ここまでに，群の性質や，群の働き方，部分群にまつわる様々なトピックを勉強してきました．いわば，いままでは群そのものについて勉強してきたとも言えるでしょう． この記事では少し趣向を変えて，二つの群， と があったときに，群 の元から群 の元へ対応関係がつけられるかを考えます．今までは二つの群が同型である，という意味を，やや曖昧にしたまま直観的に使ってきましたが，二つの群の対応関係をきちんと考えることで，群の同型という意味がはっきりしてきます． 実は，対象そのものを一つだけ考えるよりも，対象を写像してみることで，結局は対象の構造がよく分かる，ということが数学ではよくあります．写像の話題が大事なのは，一つには，写像を考えることで代数構造への理解が深まるという理由が考えられます．

$\displaystyle{G_1=\{0^\circ,120^\circ,240^\circ\}}$ つまりＧ1を０°，１２０°，２４０°の、３つの角度の集合とします。 はいっ、次に角度の足し算を。 $\displaystyle{0^\circ+120^\circ=120^\circ}$ $\displaystyle{120^\circ+120^\circ=240^\circ}$ ですが、 $\displaystyle{240^\circ+240^\circ=120^\circ}$ となります。(３６０°＝０°です。一周して４８０°＝１２０°になりました。) ということで$\displaystyle{G_1}$は角度の足し算$\displaystyle{+}$に関して群となります。 $\displaystyle{+}$ $\displaystyle{0^\circ}$ $\displa

この項目では、ノルム線型空間上の弱位相について説明しています。写像の族による弱位相については「始位相」を、空間の被覆による弱位相については「コヒーレント位相」をご覧ください。 弱位相（じゃくいそう、英: weak topology）とは、ノルム空間X上に定義される位相の一つである。体K上のノルム空間にはノルムから定まる位相（ノルム位相。弱位相と区別するため強位相とも呼ばれる）があるが、弱位相はこれよりも弱い（強くない）位相であり、X上のK値有界線形写像（すなわちXの共役空間X*の元）が全て連続になる最弱な位相である。なお弱位相は位相空間論における始位相（英語版）の特別な場合に当たる。 強位相に関するものと区別するため、弱位相に関する連続性、収束性、コンパクト性はそれぞれ弱連続性、弱収束性、弱コンパクト性と呼ばれる。 本項では弱位相の関連概念である＊弱位相についても述べる。 定義[編集] 以

[PR]上記の広告は3ヶ月以上新規記事投稿のないブログに表示されています。新しい記事を書く事で広告が消えます。 第一章:距離空間とベールの定理 第二章:ノルム空間の定義と例 第三章:線型作用素 第四章:バナッハ空間続論 第五章:ヒルベルト空間の構造 第六章:関数空間L^2 第七章:ルベーグ積分論への応用 第八章:連続関数の空間 §1: 距離空間とその完備化。 コーシー列の定義を確認し、 空間Xが完備であるということを、Xにおける 全てのコーシー列が Xの元に収束することで定義する。 一般の距離空間(X,d)にたいして、Xを含むような空間と、 Xの元に対しては dと同じ働きをする距離関数によって、(X,d)は必ず完備化することができる。 この完備化は、等距離同型と言う意味で一意である。 ベールのカテゴリー定理 完備な距離空間Xの稠密な開部分集合列の共通部分もXで稠密である。 稠密: 直観的に

数学の分野における有界関数とは、下界と上界、すなわちその関数のどの値の絶対値よりも大きい定数が存在する関数のことを言うが、そのような関数の族を考えた場合には、関数によってそのような定数が異なるものとなる場合がある。もしもそれら全てを抑えるような一つの定数を見つけることが出来るなら、そのような関数の族は一様有界（いちようゆうかい、英: uniform bounded）であると呼ばれ、そのような性質のことを一様有界性（いちようゆうかいせい、英: uniform boundedness）と呼ぶ。 関数解析学における一様有界性原理（英語版）は、作用素の族が一様有界であるための十分条件を与える。 定義[編集] 実数直線および複素平面において[編集] を、 によって添え字付けられている関数の族とする。ここで は任意の集合で、 は実数あるいは複素数の集合である。 が一様有界であるとは、 を満たすようなあ

