ファレイ数列 - Wikipedia
数学で、ファレイ数列（ファレイすうれつ、フェアリー数列[1]とも, Farey sequence [ˈfɛəri -]) とは、既約分数を順に並べた一群の数列であり、以下に述べるような初等整数論における興味深い性質を持つ。 正確にいえば、 自然数 n に対して、n に対応する（または、属する）ファレイ数列 (Farey sequence of order n) Fn とは、分母が n 以下で、 0 以上 1 以下の全ての既約分数を小さい順から並べてできる有限数列である。 ただし、整数 0, 1 はそれぞれ分数 0/1, 1/1 として扱われる。 定義によっては 0, 1 は数列から省かれる場合もある。 なお、英語では Farey series と呼ばれることも多いが、series（級数）の定義からいえば厳密には誤りである。 例[編集] ファレイ数列 Fn は、具体的に n = 1, …,
既約分数クイズ
アフタヌーン・ティールームでパスタ・ランチを食べ終えた私は、 ロイヤルミルクティを飲みながら、ぼんやりと窓の外を眺めていた。 年末のはずなのに、町は意外に閑散としている。 ふと、ドアのほうに目をやると、ピンクのセーターを来た女の子が一人 入ってくる。 女の子は店内を見回して、私の方を向くとにこっと微笑んでこちらに近づいてきた。 彼女は、不思議そうな顔をしている私の向かいの席にするっと腰をおろすと、 大きな布のバッグをテーブルの上に置いて、ふう、と一息つく。 びっくりした私が「ええと…どちらさまですか？」と尋ねると、 彼女は「わかりませんか？」と答える。 私は彼女の顔をじっと見る。 …高校生、いや中学生かな？ ふかふかした、やわらかいピンク色のとっくりセーター。 髪はストレートのロングで、プラスチックの髪留めが1つ。これもピンク。 整った顔立ちをしていて、微笑んでいる…だめだ、思い出せない。
Spaghetti Source - Stern-Brocot 木
説明 有理数 p = x/y と q = z/w に対し，二項演算 p@q を p@q = (x+z)/(y+w) で定義する．Stern-Brocot 木は，次で定義される無限に伸びる二分木である． 頂点は区間である． 根は (0,∞) に対応する区間 (0/1, 1/0) である． 頂点 (p, q) の子は (p, p@q), (p@q, q) である． この木の主な特徴は次のものである． 二分探索木である． 各頂点 {p, q} の分割点 p@q は既約有理数である． すべての既約有理数が一度だけあらわれる． 木の深さに対して対応する有理数の分子・分母は単調に増加する． 木の具体形は http://mathworld.wolfram.com/Stern-BrocotTree.htmlなどを参照． プログラミングの視点では，この木は「有理数を効率的に探索する」ために用いることができる
オイラーのφ関数 - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "オイラーのφ関数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2017年12月） φ(n)最初の100個の値のグラフ φ(n)の最初の1000個の値 オイラーのトーシェント関数（オイラーのトーシェントかんすう、英: Euler's totient function[2]）とは、正の整数 n に対して、 n と互いに素である 1 以上 n 以下の自然数の個数 φ(n) を与える数論的関数 φ である。これは と表すこともできる（ここで (m, n) は m と n の最大公約数を表す）。慣例的にギリシャ文字の φ（あるいは）で表記される
互いに素 - Wikipedia
互いに素とは、数学の複数分野で使われる用語である。 集合論 互いに素 (集合論) → 素集合 整数論 互いに素 (整数論) 代数学 2つの多項式が「互いに素である」とは、両者をともに割り切るような多項式が存在しないこと、つまり、それぞれの多項式の因数分解で共通の因数が現れないことである。 2つのイデアルが「互いに素である」とは、そのイデアルの和が環全体となることである。 このページは曖昧さ回避のためのページです。一つの語句が複数の意味・職能を有する場合の水先案内のために、異なる用法を一覧にしてあります。お探しの用語に一番近い記事を選んで下さい。このページへリンクしているページを見つけたら、リンクを適切な項目に張り替えて下さい。
数論初歩
