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Lefschetz Fixed Point Theorem
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Lefschetz Fixed Point Theorem
初めまして.kissshotと申します.初投稿として,位相的不動点定理としてよく知られているBrouwerの不動... 初めまして.kissshotと申します.初投稿として,位相的不動点定理としてよく知られているBrouwerの不動点定理($\mathbb{R}^{n}$のコンパクト凸集合上の任意の自己連続写像は不動点をもつ)の拡張であるLefschetzの不動点定理と更にその一般化を紹介しようと思います. $X$をコンパクトENRとする.連続写像$f: X \to X$のLefschetz数$L(f)$を $$L(f):=\sum_{q \geqq 0}(-1)^{q}\mathrm{tr}(f^{*}:H^{q}(X;\mathbb{Q}) \to H^{q}(X;\mathbb{Q}))$$により定義する. $X$がコンパクトENRならば次数つき加群$H_{*}(X)$は有限生成であるからこの定義はwell-definedである.特に$L(\mathrm{id})$は$X$のEuler標数$\chi(