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EM(expectation–maximization)アルゴリズムの基礎
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EM(expectation–maximization)アルゴリズムの基礎
観測されるデータをまとめて$y$と書くことにし, 次の対数尤度関数を最大にする$\theta$を求めたいとする... 観測されるデータをまとめて$y$と書くことにし, 次の対数尤度関数を最大にする$\theta$を求めたいとする. $$ \ell(\theta) = \log p(y|\theta) $$ ここで$p(\cdot)$は確率変数ごとに定義された密度を表す記号とした(つまり$p(y)$と$p(z)$が同じ関数とは限らない). 適当な確率変数$z$を用いて, $$ p(y|\theta) = \int p(y, z|\theta) \, dz $$ と書けるとしよう. ここでの積分記号は定義域全区間に渡る積分を意味する. この記事ではそれ以外の範囲での積分は出てこないので混乱することは多分ないだろうと思う. 条件付き確率より, $$ p(z|y,\theta) = p(y, z|\theta) / p(y|\theta) $$ であるから, 両辺の対数の期待値を取り, $$ \log p(y|\