楕円曲線を用いた素因数分解法
はじめにこれは 物工/計数 Advent Calendar 2022 の 6 日目の記事です． はじめまして．計数 3 年の佐藤 ( @u_zennei ) です．この記事では，RSA 暗号に対する攻撃手法として，楕円曲線素因数分解法 (および，その進化形) を紹介します． あらかじめことわっておくと，攻撃手法と言っても，* 実際に RSA 暗号を破るような危険性はありません*．実際に使われている秘密鍵がこの手法によって攻撃されうる確率は無視できるほど小さいので，安心して読んでください． この記事を書いた目的は，攻撃手法を紹介すること自体よりも，代数学が実際にどのように応用されているかを感じてもらうことにあります (そのため，代数数理工学の内容をベースに読めるように書きました) ． なお，私は未だ学部生として修行中の身であり，記事中にも至らぬ点が多々あるかと思います．ご指摘やご意見をドシド
BSD予想の主張の解説 | 高校数学の美しい物語
楕円曲線 EEE の階数は，EEE の LLL 関数 L(s,E)L(s, E)L(s,E) の s=1s=1s=1 における零点の位数に等しい。 ミレニアム懸賞問題とは，100万ドルの懸賞金がかけられている，数学における重要な7つの難問です。→ミレニアム懸賞問題の概要と大雑把な説明 このページでは，ミレニアム懸賞問題の1つであるBSD予想についてざっくりと説明します。特に楕円曲線について詳しく解説し，LLL 関数については簡単に触れる程度とします。 Q\mathbb{Q}Q 上で定義される楕円曲線というのは，a1,a2,⋯ ,a6∈Qa_{1}, a_{2}, \cdots , a_{6} \in \mathbb{Q}a1,a2,⋯,a6∈Q に対して y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 y^2 + a_{1}xy + a_{3}y = x^3 + a_{2}x^
楕円曲線暗号の超簡単な理論の紹介 - Qiita
この投稿はFujitsu extended Advent Calendar 2016の17日目の記事です。 なお、記事は全て個人の見解です。会社・組織を代表するものではありません。 はじめに Advent Calendarに投稿するのは初めて(そもそもQiita自体ほとんど使ったことない←)なのでコメントなんかはお手柔らかにオナシャス 今回は皆さんご存知の楕円曲線暗号についてご紹介したいと思います。また、ライブラリなどの使い方ではなく、暗号の数学的な理論をできるだけわかりやすくお伝えしたいと思います。 具体的な暗号方式の名前ではなく、楕円曲線を利用した暗号方式の総称です。なお、実際の暗号方式としては楕円ElGamal暗号などがあります。 今回は暗号方式の説明ではなく、楕円曲線自体の簡単な理論とイメージをお伝えしたいと思います。 Wikipediaによりますと 暗号における楕円曲線とは、ある
楕円曲線暗号の（比較的理解しやすい）入門書
楕円曲線暗号（ECC）は、今日広く使用されている暗号の中でも最も強力で、最も理解されていないタイプの1つです。Cloudflareでは、お客様のHTTPS接続からデータセンター間のデータの送信方法まで、ECCを幅広く活用しています。 基本的には、セキュリティシステムの背後にある技術を理解し、信頼できることが重要であると信じています。そのために、ユーザーと共有するために、ECCに関する優れた、比較的分かりやすい入門書を探しました。しかし、みつけることができなかったので、入門書を自分たちで作ることにしました。それが、この入門書です。 注意：これは、複雑な主題でブログ記事一つに要約することはできません。つまり、カバーすることがたくさんあるため長くなりますので、腰を据えて読んでみてください。要点だけが必要な方のために、要約は「ECCは次世代の公開鍵暗号であり、現在理解されている数学に基づいて、RS
「楕円曲線って何ですか？」という質問に対して、定義を答えて返すのはきっと何の意味もない - tsujimotterの下書きノート
最近、楕円曲線に関しての進展があったようで、twitterの数学徒の間では話題になっているみたいである。 楕円曲線は、フェルマーの最終定理の話ではよく出てくるし、ミレニアム問題のBSD予想にも関わっているし、何かとよく聞くワードではある。こういう状況で、数学にほとんどふれたことのない人が考えることは１つである。 「楕円曲線って何ですか？」 この質問を投げられた人が、楕円曲線の定義を答えて返すのは、きっと何の意味もないだろう。 質問者の意図する答えではないからだ。私が質問者が真に知りたいことを想像するなら、きっとこういうことである。 「なぜ他の数学的対象ではなく、楕円曲線がとりわけよく研究されているのですか？」 「いったいそこにはどんな魅力があるのでしょうか？」 この質問は、なかなか難しい。だが、今日はがんばって答えようとしてみよう。 参考までに楕円曲線は、以下のように定義されるのだが、これ
曲線と関数体 (2)：楕円曲線の加法はなぜ「あの」定義なのか？ - tsujimotterのノートブック
