数学の景色Webサイト「数学の景色」へようこそ！ 本サイトでは，主に専門的な数学や，それに関連したテーマを概観します。 最近の記事
川渡り問題 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "川渡り問題" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2016年12月) 川渡り問題（かわわたりもんだい）は、川岸にいる一団を特定の条件を満たしながら対岸に渡すパズルである。通常論理パズルに分類される。 川に架かっているすべての橋を一度だけ渡る経路を考える問題に関しては一筆書きを参照。 川岸にいる一団を対岸に渡す。 川を渡る手段は小船だけであり、小さいので全員は乗れないため、小分けにして往復する必要がある。 「小船を漕げる者が限定されており、その者が小船に乗っていないと移動できない」という条件が与えられる場合もある。 特定の組み
初心者が学ぶP,NP,NP困難(Hard),NP完全(Complete)とは（わかりやすく解説） - MotoJapan's Tech-Memo
(※訂正のため更新 18/4/23) 論文を読んでいると言葉だけ出会うが、見なかったことにしている言葉なのでちゃんと知りたい。 スタート：全く意味がわかっていないレベル ゴール：論文でその言葉の意味が掴めている状態 言葉の一般的な説明 P NP NP困難 (NP-Hard) NP完全 (NP-Complete) 分かりやすく説明 関係図 問題の難易度 Pの解説 判定問題とは 決定性チューリングマシン（機械）とは 多項式とは 「多項式時間で解ける」とは P読み直し NPの解説 非決定性チューリングマシンとは 「その証拠が本当に正しいかどうかを多項式時間で判定できる」とは NP読み直し NP困難 (NP-Hard)の解説 NP完全 (NP-Complete)の解説 多項式時間還元(polynomial-time reduction)とは 決定性、非決定性チューリングマシンの違い P, NPの違
競プロのめっちゃ初歩的思考法
この記事は、traP Advent Calendar 2015 - Adventarの3日目です。 筆者は Twitter:@_n_ari です。軽い自己紹介をすると、競プロとごちうさが大好きです。 アイキャッチはTreap(データ構造)の実装の一部です。エディタはSublime Text。 参考：プログラミングコンテストでのデータ構造 2 ～平衡二分探索木編～ 競プロのめっちゃ初歩的思考法 響きが良いと思ったら五七五だった。和を感じる。 参考：川柳 - Wikipedia 参考：#csenryu - Twitter検索 競プロとは 競技プログラミングの略。競技プログラミング Wiki*とか見ると分かると思う。 簡単に言うと、ある条件に沿った入力が与えられて、問題の解になるような出力をする、というのをプログラムするもの。 プログラミングのスキルを上げたり、アルゴリズムや数学の勉強になったり
Atcoder Beginner Contest D埋めしたので初心者向け学習法とか色々書く - inmir’s diary
今年の3月頃から競プロを始めましたが、ようやくABCのD(だけ)が埋まりましたので復習がてら色々書いてみます。 ↑ 記念の初AC 【やったこと】 ・序盤 競プロの存在をAtCoderで知ったので、AtCoderの問題を解いていました。 for, if文ならかける程度の初心者でしたので、上の画像くらいA,B,C問題を解いていき（Cのいくつかくらいまでならfor,if文知識で解ける）、D問題を数問みて新たに勉強が必要だな、と感じました。 ・中盤 蟻本を読みました。五日間くらいかけて（難しい所をとばしとばしで）中級編まで読みきって、その後AtCoderの問題を解きながら、やったことのあるアルゴリズムやデータ構造を見ながらでも書いてみるといった使い方でした。なんで蟻本の問題自体は解いてないです。でも解いた方が力になります。 「そんなん蟻本にも書いてなかったし（半ギレ）」→載ってる、というのを10回
三角関数は何に使えるのか 〜 サイン・コサイン・タンジェントの活躍 〜 - Qiita
「他にこんなのがある」というのがあったら是非いっぱい教えてください！ 歴史的に最も古くからある用途は「測量」でしょう。三角関数誕生のキッカケはまさに測量の必要性にありました。比較的日常生活でも見る機会がありそうな用途でしょうか。 ログハウス ケーキカット 震災時の家の傾き推定 現代では「波」としての用途が多いでしょうか。Twitter での様々な人のコメントを見ていても、 おっぱい関数 jpeg 画像 音声処理 といった具合に、波に関する話がかなり多いイメージです。これらの三角関数の使われ方を特集してみます。様々な分野に共通する三角関数の使い方のエッセンスを抽出したつもりですが、これでもかなり分量が多くなりました。摘み食いするような感覚で読んでいただけたら幸いです。 2. 三角関数の 3 つの顔 最初に三角関数には大きく 3 つの定義があったことを振り返っておきます。以下の記事にとてもよく
（－1）×（－1）＝1の数学的証明が凄すぎて大草原 | 不思議.net - 5ch(2ch)まとめサイト
