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プレ・ヒルベルト空間
2章 ヒルベルト空間 プレ・ヒルベルト空間 はバナッハ空間であるが,第1章のはじめに述べた通りさら... 2章 ヒルベルト空間 プレ・ヒルベルト空間 はバナッハ空間であるが,第1章のはじめに述べた通りさらに内積(1.3)を備えている。この内積の概念を無限次元空間に拡張する。これがヒルベルト空間である。 定義2.1 複素数体上の線形空間Ⅹの2点x,yに対し複素数(x,y)が対応して次の条件(ⅰ)-(ⅳ)がみたされているとき,(x,y)をxとyの内積という: (ⅰ) (正値性) (x,x)≧0 (xⅩ) (x,x)=0となるのはx=0のとき,そのときのみです。 (ⅱ) (共役対称性) (x,y)= (x,yⅩ) (は共役複素数を表す) (ⅲ) (準双線形性) (+,y)=(,y)+(,y) (,,yⅩ) (x,y)=(x,y) (,x,yX) 定義2.2 線形空間Xに内積がされているとき,Xをプレ・ヒルベルト空