NTT基礎数学研究センタでは、数学の基礎研究をとおして科学技術の源泉である「知の泉」をより豊かにしたいと考えています。本稿ではまず、NTT基礎数学研究センタでの研究の全体像を俯瞰します。さらに、センタの中心的な研究領域である「数論、特に数論力学系」「代数幾何・数論幾何」「表現論・保型形式」について紹介します。 およそ2500年前のギリシャで、素数の研究がなされたことは驚きです。素数が無限に存在することや自然数が素数の積に一意に分解できることが示されていました。どんな動機があったのかは不明です。しかも1977年のリベスト、シャミア、エーデルマンによるRSA暗号方式の発明まで、その工学や社会での応用は期待さえありませんでした。加えてRSAの鍵となる「 を素数、 を整数とすれば が成り立つ」というフェルマーの小定理（1）の発見（証明はライプニッツ）後も、その確立に300年余を要しました。 数論（
本日は 2/23 ということで、この日付にまつわる楽しい数学の話をしたいと思います！ お話したいのは、23 という数そのものが持つ性質についてです。 は素数なので、素数についての話かと思った方もいるかもしれません。 もちろん、素数であることは大事なのですが、それだけではありません。 は次のような特徴を持つ素晴らしい数でもあるのです。 を3以上の素数としたとき、 次円分体 の 類数 が より大きくなる最小の は である 整数論を学んだ人にとっては、円分体や類数の意味が理解でき、 そこから23の性質に感動を覚える人も少なくないかと思います。 一方で、円分体や類数をまったく知らない人にとっては、上の説明だけでは何のことかわかりませんよね。私自身、何度か一般向けの講演で上の事実を紹介したことがあるのですが、難しくて理解できなかったという方も多いのではないかと思います。 そんな方でも、今回こそは23
『代数的整数論』目次
『代數的整數論』高木 貞治 著の現代仮名遣い版高木貞治さんの『代數的整數論』初版を現代語訳しました。 高木さんの出版された書籍は2010年末に著作権が消失しているため、現代語訳は法律的に問題ないと考えています。 著作権について、ブログ：高木貞治プロジェクトを顧みる。 二（三）次利用について、現代語訳の権利について。 推奨環境：PC。（スマホ：Chrome、Firefox。） JavaScript有効。 現在も岩波書店から第2版が出版されています。 底本：『代数的整数論』高(たか)木(ぎ)貞(てい)治(じ)著、岩波書店、1959年刊 $\blacktriangleright$ 評判 代数的整数論 概説および類体論序 前編 概説 第一章 代数的整数 $1.1$ 代数的な数 $1.2$ 有限代数体 $1.3$ 代数的整数 $1.4$ 整除 $1.5$ 単数 第二章 代数体の整数 イデアル $2
「宇宙と宇宙をつなぐ数学 - IUT理論の衝撃」の感想
Amazonのレビューなどに書くと過去のレビューから身バレする可能性があるのと、わざわざ別アカウントを作ってまで批評するほどのものではないと思ったので、こちらに書きます。 初めに断っておきますが、本稿は別に加藤文元先生の人格や業績などを否定しているわけではありません。また、IUT理論やその研究者に対する批判でもありません。「IUT理論が間違っている」とか「望月論文の査読体制に問題がある」などと言う話と本稿は全く無関係です。単純にこの本に対する感想でしかありません。 ---- 加藤文元先生の「宇宙と宇宙をつなぐ数学 - IUT理論の衝撃」を読みました。結論から言って、読む価値の無い本でした。その理由は、 「ほとんど内容がない」 この一言に尽きます。数学書としても、一般書としてもです。 本書の内容と構成本書は、RIMS（京都大学数理解析研究所）の望月新一教授が発表した数学の理論である、IUT理
ドラマ総集編のようなすばらしい現代数論の入門書 - hiroyukikojima’s blog
今回エントリーするのは、山本芳彦『数論入門』岩波書店だ。この本は以前にも、このエントリーで紹介しているが、今回は違う観点から推薦したいと思う。 数論入門 (現代数学への入門) 作者:山本 芳彦 岩波書店 Amazon ゆえあって、最近またこの本を読み始めたのだが、面白くて遂にほぼ全部読んでもうた。そして全体を読破すると、この本がもくろんでいること、この本の特質がひしひしつと伝わってきた。ひとくちに言えば、この本は、「ドラマの優れた総集編を観るようなすばらしい内容」ということなのだ。 ドラマの総集編って、全12話を4話ぐらいでかいつまむ。もちろん、圧縮しているので、カットされたエピソードもあるし、ナレーションで進めちゃう場面もあるし、スルーされるキャラもある。でも、優れた総集編では、本編より本質が浮き彫りになり、面白さが倍増になることも多い。この本は、数論の総集編として、そのメリットがみごと
