「数学の概念」を視覚的かつ美しく表現したグラフィックいろいろ
「数学の美しさ」というものは、数学を深く理解することで初めて得られる感覚と言われます。美しさが伝わると数学嫌いも少しはマシになるのかもしれませんが、数学嫌いの人にはそもそも美しさを伝えることができないということで、歯がゆい思いをしている数学愛好家は多いもの。そんなときに便利な、「数学の概念」を視覚的に理解できるグラフィック集は以下の通りです。 soft question - Visually stunning math concepts which are easy to explain - Mathematics Stack Exchange http://math.stackexchange.com/questions/733754/visually-stunning-math-concepts-which-are-easy-to-explain ◆01：奇数の和 奇数の和が平方数にな
The Pi Machine
By Gary Antonick March 10, 2014 12:00 pm March 10, 2014 12:00 pm This coming Friday, 3.14 is Pi Day. Let’s celebrate math’s favorite number with a remarkable puzzle suggested several years ago by Alon Amit of Origami Logic. Dr. Amit and I were sitting on a couch in the old Palo Alto Facebook headquarters (Dr. Amit was working there at the time) surrounded by frenzy (the film “The Social Network” h
2つのボールをぶつけると円周率がわかる - 大人になってからの再学習
一か月ほど前に New York Times で紹介されていた記事。 The Pi Machine - NYTimes.com ここで紹介されているのは、なんと驚くべきことに、2つのボールをぶつけるだけで円周率（3.1415...）の値がわかる、という内容。 これだけだと、全然ピンとこないと思うので、もう少し詳しく説明すると、次のようなことが書かれている。 ↓2つのボールを、下の図ように壁と床のある空間に置く。 ↓その後、壁から遠い方のボールを、他方に向かって転がす。 後は、ボールが衝突する回数をカウントするだけで、円周率がわかるらしい。 これでも、なんだかよくわからない。 まず2つのボールが同じ質量である場合を考えてみよう。 まず、手前のボールが他方のボールにぶつかる（これが1回め）。 続いて、ぶつかったボールが移動して壁にぶつかる（これが2回め）。 壁にぶつかったボールが跳ね返ってきて
最終回 はじめMath! Javaでコンピュータ数学 総まとめ | gihyo.jp
どんな小さな山でも、地図なしに登るのは不安です。目的の山頂を目指して、途中の絶景ポイントを巡りながら、安心して歩き続けるためには地図が不可欠です。歩き慣れない道ならなおさらです。高い山になれば、地図だけではまだ不安です。たいていの山には要所要所にチェックポイントがあります。このチェックポイントを追えば一応山頂に着くでしょう。しかし、一番は道案内人です。初心者が途中困ったことになるのを、前もって避けさせてくれるからです。 本連載も78回（現時点）の長きに渡りました。今回で連載を締めくくるに当たって、全体を見渡す地図を残します。絶景ポイントのリスト代わりに、用語一覧を、道順のチェックポイント代わりに語句の索引（用語総解説）を用意します。 今回の記事が、皆さんにとっての登山案内人としてお役にたてれば幸いです。 図78.1 目次・索引は書物の案内人 連載で取り扱った内容 はやいもので、連載が始まっ
オックスフォード白熱教室「素数の音楽を聴け」を100倍楽しもう！ -マーカス・デュ・ソートイ教授 | ShareWis Press（シェアウィズ プレス）
世界一著名な数学者、オックスフォード大学のマーカス・デュ・ソートイ教授。 この先生の数学の授業がNHKでオックスフォード白熱教室として放送されています。 オックスフォード白熱教室（Wikipedia） ソートイ教授の著書に「素数の音楽」というものがあります。 オックスフォード白熱教室の第1回目ではこの素数の音楽を元に「素数の音楽を聴け」という授業が放送されたのですが、素数の魅力を伝えるとても面白い授業でした。 非常に分かりやすく説明されているのですが、まったく前提知識がないよりは、少し素数に関する知識があった方がより楽しめるのではないかと思います。 そもそも素数って何？素数とは1とその数でしか割れない自然数のことです。 そして、全ての自然数は素数の掛け算で表わすことができます。 例えば、100は2が2つと5を1つ掛けあわせたものですし、 42は2と3と7を掛けあわせたものです。 具体的には
外国人「日本では掛け算はこういう風に教わるらしい」海外の反応 : 暇は無味無臭の劇薬
Comment by [deleted] 日本人はこういう風に掛け算を習うってことを友人から教わった これ聞いてすぐ確かめるために計算したわ imgur.com/gallery/8NLHZoH imgur.com/user/mgribbl1/favorites/MVQFb reddit.com/r/pics/comments/1k488k/my_friend_told_me_this_is_how_japanese_students/ reddit.com/r/pics/comments/1c03in/how_japanese_kids_learn_math/ Comment by urisparky 1 ポイント こりゃすごいな。 結構今まで数学の講義は色々受けてきたけど今までこういう計算方法は見たことが無かった。 Comment by EliseTheSpider 0 ポイント 二桁じ