玄関 入試問題一覧 数論初歩 PDF版 suuronN.pdf はここにあります． はじめに 数は人間にとって大変身近なものです．数はまず自然数であり，そして整数です．整数の性質を調べる整数論は高校数学のなかでも大切な分野です． しかし，現在の高校の教科書ではまったく軽視されています． 高校生向けの参考書にいちおうは載っているのですが， どうしても入試問題に引きずられて記述されるため， 行きあたりばったりで体系的でない切れ切れの知識が積みあげられ， 小手先の方法論が先行し，かえってわかりにくくなっているのが現状です． これはたいへん残念なことです． 整数論は初等的な段階から数学のおもしろさ，美しさを実感することができる分野です． また，体系立てて学ぶことで，少ない原理を生かして自由に応用するという， 数学の大切な精神を身につけることができます． さらにその結果，入試問題も見通しよく解く
ペル方程式の解の列挙方法 - まめめも
Project Euler 66 のネタバレです。見たくない人は見ないでください。本質的には全然理解できてないですが、それなりに有用な情報だと思ったので、解き方だけメモします。 ペル方程式とは (ただし D は平方数でない自然数) という形の不定方程式をペル方程式というそうです。 これを満たす整数 x と y は無数にあります。ですが、D の値によっては最小解でもかなり大きい値になることがあり、1 から順番に探していくことは事実上不可能です。たとえば D = 166 のときは以下が最小解です。 p(1700902565**2 - 166 * 132015642**2) #=> 1 最小解の見つけ方 最小解を高速に探し出す方法があります (参考: 二次無理数の連分数展開とペル方程式の解の構成) 。D の平方根の連分数表示を使って、漸化式で解けるとのこと。 例えば、14 の平方根の連分数表示は
ペル方程式
ペル方程式 次の形の不定方程式は、数学のいろいろなところで現れる。 この方程式は、ペル方程式 といわれる。 もっとも、ペル自身は、この方程式とは無関係らしいが、オイラーによって誤解された後、 そう呼ばれ続けているそうだ。 フェルマー（1601～1665）が出した次の問題（１６５７年）： Ｘ2－６１Ｙ2＝１ の自然数解を求めよ。 が、そもそもの発端である。 （ (1766319049，226153980) が解になる！） ペル方程式が必ず解を持つことは、ラグランジュ（１７６６年頃）により示されている。また、 解を能率よく計算する方法も、ブラウンカー、ウォリス（１６５７年）、オイラー（１７５３年）に より、既に見出されている。（具体例はこちらを参照） ペル方程式に関連して、基本事項を整理しておこう。 （１） は無理数である。 （２） 集合 （）＝{ ｘ＋ｙ | ｘ∈ 、ｙ∈ 、 は有理数全体
連分数 - Wikipedia
連分数（れんぶんすう、英: continued fraction）とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に単純連分数または正則連分数（英: regular continued fraction）ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形である。 ここで a0 は整数、それ以外の an は正の整数である。正則連分数は、最大公約数を求めるユークリッドの互除法から自然に生じるものであり、古くからペル方程式の解法にも利用された。 連分数を式で表す際には次のような書き方もある。 または x = [a0; a1, a2, a3] また、極限の概念により、分数を無限に連ねたものも考えられる。 二次無理数（整数係数二次方程式の根である無理数）の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。逆に、正則連分
グラフ理論 - Wikipedia
グラフ理論（グラフりろん、英: Graph theory）は、ノード（節点・頂点、点）の集合とエッジ（枝・辺、線）の集合で構成されるグラフに関する数学の理論である。 グラフ（データ構造）などの応用がある。 グラフによって、様々なものの関連を表すことができる。 6つの節点と7つの辺から成るグラフの一例 例えば、鉄道や路線バス等の路線図を考える際には、駅（節点）がどのように路線（辺）で結ばれているかが問題となる一方、線路が具体的にどのような曲線を描いているかは本質的な問題とならないことが多い。 したがって、路線図では駅間の距離や微妙な配置、路線の形状などがしばしば地理上の実際とは異なって描かれている。つまり、路線図の利用者にとっては、駅と駅の「つながり方」が主に重要な情報なのである。 このように、「つながり方」に着目して抽象化された「点とそれらをむすぶ線」の概念がグラフであり[1]、グラフがも
ユークリッドの互除法 - Wikipedia
英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン（Google翻訳）。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知|en|Euclidean algorithm|…}}をノートに追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針につい