執筆者：立原 礼也 公開日：2024年6月8日 再公開日：2024年6月11日 記事の非公開に至った経緯については，別の 記事 「記事非公開の理由（特に，記事のある側面に関するお詫び）と今後の対応｜Reiya Tachihara (note.com)」をご参照ください． 今後も記事を非公開にすることがあるかも知れませんが，予告なく記事が非公開になった場合には，編集ののち，予告なく記事は再公開される予定です． 編集履歴は記事の最後に移植しました． 日本語のわかる方はこの英語は読み飛ばしてください（すぐ下に日本語で同じことが書いてあります）． Note: To avoid malicious editing or selective quoting, please ensure that the content of this article is shared by explicitly i
日曜数学 Advent Calendar 2020 の1日目の記事です。 「類体論」という名前を聞いたことがあるでしょうか？ 類体論は、高木貞治という日本の数学者が提唱した理論です。実は今年2020年は類体論が提唱されてからちょうど 100周年 だそうです。 『類体論における主要な定理の一つ「高木の存在定理」が発表されたのが1920年の国際数学者会議なのだそうです。 』 と書いていたのですが、同1920年には類体論に関してまとめた論文を、東京大学の理学部紀要にて発表しているそうです。（せきゅーんさんよりご指摘いただきました。） 後者の論文から100周年というのがより適切かもしれません。 整数論に興味がある方は、名前を聞いたことあるかもしれません。一方で、その主張について知っている人はあまり多くないのではと思います。かくいう私も、これまで類体論について勉強を続けてきましたが、いつまでたっても
保型形式（モジュラー形式）を勉強するとこんなにも楽しい（応用編） - tsujimotterのノートブック
今回は「保型形式（モジュラー形式）を勉強するとこんなにも楽しい」シリーズの 応用編 です！ 数学ガール等を読んで保型形式について知ったけど、さわりの部分だけでは物足りない、もっと保型形式のその先を勉強してみたい、そう思っていた「あなた」のためのシリーズ記事です。 前回の記事では、「導入編」と称してモジュラー形式に関する最低限の事項を紹介しました。導入編で手に入れた知識は、まさに今回の応用編を読むために用意したものです。 tsujimotter.hatenablog.com 今回は「モジュラー形式を勉強するとこんなにも楽しい」ということを紹介したいと思います。いよいよ本題ですね。 前回の記事を読んだ方もそうでない方も、必要に応じて前回の記事を参照しつつ、読んでいただけたらと思います。 みなさんにご紹介したいのは、次の ５つ の話です。 応用①：「関数」の間の非自明な関係式が得られる（難易度：
昨日、『天気の子』を観てきた。渋谷で夕方に観たんだけど、満員だった。客は若い子たちが大部分だという印象だった。 『君の名は。』も大好きだったが、『天気の子』も同じくらい好きな作品だった。とにかく作画がすばらしい。これがアニメか、と思えるくらいの美しさだ。あと、今回の作品は、いろいろなアニメやSF映画へのオマージュというか、トリビュートというか、そういうシーンがたくさんあって楽しかった。RADの曲も相変わらず素晴らしい。ネタばれにならないよう、感想はこのくらいに留めておこう。 さて、今回は高木貞治『初等整数論講義』共立出版を紹介する。これは昭和６年、つまり、1931年初版のふる～い本である。めちゃくちゃ古典なんだけど、いま、なんだかすごく新鮮な気分で読んでいる。 高木貞治と言えば、『解析概論』岩波書店が有名だろう。年配の理系出身者たちは一度はトライしたのではないかと思う。さすがに今はあまり手
ゼータ Advent Calendar 2019 の5日目の記事です。 世の中には、色々なゼータ関数があります。 ・リーマンゼータ関数 ・ディリクレゼータ関数 ・ハッセ・ヴェイユゼータ関数 ・アルティンゼータ関数 ・合同ゼータ関数 ・セルバーグゼータ関数 tsujimotterのノートブックでもこれまでいくつかのゼータ関数を取り扱ってきました。その中の多くは、実は「ガロア表現」と呼ばれるものから作ることができます。そういうお話をしたいと思います。今日の記事では、上のリストのうち、上から４つが登場します。 今回の記事は以前から温めていた内容なのですが、マスパーティというイベントの「ロマンティック数学ナイトプライム@ゼータ」という企画で、ゼータ熱が再燃しました。その後、ゼータアドベントカレンダーが企画されたことで「このタイミングで公開しないでいつ公開するんだ」と思い公開に至ったという経緯です。