Zernike多項式 - その9 Mathematicaのコード：腰も砕けよ 膝も折れよ：So-net blog
さて、それではMathematicaのコード本体。とはいうものの、誰がいったい待っているのか、超マイナーサンプルコード。まあ、MathematicaのPackageのサンプルとして見られないことはない。 本体その他のアーカイブ。 いつものようにzip解凍してできたtarファイルを % tar xvf zernike.tar で展開すると % ls -l total 224 -rw-r--r-- 1 decafish decafish 61440 4 7 13:04 ZernikePolynomials.m -rw-r--r--@ 1 decafish decafish 39999 4 7 13:02 ZernikePolynomials.nb -rw-r--r--@ 1 decafish decafish 10576 4 7 13:01 example-i.nb % の三つのファイルができ
Zernike多項式 - その8 使用例その2：腰も砕けよ 膝も折れよ：So-net blog
前回、比較的簡単な単位円内の回転対称な関数をZernike多項式を使って展開した。もうひとつのちょっとだけ違った例。と、また例によって限界について。 もうひとつの例 さて、ではもうひとつの例として同じ円筒型で中心位置をずらしたもの (1/4,0)の位置を中心として半径1/2の内部は1 その外は0 でやってみる。 これは回転対称にはならないけどy方向には対称になっている。同じように80個までで係数を計算すると、 In[78]:= coef2=Table[ (Integrate[zernikeCartesianPolynomial[p][x, y], {x, -1/4, 3/4}, {y, 0, Sqrt[1/4 - (x - 1/4)^2]}] + Integrate[zernikeCartesianPolynomial[p][x, y], {x, -1/4, 3/4}, {y, -Sqrt
Zernike多項式 - その7 Mathematica関数を使う：腰も砕けよ 膝も折れよ：So-net blog
ちょっと時間があいたけど前回の続き。今日は使用例。 使用例 いつものようにZernikePolynomials.mを$PathのどこかにOpticsフォルダを作ってそこにコピーする。そのあと Needs["Optics`ZernikePolynomials`"]; として読み込む。 Packageで定義されたシンボルは で確認できる。usage messageも書いてあるのでシンボルをクリックすると簡単なヘルプが表示される。 とりあえず例えばfringe orderで最初の16項を極座標とデカルト座標で書いてみると あってるかどうかは、まあ僕が20年近く使っているのでおっけーでしょう、たぶん。 トリビアルな関数の展開例 実際に単位円の中で定義される簡単な関数をZernike多項式で展開してみよう。 例のひとつ目は、 原点を中心として半径1/2の内部は1 その外は0 というような円筒型の関数
Zernike多項式 - その6 Mathematica関数の中身：腰も砕けよ 膝も折れよ：So-net blog
前回やったZernike多項式用のMathematica関数。その中身について。 Packageの中身 Mathematica Packageの中身は見てもらうのが一番手っ取り早いけどいくつか特徴的なところを上げておく。 動径関数は zernikeRFunction = If[TrueQ[$VersionNumber >= 6.0], ZernikeR, zernikeRGeneralFunction]; となっていて、バージョンをチェックして6.0以上だったら組み込みのZernikeRを使い、以下なら式-12を展開したものを使うようにしている。従って6.0以前でもこのPackageは利用可能（のはず）である。 デカルト座標での式は極座標から変換している。 Expand[TrigExpand[ zernikePolarDoubleIndexedPolynomial[n, m][r, t]]
Zernike多項式 - その5 Mathematica関数：腰も砕けよ 膝も折れよ：So-net blog
横浜の家から仙台の貸しマンションに戻ってきた。 昨日のピアノの発表会での娘はショパンのプレリュードOp.28の一番最後の24番ニ短調。全然練習してない上に、先週は泊まりがけの新入社員研修でピアノにさわってない状態だというわりには一カ所弾き直した以外はミスタッチもほとんど無く、面目は保っていた。その点はたいしたもの。しかし音楽はショパンの「プレリュード」というよりは「鉄工所」あるいは「京浜急行のガード下」「NCドリルマシン」とでも言うべきものだった。まあ、彼女はそういうキャラだし。 さて、気を取り直して光学の計算で使いやすいようなZernike多項式のMathematica関数を書く。 MathematicaによるZernike多項式の表現 Mathematicaには6.0から標準関数としてZernikeRが導入された。これは動径関数Rnm(ρ)そのものである。 Zernike多項式は動径関
Zernike多項式 - その4 Zernike多項式を並べる：腰も砕けよ 膝も折れよ：So-net blog
