コンパクトな台 [−1, 1] を持つ滑らかな関数の例。 数学における、ある函数の台（だい、英: support）とは、その函数の値が 0 とならない点からなる集合、あるいはそのような集合の閉包のことを言う[1]。この概念は、解析学において特に幅広く用いられている。また、何らかの意味で有界な台を備える函数は、様々な種類の双対に関する理論において主要な役割を担っている。 定義[編集] 与えられた集合 X 上の函数 f が、Y(⊂ X) に台を持つ (supported in) とは、その函数 f が Y の外側 X ∖ Y で常に消えていることを言う。このとき、Y を部分集合として含む任意の集合（Y の拡大集合）Z に対して f は Z に台を持つことになるのは明らかであるから、函数 f の台 supp(f) は、f が台を持つような X の部分集合全ての交わりとして定義される。即ち、集合論

この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注によって参照されておらず、情報源が不明瞭です。脚注を導入して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2023年8月） 数学の分野における積分変換（せきぶんへんかん、英: Integral transform）とは、次の形をとるような変換 T のことである： この積分変換の入力は関数 f であり、出力は関数 Tf である。積分変換は作用素の一種である。 多くの便利な積分変換が存在する。個々の積分変換は、その変換の核関数 (kernel function) あるいは核 (kernel, nucleus) と呼ばれる二変数関数 K を定めれば決まる。また、積分区間は，核によって適当に定められる。 いくつかの核関数には逆 K−1(u, t) が存在し、それは（大まかに言えば）次のような逆変換を満たす: このような公式は反転公式と呼ばれる。

関数解析学において、有界作用素のスペクトルは、行列における固有値の概念の一般化である。特に、λI − T が可逆でなければ、λ ∈ C を有界線形作用素 T のスペクトルという。ただし I は恒等関数とする。スペクトル及びスペクトルに関連する研究は、スペクトル理論と呼ばれ多くの応用先を持つ。最も良く知られているのが、量子力学の数学的な枠組みについてである。 有限次元ベクトル空間上の作用素のスペクトルは厳密に、固有値の集合となる。しかしながら、無限次元空間上の作用素は、固有値を持たないことがある。例えば、ヒルベルト空間 ℓ2 上では、右シフト作用素 , は固有値を持たない。 固有値をもつ、つまり Rx = λx を満たすような 0 でない λ が存在するとすると、 となる。一方で、R − 0（つまり R 自身）は可逆ではない。つまり、ゼロでない第一成分が含まれていないような任意のベクトルにつ

この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注によって参照されておらず、情報源が不明瞭です。脚注を導入して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2018年1月） 数学におけるレゾルベント（英: resolvent, 解素）は、線型作用素（あるいは行列）のスペクトルの補集合（レゾルベント集合）を定義域とする解析函数である。 レゾルベントの解析的構造から線型作用素のスペクトル的な性質が調べられる。また、レゾルベントを用いれば、ヒルベルト空間やもっと一般の空間上の作用素のスペクトルの研究に複素解析学の概念を定式化して持ち込むことができる。レゾルベントは解核とも呼ばれ、（通常はリウヴィル-ノイマン級数として定義される）積分核として、非斉次フレドホルム積分方程式を解くのにも使われる。 イヴァール・フレドホルムは Acta Mathematica に収録された論文 (Fredholm

以下の制約付き最適化問題を考えましょう。 \begin{align*} \text{Minimize } f(x):= \sum_{i\in \mathcal{I}} f^{(i)} (x) \text{ subject to } x\in C := \bigcap_{i\in \mathcal{I}} C^{(i)}. \end{align*} ただし、$H$はHilbert空間、$f^{(i)} \colon H \to \mathbb{R}$ $(i\in \mathcal{I}:= \{1,2,\ldots,I\})$は目的関数、 $C^{(i)}$ $(\subset H)$ $(i\in \mathcal{I})$ は$C \neq \emptyset$を満たす凸制約集合とします。$C^{(i)}$については、単純な形状の場合（例えば、閉球、半空間）や単純な形状ではない場合（例