0 総記 00 総記 000 総記 002 知識．学問．学術 002.7 研究法．調査法 科学方法論→116.5 学術研究奨励→377.7 自然科学→400 社会科学→300 知識の分類→116.5 007 情報科学 007.1 情報理論 007.11 サイバネティックス 007.13 人工知能．パターン認識 007.15 エキスパート システム 007.2 歴史．事情 007.3 情報と社会：情報政策 007.35 情報産業．情報サービス 007.4 情報源 007.5 ドキュメンテーション．情報管理 007.52 主題分析 007.53 索引法 007.54 抄録法 007.55 クリッピング 007.57 情報記述の標準化 007.58 情報検索．機械検索 007.6 データ処理．情報処理 007.61 システム分析．システム設計 007.63 コンピュータ システム．ソフトウェア
はじめに 著名な Rubyist にインタビューを行う企画「Rubyist Hotlinks」。 第 28 回となる今回は、現在 Ruby 1.9 系統のリリースマネージャをされている Yugui さんにお話を伺いました。 お楽しみください。 プロフィール 自称・『Rubyist Magazine』を読んで育った Rubyist である Yugui さん。 現役バリバリのプログラマーである一方、 Ruby コアコミッタ、 Ruby 1.9 系のリリースマネージャとしての活動も行っておられます。 好きな言葉 毒喰らわば皿まで 尊敬する人 森奈津子 ご本人のサイト 世界線航跡蔵 インタビュー : 聞き手 ささださん 語り手 Yugui さん 野次馬 高橋さん (編集長) 、 松田さん、とみたさん(ロガー)、角谷さん、 Asakusa.rb1 メンバーs 日にち 2011 年 8 月 2 日 場
代数幾何の文献案内 - パンの木を植えて
latest update: 2022.06.11 2022.06.11 警告をCSSを使って目立たせました． はじめに 文献案内 ハーツホーン モーデル・ファルティングス マンフォード 上野代数幾何入門 Liu Bosch Görts Wedhorn 警告 この記事をまじめに読まないでください．この記事は私の経験を記録しておくためのもので，「昔はこういう意見だったんだな」という資料としての意義しかないものです．従ってここに書かれている私の意見はとても！非常に！古いです．しかも今後最新の意見に更新されることはありません． より新しい私の意見については，次に挙げる「大学数学の文献案内」の記事を見てください．そこで代数幾何の入門書も紹介しています． はじめに 代数幾何というのは，サクっと言うと多変数の多項式の共通零点で表されるような図形を調べる分野である． きわめてオシャレで洗練された手法を駆
高木貞治プロジェクトを顧みる
高木貞治さんの紹介から始めます。 高木貞治さんという数学者（Wikiによると1875-1960）がいました。 彼は数学の中でも、整数論（代数的整数論（類体論））の分野で活躍し、数学の書籍の執筆が特に有名で、数学以外の専門の人にも知られています。 今でも一部の書籍は、日本語の言葉遣い、漢字の新旧などを改めるなどして、出版が継続されています。 高木貞治プロジェクトの発祥について紹介します。 高木貞治さんが亡くなったのは1960年で、その50年（+数ヶ月）後は2011年1月です。 2011年1月の時点で、日本の著作権の法律では、書籍の著者が亡くなってから50年後には、その著者の著作権が消失するというものでした。 （この文章を書いている2019年7月では、「50年後」ではなく、「70年後」に法律が変わっています。 しかし、法の不遡及により、2011年1月の時点で消失した著作権は復活しない、と考えら
