浮動小数点計算の基本的事実 – 「浮動小数点数は実数ではない」ということ | POSTD
浮動小数点数はどこにでもあります。これを使わないソフトウェアは、簡単には見つかりません。ソフトウェアの記述に不可欠な何かのために、浮動小数点数を扱う際に私たちが非常に注意を払っているのだと思われるかも知れませんが、普通はそうではありません。多くのコードでは、浮動小数点数は実数として扱われ、多くのコードが無効な結果を生みます。この記事では、浮動小数点数の反直感的な性質をいくつか紹介します。 これらの性質は、計算を正確に行うために知っておかなければならないことです。 x + y == x この第1の規則は、大きさの規則です。加算および減算をする際、お互いの数が他方の数に対して、有意味な結果を生めるだけの大きさが必要です。ここで大きさは、指数部の差を尺度とします。 例えば、値 1e-10 の大きさは、 1e10 に比べてとても小さいです。通常の64ビット浮動小数点数では、この小さな数を好きなだけ
マイクロソフトはどうやってBingをFPGAで実装したか - Qiita
ドワンゴがニコ動の画像配信向けにFPGAエンジニアを募集したり、マイクロソフトはBingをFPGA実装したり、Baiduもディープラーニングの高速化にFPGAを導入したりと、なんだか世の中急にハードウェアくさくなってきた。IoTとは違う意味で。 金融分野ではすでにCPUでは遅すぎてFPGAによるナノ秒単位の株取引が行われているって記事を書いたのは2年前だけど、ここ数年はIntelのCPUのクロックもあまり上がらなくなってきたし、Fusion-ioやNetezzaといった大手御用達のハイエンド鬼速ストレージも、フタを開ければ中身はすでにFPGAに移行済み。IBMが最近出したData Engine for NoSQLという製品ではPOWER8プロセッサにFPGAを直付けしてRedisを高速化したり。いよいよデータセンターにも、先の見えないCPUに代わってFPGAやGPUを導入する波が押し寄せつ
［CEDEC 2014］「ゲーム世界を動かすサイコロの正体 〜 往年のナムコタイトルから学ぶ乱数の進化と応用」 - 4Gamer.net
［CEDEC 2014］ナムコ作品で見る乱数の歴史。「ゲーム世界を動かすサイコロの正体 〜 往年のナムコタイトルから学ぶ乱数の進化と応用」レポート ライター：箭本進一 神奈川のパシフィコ横浜で行われた，ゲーム開発者向けイベントCEDEC 2014の最終日である2014年9月4日，「ゲーム世界を動かすサイコロの正体 〜 往年のナムコタイトルから学ぶ乱数の進化と応用」という講演が行われた。 登壇したバンダイナムコスタジオ HE技術部 加来量一氏 この講演のユニークな点は，旧ナムコの作品を「乱数」という視点から振り返るということだ。バンダイナムコスタジオ HE技術部のプログラマーである加来量一氏は，旧ナムコの初期作品50本を解析し，それぞれの時代でどのような乱数が使われていたかを特定した。そこから見えてくる乱数技術改良の歴史を見ていくというのが，講義の主旨なのである。 1980年代のナムコアーケ
2004-10-10
背景グラフィクスの処理とキャラクタグラフィクスの処理をハードウェアレベルで切り離し、あとから合成する―――という、いわゆるハードウェア・スプライト技術の確立は、ヴィデオゲーム史上もっとも重大なブレイクスルーのひとつに数えられます。1980年代のゲームが1970年代に比べて飛躍的に表現力を向上させることになったのは、この技術によって何十個ものキャラクタたちを縦横無尽に行き交わせることができるようになったためでした。1990年代にフレームバッファ方式が主導権を握るまで、ヴィデオゲームの進化は、スプライトの描画性能をどこまで伸ばせるかに懸かっていた―――といっても過言ではありません。 日本でスプライト機能が注目されるようになったのは、おもにファミコンの登場以降でした。それゆえファミコン以降のスプライト事情はよく知られているわけですが、逆にそれ以前の時代については、今日に至るまでまったく整理されて
2つのボールをぶつけると円周率がわかる - 大人になってからの再学習
一か月ほど前に New York Times で紹介されていた記事。 The Pi Machine - NYTimes.com ここで紹介されているのは、なんと驚くべきことに、2つのボールをぶつけるだけで円周率（3.1415...）の値がわかる、という内容。 これだけだと、全然ピンとこないと思うので、もう少し詳しく説明すると、次のようなことが書かれている。 ↓2つのボールを、下の図ように壁と床のある空間に置く。 ↓その後、壁から遠い方のボールを、他方に向かって転がす。 後は、ボールが衝突する回数をカウントするだけで、円周率がわかるらしい。 これでも、なんだかよくわからない。 まず2つのボールが同じ質量である場合を考えてみよう。 まず、手前のボールが他方のボールにぶつかる（これが1回め）。 続いて、ぶつかったボールが移動して壁にぶつかる（これが2回め）。 壁にぶつかったボールが跳ね返ってきて
