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※本ブログは2024/2に執筆されています。そのため、アップデートによってここに記載されている内容が現状と乖離する可能性があります。記載する内容を参照する場合は自己責任でお願いします。 はじめに こんにちは! ドワンゴでエンジニアをやっている小林と申します。競技プログラミングを趣味にしています。 今回は業務には関係ありませんが、個人的に興味のあるトピックであるセキュリティーについて執筆します。 対象読者: 以下のどれかを満たす人 AtCoder で青色〜黄色以上、あるいは意欲のある水色以上 暗号理論に興味のある人 数学が好きな人 また、簡単な群論の知識を仮定します。(群の定義など) まとめ セキュリティーの強さはセキュリティーレベルと呼ばれる尺度で測ることができます。 \(k\) ビットセキュリティーはおよそ \(2^k\) 回の計算を要するレベルです。 \(n\) ビットの楕円曲線暗号方
お断り この記事は『Software Design2022年3月号』の「第4章：電子署名のプロセスを体験 Pythonによる楕円曲線暗号の実装」の入稿記事を技術評論社のご好意で公開したものです。 元はLaTeXだったのをマークダウンに修正し、二つに分けています。 記事中のサンプルコードはサポートページからダウンロードできます。 はじめに この章では楕円曲線を用いた鍵共有や署名をPythonで実装します。実装するために必要な数学は随時解説します。 動作確認はPython 3.8.10で行いました。 コードは動作原理を理解するためのものであり、細かいエラー処理などはしていません。 プロダクト製品などで利用できるものではないことをご了承ください。 用語のおさらい 楕円曲線暗号の位置づけ まず最初に用語の確認をします。 「暗号」は複数の意味で使われます。 一つは「データを秘匿化するために、他人に読
楕円曲線暗号の（比較的理解しやすい）入門書
楕円曲線暗号（ECC）は、今日広く使用されている暗号の中でも最も強力で、最も理解されていないタイプの1つです。Cloudflareでは、お客様のHTTPS接続からデータセンター間のデータの送信方法まで、ECCを幅広く活用しています。 基本的には、セキュリティシステムの背後にある技術を理解し、信頼できることが重要であると信じています。そのために、ユーザーと共有するために、ECCに関する優れた、比較的分かりやすい入門書を探しました。しかし、みつけることができなかったので、入門書を自分たちで作ることにしました。それが、この入門書です。 注意：これは、複雑な主題でブログ記事一つに要約することはできません。つまり、カバーすることがたくさんあるため長くなりますので、腰を据えて読んでみてください。要点だけが必要な方のために、要約は「ECCは次世代の公開鍵暗号であり、現在理解されている数学に基づいて、RS
お断り この記事は『Software Design2022年3月号』の「第4章：電子署名のプロセスを体験 Pythonによる楕円曲線暗号の実装」の入稿記事を技術評論社のご好意で公開したものです。 元はLaTeXだったのをマークダウンに修正し、二つに分けています。 前半は楕円曲線暗号のPythonによる実装その1（有限体とECDH鍵共有）です。 記事中のサンプルコードはサポートページからダウンロードできます。 楕円曲線クラス 楕円曲線の点 有限体クラスを実装できたので次は楕円曲線クラス\texttt{Ec}を実装します。 楕円曲線は有限体\texttt{Fp}とその値aとbで決まります。 楕円曲線クラスは楕円曲線の節で紹介したようにr個の点0, P, 2P, ....からなる集合です。 secp256k1はTLSやビットコインで使われる楕円曲線のパラメータで、 a=0 b=7 p=2^{25
第６４１号コラム：「暗号学者の視た理念と現実（天国からの恩師のご下問に応えて）―『楕円曲線暗号から情報セキュリティ総合科学まで』」
HOMEコラム第６４１号コラム：「暗号学者の視た理念と現実（天国からの恩師のご下問に応えて）―『楕円曲線暗号から情報セキュリティ総合科学まで』」 第６４１号コラム：辻井 重男 理事 兼 顧問（中央大学研究開発機構 機構フェロー・機構教授） 題：「暗号学者の視た理念と現実（天国からの恩師のご下問に応えて）―『楕円曲線暗号から情報セキュリティ総合科学まで』」 １．究極の本人確認―本当に自分のカードか？ Ｑ．君は、現役の頃は、大した研究をしていなかったが、最近は、究極の本人確認等について、一寸はマシな論文を書いたりしているようだな。 Ａ．天国から見て頂いてお恥ずかしいですね。公開鍵暗号の秘密鍵に、マイナンバー・STR（DNA）を秘密に埋め込むと言う３階層公開鍵暗号の提案等しています。デジタル庁を設置するとか、日本も遅ればせながら、デジタル化に本腰を入れる気運が出て来たようですが、いろいろ難しい課
楕円曲線と楕円曲線暗号 - Qiita