【下】世界が瞠目する業績を挙げた数学者・高木貞治 最高の学問的仕事を成し遂げ、社会的には控え目につつましく生きた 秋山仁 数学者、東京理科大特任副学長 日本の近代科学の礎を築いた7人の紹介の最後は、世界が瞠目（どうもく）する業績を挙げた数学者の高木貞治である。 高木貞治（たかぎ・ていじ 1875～1950） 数学者。1900年にパリで開かれた国際数学者会議で数学者ヒルベルトが提唱した「20世紀に解決されることが期待される23題の問題」の中の12番目の未解決問題を部分的に解決する等、代数学の分野で多大な業績を上げ、時代を代表する国際的な数学者として活躍した。 現在の岐阜県本巣市数屋に生まれ、4、5歳の頃から大人たちを驚かせる神童だった。当時の学制では、小学校の初、中等科を6年かけて卒業するところを3年間で終了し、現在の中学課程にあたる小学校上等科も、通常2年間通うべきところを1年で卒業した。
Tomokazu Kashio
English 東京理科大学創域理工学部数理科学科 加塩 朋和 (かしお ともかず, Kashio Tomokazu) のページです。 整数論を研究しています。 若い頃に、アルティメット・フリスビーというスポーツをしていて、 2004年の全国大会 （Club Jr. Ultimate Dream Cup） では、決勝まで行きました。 プロフィール 所属大学のページです。電子メールアドレスもあります。 twitter 授業や研究に関する質問などはこちらでも。 授業のレジュメ 告知(研究関係) 研究室メンバー(各自の研究内容) セミナーで採用したことがある本 list of papers list of papers in Japanese list of talks 授業のレジュメ 古いやつは(書き方が未熟で)参考にならないかもしれません。 間違い等の指摘は大歓迎です。 整数論の概説的な授業
latest update: 2022.06.17 \[ %%% 黒板太字 %%% \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} %%% 引数を取るもの %%% \newcommand{\f}[2]{ \frac{#1}{#2} } \] はじめに この記事の想定読者 凡例とコメント この文献案内の特色 1回生向け ★微積分 概要 斎藤『微分積分学』 杉浦『解析入門 1』 ★線形代数 概要 齋藤『線形代数学』 離散最適化 概要 Kleinberg, Tardos 『アルゴリズムデザイン』 Korte, V
ナチス支配下でのゲッチンゲンの数学
先日バナハの"Theory of Linear Operations"に触れましたが、私が後世の数学徒に残したい数学名著を3冊だけ選べと言われるならば、以下のようになります(順不同)。但し、論文集等と日本語の本は除きます。日本語の本を除くのは、そもそも後世の人々というのは地球人であって、日本人だけを対象にするのは後世に残す気持ちが始めから無いに等しいからです。勿論、日本語版の外国語訳があれば考慮しています。 1. Stefan Banach "Theory of Linear Operations" 2. Claude Chevalley "Theory of Lie Groups" 3. Henri Cartan, Samuel Eilenberg "Homological Algebra" 1.は前にも言いましたが、バナハが元々書いた仏語版の方がいいと思います。 上記は数学徒、つまり数
本日 11/11 はレピュニット（1が続く数）の日ですね。毎年この日が来るとtsujimotterはこちらの記事をTwitterに投稿しています。 tsujimotter.hatenablog.com この日は数学が好きな人たちの間でも、レピュニット関連の話題がたくさん投稿されるのですが、特に鯵坂もっちょさんのこちらの投稿が気になりました。 11/11ですが pic.twitter.com/6MATw4sGfZ— 鯵坂もっちょ🐟 (@motcho_tw) 2019年11月11日 レピュニットは とかける数のことですが という多項式を考えて、 を代入したもの、だと考えてもいいわけです。 このように考えると、多項式 の既約分解を考えることで、レピュニットの因数分解を得ることができます。たとえば という多項式の既約分解を考えることで、 と代入してレピュニットの因数分解 が得られるというわけです
『数日間、ネット落ちの予定です』
明日から数日ネット落ちするので、間を持たせるために（？）問題をいくつか。 問題１ ｐを素数とする時、（ｐ－１）！≡－１ （mod p）となることを証明してください。 問題２ α，βを代数的数とする時、α＋β，αβもまた代数的数となることを証明してください。 問題３ 代数的数を係数とする１次以上の多項式ｆの根はすべて代数的数であることを証明してください。 また、別ブログに書いた類体論記事へのリンク集を次の記事に挙げておこうと思います。
