ときわ台学/ルベーグ積分/ディリクレ関数の積分とは？

１．リーマン積分からルベーグ積分へ [１] 解析学の入門書で始めに勉強する定積分はジョルダンの内測度･外測度[#]を用いて定義されるリーマン積分 [#] と呼ばれるものです。リーマン積分は簡単にいうとある区間で，x軸と関数f(x)で表される曲線とで囲まれる面積を厳密に定義したもので，いわば，古典的な面積という概念の厳密化に当たります。ただし，リーマン流の定積分が可能なためには関数f(x)が，「区分的に連続」でなければならないという条件がつきます。しかしながらこの条件は， ''かなり緩やかな'' 条件で不連続点や微分不可能点がたくさんある関数においても ''たいてい'' クリアすることができます [#]。具体的に，どれくらい緩やかかといえば， 「可算個の不連続点しか持たない有界な関数はリーマン積分可能 ⇒ 連続な区間ごとに面積を求めてあとでたし合わせればよい。」 ということになります。 こ