フーリエ解析入門2 Besselの不等式とParsevalの等式

なめらかな周期関数がフーリエ展開できることを示すことは難しくはないのですが，予備知識を仮定しないで説明するためには，まだいくつか説明するべきことがあります．今回はフーリエ展開がどういう意味を持つかということについて少し考えてみましょう． 2.1 基本事項の確認 f(x)を(基本)周期pの周期関数とするとき， g(t)＝f(pt) (x＝pt) とおくと， g(t＋1)＝f(pt＋p)＝g(t) なので，g(t)は周期1の周期関数となる．同様の変数変換で任意周期の周期関数は周期２πの周期関数とみなすこともできます．したがって，フーリエ級数展開を考えるとき，周期を一般的な場合で考えなくてもかまいません． 次に，ある閉区間[a,b]で定義された関数f(x)を考えてみましょう．任意の実数xに対し， n≦(x-a)/p＜n＋1 (ただし，p＝b－aとおく．) をみたす整数nをとり， g(x)＝f(

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【問題2.2】の(1)と(2)、2.3 Besselの不等式とParsevalの等式とで、フーリエ級数の平均収束から導出されるベッセルの不等式と、正規直交系視点のベッセルの不等式が結びつく。