ジャック・エルブラン - Wikipedia
ジャック・エルブラン (Jacques Herbrand、1908年2月12日 - 1931年7月27日)はパリ生まれのフランスの数学者。 数理論理学と類体論に業績がある。再帰関数を導入した。エルブランの定理と呼ばれるまったく別の2つの定理がある。ひとつは彼が博士論文として書いた証明論についてのもの、もうひとつはエルブラン・リベットの定理と呼ばれるものである。また、エルブラン商は、ホモロジー代数におけるオイラー標数の一種である。ヒルベルトプログラムにも貢献した（弱い算術系における無矛盾性の証明）。 来歴・人物[編集] エルブランは1929年、エコール・ノルマル・シュペリウールでErnest Vessiotのもと博士号を取った。その年の10月に軍に入隊した。そのためパリ大学での論文審査は翌年まで持ち越された。ロックフェラー財団による奨学金を得て、1931年にドイツに留学。初めベルリンでノイマ
類体論の年表 - Wikipedia
類体論（るいたいろん、英: class field theory）とは、局所体や大域体のアーベル拡大を研究する数学の一分野である。 年表[編集] 1801年 カール・フリードリヒ・ガウスが平方剰余の相互法則を証明。 1829年 ニールス・アーベルがレムニスケート関数の特殊値を用いて のアーベル拡大を構成。 1837年 ペーター・グスタフ・ディリクレの算術級数定理。 1853年 レオポルト・クロネッカーがクロネッカー・ウェーバーの定理を発表。 1880年 クロネッカーが虚2次体のアーベル拡大に関するクロネッカーの青春の夢をリヒャルト・デーデキントに書き送る。 1886年 ハインリヒ・マルティン・ヴェーバー（英語版）がクロネッカー・ウェーバーの定理を証明（軽微な不備あり）。 1896年 ダフィット・ヒルベルトがクロネッカー・ウェーバーの定理をはじめて完全に証明。 1897年 ヴェーバーが射類群
2022/12/30 Update! せかＰです． 今回はネット上で閲覧可能な講義資料の一部をメモとして書いておこうと思います． なお，直接PDFのリンクを貼っているものは一部で，今後リンク切れする可能性もあるので詳細はHPのリンクから見てみてください． 微積・線形代数などを最初の方に並べてあります． [1] 微分積分，複素関数論，信号処理とフーリエ変換，微分方程式など 明治大学 総合数理学部現象数理学科 桂田祐史先生のHPです． 講義のページから，資料を閲覧することができます． 以下は講義ノートや資料のリンクです 数学リテラシー（論理，集合，写像，同値関係） 数学解析 （授業資料＞講義ノート） 多変数の微分積分学1，2(重積分)，2(ベクトル解析) 複素関数 （資料＞講義ノート） 応用複素関数 （留数定理の応用の続きから等角写像，解析接続など） 信号処理とフーリエ変換 複素関数と流体力
wagaizumo.hatenablog.com wagaizumo.hatenablog.com wagaizumo.hatenablog.com ようやく量子群について勉強することができる。12000文字。 量子化という病：非可換幾何学の夢 文献A：量子群の前に読むべき表現論の教科書 文献B：日本語で読める量子群の教科書 文献C：量子群の教科書 文献D：可解格子模型について 文献E：結び目理論と量子群 文献F：最高パス・箱玉系・艤装配位 文献G：量子群の広がり おわりに 『可積分系の歴史』で述べたように、Drinfeld-神保の量子群（1985年）の起源は、統計力学の可解格子模型などの量子可積分系が解ける理由を説明するYang-Baxter方程式の研究に求めることができる。 一般にYang-Baxter方程式を解くことは難しい。しかしその解である量子R行列は、個々の量子多体系モデルを通
中山の補題 - Wikipedia
数学、具体的には現代代数学や可換環論において、中山の補題（なかやまのほだい、英: Nakayama's lemma、クルル-東屋の定理（Krull–Azumaya theorem）とも[1]）は、環（典型的には可換環）のジャコブソン根基とその有限生成加群の間の相互関係を定める。有り体には、補題より直ちに可換環上の有限生成加群は体上のベクトル空間のように振る舞うことが言える。これは代数幾何において重要な道具である、なぜならばそれによって代数多様体の局所的なデータを、局所環上の加群の形において、環の剰余体上のベクトル空間として各点ごとに研究することができるからである。 この補題は、まずヴォルフガンク・クルルによって可換環のイデアルの特殊な場合において発見され、次に一般の場合が Azumaya (1951) によって発見されたにもかかわらず、日本人数学者中山正にちなんで名づけられている[1][2