今回のテーマは 楕円曲線の加法はなぜあの定義なのか？ です。前回に引き続き、楕円曲線の謎に迫っていきましょう。 前回の記事はこちら： tsujimotter.hatenablog.com 楕円曲線の加法とは 定義方程式 で与えられる楕円曲線 を考えます。 一般に の任意の２点 が与えられたとき、 の加法 が定義できます。つまり、 という点が の上に定まるわけですが、これは次のように幾何学的に決定されます。 の点 と をとり、２点を通る直線と との交点を とします。 つまり、 が同一直線上に乗ります。 このことを、加法の記号 を用いて と表すことします。これが成り立つように、２点 の間の加法を導入します。 ここで を の単位元とします。楕円曲線が式 の形で表されているときは、単位元 は無限遠点 とすることができます。 式 を加法の性質を満たすように変形すると となり、これが の定義となります
楕円曲線のお勉強によい本 - hiroyukikojima’s blog
最近、楕円曲線の理論を解説している数学書をいろいろ読んでいるのだけど、出色の本があったので紹介しようと思う。それは、シルバーマン&テイト『楕円曲線論入門』足立恒雄・他訳(丸善出版)だ。とは言っても、きちんと読んだのは、まだ第１章だけで、あとはざっと眺めただけなのだが、それでもはっきり、「すばらしい本」だと評価できる。 楕円曲線論入門 作者: J. H.シルヴァーマン,J.テイト,Joseph H. Silverman,John Tate,足立恒雄,木田雅成,小松啓一,田谷久雄出版社/メーカー: 丸善出版発売日: 2012/08/25メディア: 単行本この商品を含むブログを見る 楕円曲線というのは、高校で教わる「楕円」とは異なることに注意しよう。楕円曲線は、(yの2乗)=(xの3次多項式)という方程式で定義される曲線であり、楕円(a(xの2乗)+b(yの2乗)=定数で定義される)とは全く異な
楕円曲線入門｜和から株式会社 - 大人のための数学教室
楕円曲線とは、フェルマーの最終定理を導くことになった志村-谷山予想や、ラングランズ予想、虚数乗法論など数学の様々な分野に登場する基本的なアイテムです。最近では、暗号理論との関係でも注目されています。 テキスト「楕円曲線論入門」の第一章から三章の解説をします。 第一章 「幾何と算術」・・・楕円曲線を定義し、楕円曲線に群構造を導入します。 第二章 「有限位数の点」・・・楕円曲線上の有限位数の点（何倍かすると単位元になる点）の性質を調べる 第三章 「有理点のなす群」・・・非特異楕円曲線の有理点のなす群が有限生成であること（Mordellの定理）の証明をする ※「楕円曲線論入門」は第六章までありますが、本講座では前半の第三章までを対象とします。 ※内容はお客様のご要望等によって変更することがあります。
射影空間入門 - academiannuts
academiannuts A meaningful and silly blog created by doctoral degree holders for the sake of the world. 代数幾何学では代数多様体（正確にはアフィン多様体）を体（四則演算可能な集合。一般には可換環、特にネーター環。）上の多項式\(f \)の零点集合(\(f=0 \)を満たす点の集合)と考える（ex. \(x^2+y^2-1=0 \)は\(x, y\)に関する多項式の零点集合、即ち半径1の円を表す）。このときその零点の数は多項式の係数の連続変形で不変、つまり、多項式の零点の数は位相不変量と考える事が出来る（ベズーの定理とその一般化）。 しかし、例えば異なる2つの実数解を持つ2次方程式 $$ax^2+bx+c=0 \quad (*)$$ に対し、係数\(a\)を0に近づける極限では(*)は1次
射影平面の３通りの定義 | 高校数学の美しい物語
射影平面とは 1．いつもの平面に無限遠点を加えたもの 2．半球を貼りあわせたもの 3．三次元空間中の原点を通る直線の集合 実射影平面という不思議な空間の3通りの見方を解説し，射影平面への理解を深めます。3つとも姿は違えど本質的には同じものなので，状況に合わせて都合のよいもの，分かりやすいものを使えばOKです。
楕円曲線～フェルマーの最終定理・BSD予想・合同数問題と合わせて | 高校数学の美しい物語
（実数上の）楕円曲線とは， y2=x3+ax+b y^2 = x^3 + ax + b y2=x3+ax+b により表される曲線である。ただし，x3+ax+b=0x^3 + ax + b = 0x3+ax+b=0 は重解を持たないとする。 楕円曲線はひょうたんのような形になることが多いです。例を見てみましょう。 次のように「離島」がある曲線もあります。 ワイエルシュトラスの標準形 楕円曲線の右辺にはなぜ x2x^2x2 の項が無いのでしょうか？ 実は，y2=x3+px2+qx+ry^2 = x^3 + px^2 + qx + ry2=x3+px2+qx+r のことを楕円曲線と呼ぶこともありますが，x→X−p3x \to X -\dfrac{p}{3}x→X−3p と変換することで，x2x^2x2 の項を消去できます。 y2=x3+ax+by^2 = x^3 + ax + by2=x3+a
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http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ibukiyam/pdf/%E7%AC%AC%EF%BC%96%E5%9B%9E/6_2.pdf
伊藤哲史『整数論の最前線 楕円曲線の数論幾何』(PDF)
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