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積分するとなぜ面積が求まる?
因果が逆とか面積を求めるのが定積分とか言われてますが、それだけではないですよ。 確かに多変数関数で... 因果が逆とか面積を求めるのが定積分とか言われてますが、それだけではないですよ。 確かに多変数関数では1変数関数と同じ意味での原始関数を求めることが出来ないので、区分求積法を持ち出して、関数によってつくられる体積(面積)によって定積分を定義してしまうのです。 しかし1変数関数に限れば、話はそれだけでは終わりません。 グラフで囲まれる面積は区分求積法によって定義され、(ある場合には)実際に求めることも出来ます。 さらに別の方向から見れば、面積は原始関数を用いても計算することが出来るのです。 区分求積法で求めた面積と、(微分の逆演算である)積分から求めた面積が一致すること、これは真に驚くべき事実です。 このことを『積分の基本定理』と呼びます。非常に重要な定理です。 では、面積が原始関数によって求められることを証明してみましょう。 いま区間[a,b]で連続でf(x)≧0なる関数を用いて、y=f(x