明日、娘の（おそらく最後の）ピアノの発表会なので横浜の自宅に帰っている。社会人一年生の娘は泊まり込み研修でしごかれているらしい。大学一年生の息子は明日土曜も講義があるらしい。誰も親父の相手をしてくれない。というわけで続きを書く。 前回、Zernike多項式の導出をおおざっぱにやって、ふたつの添字で多項式が区別されるけど、添字の組み合わせには制限があることを示した。何らかの方法で存在する多項式だけを指定できる方が使いやすい。今回はそのやりかた。 Zernike多項式の並べ方 Zernike多項式は以上のようにふたつの添字で区別されるので2次元に並べなければいけない。しかも前節で見たようにあるnとmの組み合わせにしか動径関数は存在しない。 具体的に比較的小さな添字に関して具体的な式を表-1にまとめる。 表の中で、点の打ってある(n,m)の組み合わせに対応する多項式はない。 存在する(n,m)の
Zernike多項式 - その3 Zernike多項式の導出：腰も砕けよ 膝も折れよ：So-net blog
と変換できる、と言う意味である。ここでGi(θ)は2πを周期に持つ連続な周期関数である。この最後の条件がキモでZernikeさんのえらいとこ。 この条件を満足する多項式Vi(x,y)は、まず三つ目の条件から、mを整数として の形でなければならない（というかこれしかない。これしかない、というこをどうやって証明したらいいのかわからないけど、これしか思いつかない）。従って一般にVi(x,y)は複素関数となる。 式-9から直交条件は（複素関数であることを考慮して） となってふたつの積分に別れる。ここでA†はAの複素共役を表す。また、積分範囲のCは単位円の内部であるとする。 後ろのθに関する積分はm=sのとき以外は0になるのでVi(x,y)が直交するためには同じmに対してRim(ρ)が単独で直交している必要がある。 さらに、V(x,y)がx、yのn次の多項式だとすると Rim(ρ)はρのたかだかn次
Zernike多項式 - その2 Zernike多項式とは：腰も砕けよ 膝も折れよ：So-net blog
急に思い出して始めたZernike多項式のメモ。懐かしい。案外覚えているもんだわ。昔の話は忘れないというのはジジイの証拠。まあええとして。 直交関数系としてのZernike多項式 Zerike 多項式Unm(ρ,θ)は座標原点を中心にする単位円（半径1の円）の内部で定義された関数で というようなものでRnm(ρ)は動径多項式と呼ばれるものである。mの正負の区別は便宜上のもので、Fourier級数をei nθで書いたりcos nθとsin nθで書いたりするのと同じことである。 もともと丸いレンズの瞳の中で連続な収差を表現するために作られたので、丸いもののなかに連続に分布する「なにか」を表現するのに便利になっている。 図-1にZernike多項式の例を示す。ちなみにこれは式-4の(n,m)=(5,1)の場合の多項式の値をz方向に示している。単位円の外は値を持たないけど表示のために便宜的にz=
光学で使うZernike多項式とMathematica関数：腰も砕けよ 膝も折れよ：So-net blog
Mathematicaとはかなり古くからの付き合いで、一番最初は会社の後輩の「U」がMacIIに乗せていたのを見たのが初対面。当時REDUCEやMacsymaのかわりの数式処理ソフトが欲しくて手に入れた。前にもちょっと書いたけど、REDUCEはソースをコンパイルする必要があったがその環境が整っていなかった。またMacsymaはとんでもなく値がはった。そしてどちらもVAXなどの比較的大きめのunix用だった。 ということで手に入れた最初のMathematicaのバージョンはたぶん1.2だった。決して安くはなかったけど、当時はMacintosh専用のソフトで、2MB積んだMacSE/30では(1+x)10程度の式を展開させるとヒープを使い切ってOSごとクラッシュした。実用にはほど遠かったが、プログラミング言語としての問題意識に共感を覚えて使い続けていた。 そのうちハードの問題も減ってきて2.2
世界の見え方が変わってフラクタルを手描きできるようになった男
by goldenfox007 カリフラワーの一房をちぎってみると、そこにはカリフラワー全体を小さくしたような姿があります。さらに小さくカットしてもこれは繰り返され続けます。こういう性質を持っているのがフラクタルです。これを手で描いている男性がいるそうです。 The man who hand-draws mathematical fractals - New APPS: Art, Politics, Philosophy, Science The Man Who Draws Pi.pdf ミズーリ大学神経力学研究所所属で哲学と心理学の准教授であるBerit Brogaardさんは「JP」という男性を研究しています。 JPは2002年に殴る蹴るの暴行を受け、腎臓出血と頭部外傷のケガをしました。その結果、彼は共感覚とサヴァン症候群を身につけました。治療した医者は気付かなかったのですが、この事件
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オープンソースの動的数学ツール「GeoGebra」v4.4が公開
Elsevier社にボイコット活動を行った数学者、arXivを利用したオープンアクセスジャーナルの計画を公表
これなら分かる最適化数学―基礎原理から計算手法まで
Amazon.co.jp: ゲーム開発のための数学・物理学入門 改訂版 (Professional game programming): ウェンディ・スターラー (著), 山下恵美子 (翻訳): 本