パンデジタル数 - Wikipedia
パンデジタル数(パンデジタルすう、英: pandigital number)・汎位数は、自然数の内 n 進法において0から n − 1 までの全ての数字を少なくとも1つ使って表される数のことである。 概説[編集] 例えば十進法では0から9までの全ての数字を使った 276498604153 などがパンデジタル数に当たる。パンデジタル数は無数にあり、その内、十進法において最も小さいものは1023456789である。 十進法のパンデジタル数を1023456789から小さい順に列記すると 1023456789, 1023456798, 1023456879, 1023456897, 1023456978, 1023456987, 1023457689, …(A050278) n進法における最小のパンデジタル数は以下の式で表される。 それぞれの位取り記数法における最小のパンデジタル数は以下の通り。
書籍検索｜Ohmsha
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Non-Uniform Random Variate Generation
Non-Uniform Random Variate Generation (originally published with Springer-Verlag, New York, 1986) Luc Devroye School of Computer Science McGill University Preface to the Web Edition When I wrote this book in 1986, I had to argue long and hard with Springer Verlag to publish it. They printed a small number of copies, and never bothered with a second printing, even though, surprisingly, there
【インフォシーク】Infoseek ： 楽天が運営するポータルサイト
日頃より楽天のサービスをご利用いただきましてありがとうございます。 サービスをご利用いただいておりますところ大変申し訳ございませんが、現在、緊急メンテナンスを行わせていただいております。 お客様には、緊急のメンテナンスにより、ご迷惑をおかけしており、誠に申し訳ございません。 メンテナンスが終了次第、サービスを復旧いたしますので、 今しばらくお待ちいただけますよう、お願い申し上げます。
約数 - Wikipedia
この記事には参考文献や外部リンクの一覧が含まれていますが、脚注による参照が不十分であるため、情報源が依然不明確です。適切な位置に脚注を追加して、記事の信頼性向上にご協力ください。（2022年2月） 数学において整数 N の約数（やくすう、英: divisor）とは、N を割り切る整数またはそれらの集合のことである。割り切るかどうかということにおいて、符号は本質的な問題ではないため、N を正の整数（自然数）に、約数は正の数に限定して考えることも多い。自然数や整数の範囲でなく文字式や抽象代数学における整域などで「約数」と同様の意味を用いる場合は、「因数」（いんすう）、「因子」（いんし、英: factor）が使われることが多い。 整数 a が整数 N の約数であることを、記号 | を用いて a | N と表す。 約数の定義を式で表すと、「整数 a ≠ 0 が N の約数であるとは、ある整数 b
Dimensions 第1章 2次元
数学教育用の動画です。Jos Leys, Étienne Ghys, Aurélien Alvarezさん達が制作しました。字幕翻訳、ナレーションは東京大学の坪井俊先生です。お疲れ様でした。Dimensions:mylist/11674226日本語版公式サイト:http://faculty.ms.u-tokyo.ac.jp/users/dim_jp/解説:http://www.dimensions-math.org/Dim_CH1_JP.htmDimensions by Jos Leys - Étienne Ghys - Aurélien AlvarezCreative Commons(BY-NC-ND)http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.ja次:sm6511113【新作】Dimensionsの続編 CHAOSCHAO
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なぜ0で割ってはいけないのか？ リンゴの分配から体の公理まで