(Satoshi Kodama) (Tomoya Mizutani) (Shigeo Akashi) Department of Information Sciences, Faculty of Science and Technology, Tokyo University of Science 1 2 $w$ why how 2 2 2 2 2 1963 2015 231-234 231 2 $\mathcal{H}$ $m$ $n$ $\{x_{i};1\leq i\leq m\}$ $\{yj; 1\leq i\leq n\}$ $X$ $Y$ $w$ $r$ $<w, x_{i}><r, 1\leq i\leq m$ $<w, y_{i}>>r, 1\leq i\leq n$ $w$ 2 $X$ $Y$ $r=0$ $X$ $Y$ 1 $w$ $X$ $Y$ : $\rho=\m

数学におけるハーン–バナッハの定理（ハーン–バナッハのていり、英: Hahn–Banach theorem）は、関数解析学の分野における中心的な道具で、ベクトル空間の部分空間上で定義される有界線形汎関数が全空間へ拡張できることについて述べたものである。これにより、どのようなノルム線形空間においても、その上で定義される連続線形汎関数が、双対空間の研究を「面白い」ものにするに「十分」なほどたくさんあることがわかる。ハーン-バナッハの定理の別形態のものとして、ハーン–バナッハの分離定理あるいは分離超平面定理と呼ばれるものがあり、凸幾何学（英語版）の分野で多く用いられている。 定理の名前の由来は、1920年代後半にそれぞれ独立にこの定理を証明したハンス・ハーンとステファン・バナッハである。定理の特別な場合[1]については、より早い段階（1912年）でエードゥアルト・ヘリーによって証明されており[2

この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注によって参照されておらず、情報源が不明瞭です。脚注を導入して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2016年6月） リースの表現定理（リースのひょうげんていり、英: Riesz representation theorem）とは、数学の関数解析学の分野におけるいくつかの有名な定理に対する呼称である。リース・フリジェシュの業績に敬意を表し、そのように名付けられた。 ヒルベルト空間の表現定理[編集] この定理は、ヒルベルト空間とその（連続的）双対空間の間に、ある重要な関係性を構築するものである。すなわち、基礎体が実数体であるなら、それら2つの空間は等長同型であり、複素数体であるなら、それらは等長反同型（英語版）である、ということについてこの定理は述べている。そのような（反）同型性は、以下で述べるように、とりわけ自然なものである。 H

この記事ではノルム空間の間に定義された関数のガトー微分とフレッシェ微分について解説します。この記事の全体を通して を 上のノルム空間とします。ここで、ノルム空間とはノルムが定義されたベクトル空間のことです。例えば、 は 次元のベクトル空間で任意の に対して を と定義することで はノルムとなり、 は 次元のノルム空間ということになります。 ノルム空間 は有限次元かもしれないし、 で紹介したような2乗可積分な関数全体の集合 のように無限次元かもしれないことに注意してください。 全微分と方向微分 ノルム空間の間の線形写像の連続性と有界性 ガトー微分：方向微分の一般化 フレッシェ微分：勾配の一般化 参考文献 全微分と方向微分 まず、 とします。このとき、 が において全微分可能であるとは線形写像 が存在して、\begin{align} \lim_{h\rightarrow 0} \frac{||

1 カーネル法の基礎 福水 健次 (統計数理研究所） 2006年7月6~7日 公開講座「カーネル法の最前線 ― SVM, 非線形データ解析, 構造化データ ―」 2 1. イントロダクション � このセクションの目的 カーネル法に関して大まかなイメージを持ってもらう くわしい説明はあとできちんとやる 3 非線形データ解析としてのカーネル法 � 非線形データ解析の重要性 古典的な線形データ解析 データの行列表現 ⇒ 線形の処理 （主成分分析，正準相関分析，線形回帰．．．） 線形で十分か？ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = N m N m m X X X X X X X 1 2 2 1 1 1 1 m 次元 N 点のデータ 4 -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 -15 -10 -5