直接「泥のように眠る」の語源を知っているわけではないのですが。 「泥酔」という言葉の「泥」と同じ起源かと思います。 「泥酔」の「泥」とはいわゆる「どろ」のことではなく、 南海にすむという、骨のないぐにゃぐにゃした空想の虫「でい」から来ています。 水の中ではいきいきと動くのですが、水がなくなるとグニャグニャになって 動かなくなるというもので、この様子と、はじめは活発に飲んでいる人が 酔っ払って動かなくなった様子を重ねて「泥酔」というらしいです。 これと同様に、眠り込んで動かない様子を指して 「泥のように眠る」というのではないでしょうか?
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