この記事は、Supershipグループ Advent Calendar 2020の17日目の記事になります。 楕円曲線に関する入門的なこと、楕円曲線暗号の仕組みについて（できるだけ）前提知識の必要がない解説をしたいと思います。 自己紹介 経歴的には数学をやっていました（2017年博士取得）。 普段の業務は広告・マーケティング領域で、広告セグメントの作成や研究開発をしています。 なお、この記事の作者は楕円曲線論は社会人になってから勉強しました。岩波の数論1とその他記事を読んだ程度の知識ですので間違いがあるかもしれません。 その際はご指摘下さいますと嬉しく存じます。 概要 楕円曲線とは大ざっぱに言うと、"とても性質の良い曲線"のことです。 なお、楕円という名前は付いていますがこの曲線は楕円ではありません。 楕円の由来は三角関数のような周期性を持つ関数（楕円関数という）でパラメトライズされる曲線
楕円曲線暗号方式は、公開鍵暗号方式のひとつで、楕円曲線という計算を行って暗号化する方式です。鍵長が 短いため、高速処理が可能という特徴があります。 楕円曲線暗号の特徴はどれか。 ア RSA暗号と比べて，短い鍵長で同レベルの安全性が実現できる。 イ 共通鍵暗号方式であり，暗号化や復号の処理を高速に行うことができる。 ウ 総当たりによる解読が不可能なことが，数学的に証明されている。 エ データを秘匿する目的で用いる場合，復号鍵を秘密にしておく必要がない。 ～「基本情報技術者・平成31年春期」より 答えを表示 答え：ア楕円曲線暗号方式は、公開鍵暗号方式のひとつで、楕円曲線という計算を行って暗号化する方式です。鍵長が 短いため、高速処理が可能という特徴があります。 ランキング参加中知識ランキング参加中雑談ランキング参加中テクノロジー
人間の皆さんこんにちは 🧙 今日は楕円曲線暗号の計算方法についてまとめてみた 楕円曲線とか楕円関数の関連性とか話すととてもおもしろいのだけど、今日はCTFでよく使う「計算方法」の部分だけ解説！ ちょっとだけCTFでよく出る脆弱性も取り上げるので、ぜひ最後まで見てみてね 練習問題: https://github.com/kurenaif/ctf_lesson/tree/master/elliptic_curve ------------------- 🕛 Table of Contents 🕛 ------------------- 00:00 序 00:42 足し算 03:25 結合法則 05:13 可換群 09:43 代数的構造 11:20 離散対数問題 12:10 ECDSA 19:13 練習問題 参考文献 & おすすめ文献: * 新妻 弘ら『群環体入門』 https:/
実装しながら学ぶ楕円曲線暗号：電気羊
本書では、楕円曲線暗号のアルゴリズムをPythonでシンプルに実装し、その背景にある理論を解説します。楕円曲線暗号は、素因数分解を元にしたRSA暗号よりも、どんな計算なのか、イメージしにくくはないでしょうか？少なくともこの本を書き始めた最初の頃の自分はそうでした。 そこで本書では、そもそも楕円曲線って何？というところから初め、その関数や演算を、実際に数字を当てはめて各所で図に描画し、イメージしやすいようにしました。 さらに、その楕円曲線理論をもとに構築されている、実際のアルゴリズムをPythonで実装し、その理論が動作することを確認します。 また、楕円曲線DSAについては特に深く掘り下げ、secp256k1での実装や乱数の選択の重要性（脆弱性がどこに入り込むか）を実際に動くコードと共に解説します。 1. モジュロ演算 2. 楕円曲線 2.1 楕円曲線暗号 2.2 楕円曲線上での演算 2.3
楕円曲線暗号のための数学1（射影座標）
初めに 多倍長整数の実装, 有限体の実装と解説してきたので次は楕円曲線暗号の高速な実装方法を紹介します。 しばらくは数学の準備で、まずは射影座標を解説します。射影座標は通常の2次元座標 (x, y) と無限遠点 \infty を統一的に扱う座標です。 一覧 楕円曲線暗号のための数学1（射影座標）(これ) 楕円曲線暗号のための数学2（バイナリ法によるスカラー倍算） 楕円曲線暗号のための数学3（ヤコビ座標） 楕円曲線暗号のための数学4（ウィンドウ法） 楕円曲線暗号のための数学5（NAF） 楕円曲線暗号のための数学6（GLV法と自己準同型写像） 楕円曲線暗号のための数学7（マルチスカラー倍算概要） 楕円曲線暗号のための数学8（マルチスカラー倍算のパラメータ最適化） 楕円曲線の定義 Pythonを使った楕円曲線を実装する話は楕円曲線暗号のPythonによる実装その2（楕円曲線とECDSA）でも解説
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楕円曲線暗号方式の強度について - dwango on GitHub
楕円曲線暗号のPythonによる実装その1（有限体とECDH鍵共有）
楕円曲線暗号のPythonによる実装その2（楕円曲線とECDSA）
楕円曲線暗号：気になる情報セキュリティ用語 - 叡智の三猿
【CTF入門】楕円曲線暗号の計算方法（入門）【kurenaif】
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