平方根を使わずに高速で２点間の距離を近似する - きしだのHatena
２点間の距離の計算では平方根が必要になりますが、平方根は少し重い計算です。ということで、平方根を使わず、掛け算・割り算・足し算と絶対値・最大・最小だけで距離を近似する方法についての記事を翻訳してみました。 flipcode - Fast Approximate Distance Functions (12:02 補足：おそらく今の標準的なCPUでやる意味はほとんどないと思います。近似のアプローチとして面白いというくらいの話。Z80でやりましょう) 距離関数高速近似 by Rafael Baptista (27 June 2003) ２点間のユークリッド距離を求める計算式は次のようになる。 二次元では次のようになる。 この関数の計算には、平方根が必要になる。これは最近のコンピュータでも高価な計算である。平方根は逐次近似によって求められる。つまり、コンピュータは平方根近似のループを行って、与え
パッケージユーザーのための機械学習(6)：階層的クラスタリング - 渋谷駅前で働くデータサイエンティストのブログ
さて、教師あり学習の方はひと段落ついたので、今度は教師なし学習の話をやっていこうかと思います。と言っても僕が知っている範囲でなおかつ常用するような教師なし学習はRでの実装が割と貧弱なので、シリーズとしてはあまり面白くない感じになりそうです（笑）*1。一応、単なるプランですが 階層的クラスタリング k-meansクラスタリング 主成分分析・独立成分分析 混合正規分布（EMアルゴリズム） 混合ディリクレ過程 あたりを取り上げれば良いのかなと思ってます*2。教師あり学習5編との比較のために、相変わらずサンプルデータにXORパターンとか使おうかなとは考えてますが、もしかしたら面白くないからとかいう理由でサンプルデータは変えるかもしれませんので悪しからず。 今回は階層的クラスタリングからいってみましょう。あれですよ、ウォード法とか出てくるアレです。僕は実は怠慢なのであまり教師なし学習に関する書籍は持
うっかりチューリング完全になっちゃったもの
Accidentally Turing-Complete ― Andreas Zwinkau 本来なら、チューリング完全となるべきではなかったものがある。これは、そのようなうっかりチューリング完全になってしまったものの例である。 C++テンプレート 当初はチューリング完全を目指していなかったが、C++テンプレートはチューリング完全になってしまった。その証明は、この論文にある（PDF） x86 MMU x86のpage fault handlingは、単純なマシンの実装に使える。原理としては、page faultが1 wordをスタックに積み、それによりアンダーフローを起こして別のトラップを生成する。この仕組みは、「減算して0以下ならば分岐」処理を実現する。チューリングマシンを実装するには十分である。デモ動画、講演動画 マジック・ザ・ギャザリング マジック・ザ・ギャザリングはカードゲームであ
竹内関数が音楽的に聴こえる理由について考えてみた - aike’s blog
前回のエントリーが予想以上に反響が大きくてびっくりしています。 プログラミング言語好きの僕にとってはヒーローみたいなすごいプログラマーたちにツイートしてもらってびびっていたところ、今日になって竹内先生ご本人からのコメントをいただいてしまって本気で腰抜かしそうになりました。せっかくなので自分なりに竹内関数が音楽的に聴こえる理由についての考えを書いてみます。 ■ちょっとした工夫 最初に少し種明かしをすると、より音楽的になるように以下のような工夫をしています。 ・ダイアトニックスケール（白鍵）だけを使用し調性の外れた音が出ないようにした ・最小値(-1)をレにわりあてることで少し寂しげなドリアンスケールにした （とはいえ-1の出現頻度が低いのでミからはじまるフリジアンスケール的かも） ・オートアルペジオ、テンポ、音色の設定でミニマルミュージック風にした 上記のことをおこなうと、ただの乱数でもわり
竹内関数で音楽生成 - aike’s blog