『∂現代整数論の風景 落合理』
∂「現代整数論の風景」という魅力的な書名を目にすると、数学が好きな方はぜひ読んでみたいと思われるのではなかろうか。代数的な対象と解析的な対象が交錯し、美しい調べを奏でることが数論の大きな魅力。2元2次形式の理論と2次体の理論がディリクレのL関数やデデキントのゼータ関数などの解析的な対象と交錯し、類数や連分数などと密接に関連することは数論における最も美しい古典的な結果のひとつ。2次体や円分体は重要なアーベル拡大体であるが、「有理数体上のアーベル拡大体は円分体に含まれる」という結果とガウス和の値（符号決定）から、「与えられた2次体を含む最小の円分体が決定できる」ことも美しい調べの一例。（有理数体Qに定義されるp進距離でQを完備化した）p進体が現代数論の主役のひとつであることは、（p進体の有限次代数拡大体である）局所体のアーベル拡大を統制する「局所類体論」、p進L関数と円分Zp拡大との関連を述べ
群論，環論，体論，ガロア理論，整数論，加群論・単因子論，表現論，線形代数，代数幾何・トポロジー・多様体，リー群論・リー代数，物理数学(量子化学，量子力学，場の量子論，素粒子論，解析力学，量子情報)，暗号理論と楕円曲線論，圏論，類体論，数学史，書籍紹介，ネタツイ など代数学関連でもろもろ
ブラウアー群 - Wikipedia
数学において、体 K に対するブラウアーの多元環類群（たげんかんるい、英: algebra class group）あるいは単に K のブラウアー群（ブラウアーぐん、英: Brauer group）Br(K) は、体 K 上の中心的単純環の森田同値類（多元環類、ブラウアー類）を元とするアーベル群で、その演算は多元環のテンソル積から誘導される。ブラウアー群は体上の斜体の分類の過程で考え出されたもので、名称は代数学者のリチャード・ブラウアーに由来する。さらに一般に、スキームのブラウアー群の概念も東屋多元環（東屋代数）を用いて定義される。 構成[編集] 体 K 上の（階数有限な[* 1]）中心的単純環とは、K 上の階数が有限（多元環を加法とスカラー倍に関して K 上のベクトル空間と見たときの次元が有限）な結合多元環であって、それ自身環として単純で、その中心がちょうど K に一致する（K 上中心的
使うための類体論 ～類体の定義，そして理論の肝，また展望を少し～ - Period-Mathematics
はじめに 類体論の種類について 類体の定義 類体論の肝の主張 類体論とは何か？に対する答え 類体論の証明についてのコメント 類体論の一般化 はじめに （本記事で扱う類体論は代数体に対するイデアルによる大域類体論である．） $\def\A{\mathbb{A}} \def\B{\mathbb{B}} \def\C{\mathbb{C}} \def\F{\mathbb{F}} \def\G{\mathbb{G}} \def\H{\mathbb{H}} \def\K{\mathbb{K}} \def\M{\mathbb{M}} \def\N{\mathbb{N}} \def\O{\mathcal{O}} \def\P{\mathbb{P}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\R{\mathbb{R}} \def\T{\mathbb{T}} \def\Z{\mathbb{Z}} \d
今回は局所類体論の存在定理と呼ばれる局所体上のAbel拡大の分類定理の使い方と、その強さを -進数版のKronecker-Weberの定理 -進数版のKronecker-Weberの定理 を素数とする。任意の 上有限次Abel拡大は、ある自然数 が存在して に含まれる。ここで とは の原始 乗根である。 を証明することで見ていく。 目次: 局所体の定義と性質 局所類体論の存在定理 最後に 参考文献 局所体の定義と性質 この節では以下の内容について話す。 局所体の定義。 局所体 は その整数環の素元 と単数群 により という構造をしている。 局所類体論の存在定理は の指数有限開部分群と 上のAbel拡大が対応するのでここでは の代数構造と位相的な情報が重要になるのである。 上で書いた内容を知っていれば、あるいは認めれば局所類体論の存在定理とKronecker-Weberの定理の証明の流れは追