数学におけるベクトル空間の双対ベクトル空間（そうついベクトルくうかん、英: dual vector space）あるいは単に双対空間（そうついくうかん、英: dual space）は、そのベクトル空間上の線型汎函数（一次形式）全体の成す空間として定義される。有限次元ベクトル空間の双対空間はテンソルの研究に利用することができる。函数の成す（典型的には無限次元の）ベクトル空間に対する双対空間は、測度や超函数、あるいはヒルベルト空間のような概念の定義や研究に用いられ、結果として双対空間は函数解析学の研究における重要な観念となっている。 一般に双対空間には、代数的双対と連続的双対の二種類が用いられており、代数的双対は任意のベクトル空間に対して定義することができるが、位相線型空間を扱うときは代数的双対よりもその部分線型空間として、連続線型汎函数全体の成す連続的双対空間を考えるのが自然である。 双対空

はなにか 体 （たい）であると言いたいところですが，体を習っていない人もいるので「数の集合」と呼んでおきました．具体的には，実数や複素数の集合などです． いまはまだ線形写像が何の役に立つのかよく分からないと思いますが，『ふむふむ．そんな物もあるんやなぁ』と言う感じに納得しておいて頂ければ十分です．次のセクションで線形写像の性質をより詳しく見ます．

線型代数学における行列ノルム（ぎょうれつノルム、英: matrix norm）は、ベクトルのノルムを行列に対し自然に一般化したものである。 性質[編集] 以下では体 K を実数体 R または複素数体 C のいずれかを指すものとして用いる。また、Km×n を、K の元を成分に持つ m 行 n 列の矩形行列の全体が、通常の和とスカラー倍に関してなすベクトル空間とする。Km×n 上の行列のノルムはベクトルとしてのノルムである。すなわち、行列 A のノルムを ‖ A ‖ で表せば 正定値性：‖ A ‖ ≥ 0 かつ等号成立は A = O と同値 斉次性：α ∈ K, A ∈ Km×n ならば ‖ αA ‖ = |α|‖ A ‖ 劣加法性：A, B ∈ Km×n ならば ‖ A + B ‖ ≤ ‖ A ‖ + ‖ B ‖ が全て満たされる。 正方行列 (m = n) に関して、以下に挙げる条件を課す

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "線型写像" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2020年7月） 数学の特に線型代数学における線型変換（せんけいへんかん、英: linear transformation、一次変換）あるいは線型写像（せんけいしゃぞう、英: linear mapping）は、ベクトルの加法とスカラー倍を保つ特別の写像である。特に任意の（零写像でない）線型写像は「直線を直線に移す」。 概要[編集] 抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは（体上の加群としての）ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は

なめらかな周期関数がフーリエ展開できることを示すことは難しくはないのですが，予備知識を仮定しないで説明するためには，まだいくつか説明するべきことがあります．今回はフーリエ展開がどういう意味を持つかということについて少し考えてみましょう． 2.1 基本事項の確認 f(x)を(基本)周期pの周期関数とするとき， g(t)＝f(pt)　　(x＝pt) とおくと， g(t＋1)＝f(pt＋p)＝g(t) なので，g(t)は周期1の周期関数となる．同様の変数変換で任意周期の周期関数は周期２πの周期関数とみなすこともできます．したがって，フーリエ級数展開を考えるとき，周期を一般的な場合で考えなくてもかまいません． 次に，ある閉区間[a,b]で定義された関数f(x)を考えてみましょう．任意の実数xに対し， n≦(x-a)/p＜n＋1　(ただし，p＝b－aとおく．) をみたす整数nをとり， g(x)＝f(