Lisperの人ならみんな知ってる竹内関数（たらいまわし関数）という関数があります。 定義としてはこんな感じ。 そのシンプルな定義からは想像もつかないほど複雑で膨大な再帰呼び出しがおこなわれるとても興味深い関数です。たとえば引数にTarai(10,5,0)を与えると343,073回も再帰呼び出しされたりします。 この関数呼び出しの引数がどのように変化するか知りたくてプログラムを書いて調べてみたところ、Tarai(10,5,0)の場合は3つの引数がそれぞれ0〜10（xは-1〜10）の間で少しずつ変化するなかで、2つの値を固定してひとつの値が下降していくような挙動があったりして、なんだか音楽の3和音のコード進行を思わせるような動き方です。 そういうことなら、ということで実際に音にして聴いてみました。Tarai関数が呼ばれるたびに引数のx、y、zを、0=ミ、1=ファ、2=ソ、……、のように音に割
MapReduceできる10個のアルゴリズム - データサイエンティスト上がりのDX参謀・起業家
HadoopとMahoutにより、ビッグデータでも機械学習を行うことができます。Mahoutで実装されている手法は、全て分散処理できるアルゴリズムということになります。Mahoutで実装されているアルゴリズムは、ここに列挙されています。論文としても、2006年に「Map-Reduce for Machine Learning on Multicore」としていくつかのアルゴリズムが紹介されています。 そこで今回は、（何番煎じか分かりませんが自分の理解のためにも）この論文で紹介されているアルゴリズムと、どうやって分散処理するのかを簡単にメモしておきたいと思います。計算するべき統計量が、summation form（足し算で表現できる形）になっているかどうかが、重要なポイントです。なってない場合は、”うまく”MapReduceの形にバラす必要があります。 ※例によって、間違いがあった場合は随時
GSL - GNU Scientific Library - GNU Project - Free Software Foundation
The GNU Scientific Library (GSL) is a numerical library for C and C++ programmers. It is free software under the GNU General Public License. The library provides a wide range of mathematical routines such as random number generators, special functions and least-squares fitting. There are over 1000 functions in total with an extensive test suite. Unlike the licenses of proprietary numerical librari
自動微分 ≪フォワード・モード≫ - d.y.d.
23:21 11/12/22 今年読んだ面白コンピュータサイエンス論文紹介カレンダー 第 n (1<n) 週目モードです。 ☆ 「難しい問題」 ☆ 「名のない関数」 ☆ 「演算のせいしつ」 「難しい問題」 [5] R. Impagliazzo and L. A. Levin. "No Better Ways to Generate Hard NP Instances than Picking Uniformly at Random." FOCS 1990. ランダム生成に興味があります。 パズルゲームを作りました。 さて、手強い難易度の面データを無限にランダム生成するにはどうすればいいだろう。 プログラミングコンテストの問題を作りました。 さて、自動チェック用のテストデータをランダム生成するにはどうすればいいだろう。 適当なランダム生成では、簡単なケースばっかり作られてしまい 嘘解法 に突
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画像処理等でサイコロの個数の算出に挑むプログラムコンテストで「人力で数えた」宇部高専が優勝（※上位6チーム中4チームが人力で数えてた） : 市況かぶ全力２階建
IBM元開発者「チェス王者にスパコンが勝てたのは、バグのおかげ」
https://www.kb.ecei.tohoku.ac.jp/~koba/class/soft-kiso/ccs.pdf
Runge-Kutta methods - Scholarpedia
システム数理IV
Computational Astronomy II
New analysis reveals clearer picture of brain’s language areas