まげ店長の記事一覧｜note（ノート）
Uボート好きが興じて、エニグマ暗号をどうやって解読したのか知りたくなって 整数論を勉強する羽目に。 ・整数論（初等整数論、代数的整数論、ガロア理論、次は類体論をやりたい） ・中世日本の賤民史 ・ユダヤ人史 ・東欧、中欧
B3なつやすみ（さんじゅうななにちめ&さんじゅうはちにちめ） - kara1216_mathのなつやすみのにっき
37日目 12:50起床。「すうがくぶんか」さんと東工大理学院数学系の合同の「タイヒミューラー祭り」を13:00から見た。ちなみにタイヒミューラー理論に関しては全くの無知だったけど、第二部まではなんとなく聞けた。特に第二部の辺りの話は細かい話は別としてたまたま個人的に勉強している話と少し関連があったので、はえーってなりながら聞いていた。 第三部は前提知識的に全く分からずにボコボコにされてた。代数幾何、なんも知らないのでごめんなさいってなってる。 17:00まで見てた。その後は、まだ副反応が残ってて腕の痛み&微熱が続いているので布団で死んでいた。ぶっ通しで四時間近く講義(？)を聞いたのは久しぶりなのもありそう。 昔見てたゲーム実況者のシリーズが知らないうちに色々貯まってたのでそれをずっと見てた。いや、体調悪いなら寝ろよって今になって思ってる。 とはいえ何だかんだ楽しい一日だった。 38日目
主イデアル - Wikipedia
主イデアル（英: principal ideal）、あるいは単項イデアルとは、環 R の単一の元 a により生成された R のイデアル I のことを言う。（要するに、単元生成されたイデアルを主イデアルと言う。） 定義[編集] R の左主イデアル (left principal ideal) は、Ra = {ra : r ∈ R} の形の部分集合 R の右主イデアル (right principal ideal) は、aR = {ar : r ∈ R} の形の部分集合 両側主イデアル (two-sided principal ideal) は、RaR = {r1as1 + ... + rnasn : r1, s1, ..., rn, sn ∈ R} の形の部分集合 R が可換環であれば、上の3つの定義はみな同じになる。この場合は、a で生成されるイデアルを (a) と記すのが一般的である。
Zeta Advent Calendar 2020 の14日目の記事です。 先日、類体論の入門記事を公開しましたが、多くの方に読んでいただいて嬉しいです。 tsujimotter.hatenablog.com 類体論の記事を書いたことによって頭の中が整理されて、類体論の本が読めるようになってきました。これがとても嬉しく思っています。 そんな経緯で類体論の 基本不等式 を理解できたのですが、今回はこれについて紹介したいと思います。 実はこの基本不等式は類体論の理論の中で証明される非常に重要な定理なのですが、これが 解析的に証明される のです。その証明には ゼータ関数 を使います。この事実が面白いので今回紹介したいと思いました。 前回の記事は入門記事でしたが、今回はだいぶ専門的な内容になります。難しい内容になるかと思いますが、よろしければ最後までお付き合いください。 基本不等式について 上の記
MZVとMZSVの和公式 - Easy Exercise
この記事は adventar.orgの13日目の記事です。 多重ゼータ値（multiple zeta value, MZV）とは、整数 に対し \begin{split} \zeta(k_1, k_2, \cdots, k_r) := \sum_{0 \lt m_1 \lt m_2 \lt \cdots \lt m_r} \cfrac{1}{m_1^{k_1} m_2^{k_2} \cdots m_r^{k_r}} \end{split} で定義される多重和です。条件 のおかげでこの級数はきちんと収束してくれます。MZV の定義において とすると \begin{split} \zeta(k_1) = \sum_{m = 1}^\infty \cfrac{1}{m^{k_1}} \end{split} となりますが、これは Riemann ゼータ関数の特殊値にほかなりません。 つまり多重ゼー
INTPはBlueSkyの夢を見るか｜まげ店長
