという場面に出くわしました。そこで自分で長さ付きベクトルを組み合わせてサクッとn階テンソルが作れると便利かな〜と調べていたら（素直にrepaやmassivを使えという話ではあるのですが ）表現可能関手を使うことでn階テンソルとその演算が楽に（そして抽象的に）実装できるという文献1を見つけたので備忘録も兼ねてまとめておこうと思います。 この記事で紹介したコードは以下のGistで公開しています。 https://gist.github.com/lotz84/78474ac9ee307d50376e025093316d0f 関手、つまりFunctorのことですが、表現可能関手はその中でも特別な性質を持つものです。この記事は前半と後半に分けて、前半では
The Power of Adjunctions
The Power of Adjunctions Posted by Bartosz Milewski under Category Theory, Monads, Programming [15] Comments In my previous blog post, Programming with Universal Constructions, I mentioned in passing that one-to-one mappings between sets of morphisms are often a manifestation of adjunctions between functors. In fact, an adjunction just extends a universal construction over the whole category (or t
Full and faithful functors - Wikipedia
In category theory, a faithful functor is a functor that is injective on hom-sets, and a full functor is surjective on hom-sets. A functor that has both properties is called a fully faithful functor. Formal definitions[edit] Explicitly, let C and D be (locally small) categories and let F : C → D be a functor from C to D. The functor F induces a function for every pair of objects X and Y in C. The
Fun for Everyone | The n-Category Café
There’s a been a lot of progress on the ‘field with one element’ since I discussed it back in “week259”. I’ve been starting to learn more about it, and especially its possible connections to the Riemann Hypothesis. This is a great place to start: Oliver Lorscheid, 𝔽 1\mathbb{F}_1 for everyone. Abstract. This text serves as an introduction to 𝔽 1\mathbb{F}_1-geometry for the general mathematician
随伴系の書き方 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
F:C→DとG:D→C が随伴関手対で、Fが左随伴、Gが右随伴のとき、僕はこの事を次のように書いています（「圏論の随伴をちゃんと抑えよう // 随伴系の書き方と事例」参照）。 F -| G:D→C 逆ターンスタイル記号'-|'を使うのは一般的です。しかし、その後に書く圏と矢印の書き方は色々あります。 C→D D→C C←→D D←→C 僕と反対方向の記号や用語を使う人はもちろんいます。例えば： Title: KAN EXTENSIONS AND NONSENSICAL GENERALIZATIONS Author: ADAM ANDERSON Pages: 7p URL: http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2007/REUPapers/FINALAPP/Anderson.pdf 同じセッティングでも、「CからDへの随伴」と呼んでいます
圏論の随伴をちゃんと抑えよう： お絵描き完全解説 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
[追記 date="後日"]日本語の表記として「抑える」より「押さえる」が正しい気がしてきたけど、このままにします。使い分けがさほど明確なわけじゃないし、「抑える」に「支配下に置く」ような雰囲気もあるので。[/追記] 「圏論の随伴をちゃんと抑えよう」のなかで、絵を使った計算について言及しています。 単位／余単位とニョロニョロ関係式を絵（ストリング図）で描けば次のようです。 これらの公式は、絵（ストリング図）を使うと自然に解釈できますが、その話は次の機会にします。 絵（ストリング図）で計算すれば楽です。絵算（pictorial/graphical/diagrammatic calculation）の話はいずれまとめてする予定です（今日はしない）。 絵が描けるので、随伴系の計算は絵算（pictorial/graphical/diagrammatic calculation）に持ち込めます。 ニ
圏論の随伴をちゃんと抑えよう - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
[追記 date="後日"]日本語の表記として「抑える」より「押さえる」が正しい気がしてきたけど、このままにします。使い分けがさほど明確なわけじゃないし、「抑える」に「支配下に置く」ような雰囲気もあるので。[/追記] 「テキスト記法を図式順で書くか反図式順で書くか？」「ストリング図の上下左右方向をどうするか？」などの過剰なバラエティ（あるいは混乱）が、圏論の学習を困難にしている要因のひとつだろう、という話は何度も何度も何度も書きました。最近の記事を2つだけ挙げれば： 記法バイアスと記法独立な把握： 順序随伴を例として 双対や随伴に強くなるためのトレーニング 上下左右をきちんと区別しないと話がワヤクチャになる典型的な例に、随伴〈adjoint, adjunction〉の定義があります。僕も「どっちが右だっけ？」「域だっけ、余域だっけ？」「εって、単位？ それとも余単位？」とか、ねんじゅう迷っ
双対や随伴に強くなるためのトレーニング - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
最初に言っておくと、これはマジな話です。ジョーダンやネタじゃないです。絵やテキストにおける、上下左右のひっくり返し／裏返しに慣れないと、双対や随伴の理解は困難です。いやっ、ホントに。 内容： 絵図とテキストにおける向き 平面における向きの変換 文字の変換 コーヒーでも飲みながら 絵図とテキストにおける向き 圏論的な絵算（pictorial/graphical/diagrammatic calculation）で使うストリング図を描くときの方向の取り方が人によりバラバラだという話を何度かしています。 絵算（ストリング図）における池袋駅問題の真相 絵算のススメ 2015 年末版 絵算の描画方向を示すために旗を使うことにした 射や自然変換の方向（第一の方向）とモノイド積や関手の方向（第二の方向）を、それぞれ上下左右のどの向きにとるか？ ということが問題なんです。第一方向、第二方向の順で矢印を使っ
Profunctor Optics: The Categorical View
Profunctor Optics: The Categorical View Posted by Bartosz Milewski under Category Theory, Lens, Programming [9] Comments Abstract: I present a uniform derivation of profunctor optics: isos, lenses, prisms, and grates based on the Yoneda lemma in the (enriched) profunctor category. In particular, lenses and prisms correspond to Tambara modules with the cartesian and cocartesian tensor product. This
Phil Freeman - Fun with Profunctors
Van Laarhoven lenses have become an indispensable part of the Haskell programmer's toolbox, and a powerful abstraction tool. However, it can be difficult to get a handle on this implementation of lenses. The Profunctor type class provides another motivation for this style of programming, and one which generalizes nicely to related concepts like Prisms and Traversals. In this talk, Phil will give a
Kleisli Functors
Abstract: I define a typeclass for functors from Kleisli categories to Hask. This class turns out having more interesting properties than I expected, encompassing various Haskell patterns such as concurrency, and monad transformers. Monads are often described in terms of do notation. Every bind (=<<) equates to one statement in the do block. This is sufficient for explaining the usage of monads to
Lenses: Yoneda with Adjunctions
Lenses: Yoneda with Adjunctions Posted by Bartosz Milewski under Category Theory, Haskell, Lens, Programming Leave a Comment In the previous post I explored the application of the Yoneda lemma in the functor category to derive some results from the Haskell lens library. In particular I derived the profunctor representation of isos. There is one more trick that is used in the lens library: combinin
Profunctor Polymorphism
Profunctor Polymorphism Posted by Bartosz Milewski under Category Theory, Haskell, Lens, Programming [6] Comments The connection between the Haskell lens library and category theory is a constant source of amazement to me. The most interesting part is that lenses are formulated in terms of higher order functions that are polymorphic in functors (or, more generally, profunctors). Consider, for inst
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Contravariant functors are Weird
Freyd’s Adjoint Functor Theorem
Adjunctions in the wild: foldl
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