※文字がズレて読みにくい場合は↓こちらの画像が分かりやすいかも https://livedoor.blogimg.jp/worldfusigi/imgs/d/b/dbc611a.png 足し算の定義：0と－が存在して結合法則と交換法則を満たすような演算のことを足し算と呼ぶ 0の定義：a＋0＝a －の定義：－a＋a＝0 結合法則：a＋b＋c＝a＋（b＋c） 交換法則：a＋b＝b＋a 掛け算の定義：1が存在して結合法則と分配法則を満たすような演算のことを掛け算と呼ぶ 1の定義：a×1＝a 結合法則：a×b×c＝a×（b×c） 分配法則：a×（b＋c）＝a×b＋a×c これらの定義だけを使って（－1）×（－1）＝1を証明することができます （－1）×（－1） ＝（－1）×（－1）＋0 ※0の定義 ＝（－1）×（－1）＋（－1＋1） ※－の定義 ＝（－1）×（－1）＋（－1）＋1
東大生が教えるビジュアル数学
多くの受験生を合格へと導いてきた東大生のみによる受験数学の学習サイトです。 こちらのサイトでは、運営者自身の合格に至るまでの経験と、多くの学生の指導を行ってきた経験から、高校数学において躓きやすい内容の全てをグラフィカルで感覚的な理解につながるよう解説しています。 指導概要としては、公式を暗記することだけにとらわれずに、もっと数学の本質的な部分に目を向け、感覚的・直観的に学ぶべきだという考え方を示しています。 実際に、高3の11月時点で全科目偏差値30であった生徒を、第一志望の国公立大学にまで合格させた実績もあるそうなので、あながち的外れな考え方ではないかもしれません。 問題ボリュームは多くありませんが、例題の解説を読みながら順序立てて理解できるので、ポイント学習に向いていそうです。 また、Twitterコメント集などこれまでの質疑に関する回答も掲載されており、受験生からの実直で素朴な疑問
Σｋの2乗の計算式
∑ k=1 n k 2 の計算式 数列 1 2 , 2 2 , 3 2 ,⋯, n 2 の和（和記号Σを参照） ∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ■公式の導出 ( k+1 ) 3 − k 3 =3 k 2 +3k+1 に順に k=1,2,3,⋯,n 代入し，下のように縦にそろえて加えると 2 3 − 1 3 =3· 1 2 +3·1+1 3 3 − 2 3 =3· 2 2 +3·2+1 4 3 − 3 3 =3· 3 2 +3·3+1 ⋯⋯ +) ( n+1 ) 3 − n 3 =3· n 2 +3·n+1 ¯ ( n+1 ) 3 −1=3 ∑ k=1 n k 2 +3 ∑ k=1 n k +n となる．左辺の合計が非常に簡単になることに注目すること． ∑ k=1 n k = n( n
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定積分（面積）
さあ，今まで不定積分や定積分の意味を説明すること無しに，学習してきましたが，ここでやっと積分の意味を考えることにします。初めは，どのように積分に結びついていくか，分からないかもしれませんが，今まで学習してきたことがらが，見事に結びついていきます。面白いですよ。ちょっと証明はきついという方は，ここをクリックして，結論へ飛んで下さい。 まず，右の図を見て下さい。今，関数 y=f(x) があります。このとき，関数 y=f(x) と直線 x=a ，x=b そして x 軸で囲まれた面積(紫色の部分) S を求めることにしましょう。 そのため，右の図１のように，直線 x=a から x までの部分を関数 S(x) とします(ピンク色の部分)。ｘの矢印のところを左右に動かしてみて下さい。ここで，まだ，S(x) はどのような関数であるか分かりません。 これで，準備は全て整いました。では，今から，図１の紫色の
二項定理，多項定理
(a+b)n を展開したとき， an−rbr の係数は nCr になる． （nCr を二項係数という．） すなわち，一般項は nCran−rbr になる．（r=0～n） 展開式を全部書くと (a+b)n=nC0an+nC1an−1b+nC2an−2b2 + ··· + nCkan−kbk + ··· + nCn−1abn−1+nCnbn 展開式をシグマ記号を用いて書くと (a+b)n= nCkan−kbk （※Σについては 初心者向き解説, 問題練習, Σの変形 参照．ただし，Σ記号が分からなくても，以下の解説は理解できる．） 例 (a+b)7 を展開したとき， a5b2 の係数は 7C2==21 になる． 一般項は 7Cra7−rbr 展開式を全部書くと (a+b)7=7C0a7+7C1a6b+7C2a5b2+7C3a4b3 +7C4a3b4+7C5a2b5+7C6ab6+7C7b7 =
シグマ計算を機械的に行うための３つの公式 | 高校数学の美しい物語
（1）平行移動の公式： ∑i=1nai=∑i=k+1n+kai−k\displaystyle\sum_{i=1}^na_i=\displaystyle\sum_{i=k+1}^{n+k}a_{i-k}i=1∑nai=i=k+1∑n+kai−k シグマの上端，下端をそろえたいときによく使う公式です。 意味を考えれば「どちらも a1a_1a1 から ana_nan までの和を表している」というだけです。よって，わざわざこの公式を覚えなくても，そのつど平行移動の意味を考えて，上端・下端・数列の添字を調整すればいいだけです。しかし，毎回意味を考えるのはめんどうなので， 上端と下端を同じ方向にずらして，添字を逆方向にずらすと覚えることをオススメします。 ∑i=1n−1i+∑i=2ni2=∑i=1n−1i+∑i=1n−1(i+1)2=∑i=1n−1(i2+3i+1)\displaystyl
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