別に店長でも何でもないんですが、まげ店長です。@magemanager.bsky.social 本記事はBluesky Advent Calendar 2023、4日目の記事になります。 一言でいうと、 真性INTPの私は他人の感情を読み取るのが難しいんですよ。 それでも、BueSkyは単純に愉しいな（理由はよく分からない） という事です。 （私のPostから、愉しみは滲み出てないと思いますが） ※INTPとはMBTIタイプで診断される16タイプの一つです。 私の診断はネットではなく先生にやってもらった結果で、 目盛が振り切ってたので真性INTPです。 （MBTIはネット診断では正確には分かりません。 こうであるべきだという、真逆の回答を人間はするからです。 実際、診断研修で自己回答とは真逆の答えになった人いました）リアル生活でもそうなんですが、 他人と接する・話すことを基本望みません。
0 総記 00 総記 000 総記 002 知識．学問．学術 002.7 研究法．調査法 007 情報科学 007.1 情報理論 007.11 サイバネティックス 007.13 人工知能．パターン認識 007.15 エキスパート システム 007.2 歴史．事情 007.3 情報と社会：情報政策 007.35 情報産業．情報サービス 007.4 情報源 007.5 ドキュメンテーション．情報管理 007.52 主題分析 007.53 索引法 007.54 抄録法 007.55 クリッピング 007.57 情報記述の標準化 007.58 情報検索．機械検索 007.6 データ処理．情報処理 007.61 システム分析．システム設計 007.63 コンピュータ システム．ソフトウェア 007.64 コンピュータ プログラミング 007.65 各種の記憶媒体 007.68 情報検索．機械検索 0
アーベル拡大 - Wikipedia
抽象代数学において、ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大 (cyclic extension) という。ガロア拡大が可解 (solvable) であるとは、ガロア群が可解、つまり中間拡大に対応するアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。 有限体の全ての有限拡大は、巡回拡大である。類体論の発展は、数体と局所体と、有限体上の代数曲線の函数体のアーベル拡大についての詳細な情報をもたらした。 円分拡大という概念があり、2つの少し異なる定義がある。1つは1の冪根による拡大のことであり、もう1つはその部分拡大のことである。例えば円分体は円分拡大である。任意の円分拡大はいずれの定義でもアーベル拡大である。 体 K が 1 の原始 n 乗根を含み、K のある元の n 乗根が添加されると、
イヴァン・フェセンコ - Wikipedia
数論, 相互律の明示的公式（explicit reciprocity formulas）, 類体論, 高次類体論, 非アーベル類体論, ゼータ函数, 高次ハール測度, 高次アデール構造体, 2次元アデール解析と同幾何学, 高次ゼータ積分 イヴァン・フェセンコ（Ivan Fesenko）は、数論および現代数学での他分野との（数論の）相互作用を研究している、ロシアの数学者である。 略歴[編集] イヴァン・フェセンコは1992年にサンクトペテルブルク数学会賞を受賞[1] 。1995年以降はノッティンガム大学で純粋数学の教授を務める。 彼は類体論やその一般化など数論の複数分野で貢献したほか、純粋数学における様々な関連部門でも同様に功績を残している。 2015年以降、彼はノッティンガム＝オックスフォード＝EPSRC助成金プログラム「Symmetries and Correspondences」[2]
tsujimotter.hatenablog.com 昨日に引き続き 「具体例を通して学ぶ虚数乗法論」 のお話 後編 です。 目次： 《前編》 Sagemathについて 本日の主役 楕円曲線の加法 m倍写像とm等分点 虚数乗法とは 《後編》 円とのアナロジー 類体論の復習 j不変量とヒルベルト類体 クロネッカーの青春の夢 導手 (2) のray類体の計算 導手 (3) のray類体の計算 おわりに 参考文献 円とのアナロジー 楕円曲線と数論の関係がみえてきたところで、ここで一旦話を変えて、「みなさんがよく知っている曲線」と「数論」との関係について述べたいと思います。 高校数学の頃から慣れ親しんだ 円 について考えてみましょう。 上の図は、複素数平面上で単位円を描いたものです。 ここで単位円を 等分 する点を考えてみましょう。実際、 の根、すなわち 1の 乗根 を考えてあげればよいことになり
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