テイラー展開の幾何学的意味について

テイラー展開についてどなたかご指導ください。 ある関数f(x)を多項式に当てはめてその係数を解析的に求める証明は理解できるのですが、 テイラー展開の幾何学的意味がよくわかりません。質問は以下のとおりです。 x軸上で、ある点aからh進んだ点をxとして、aからxの区間を考えます。 f(x)は以下のようにaにおける勾配f'(a)を使って以下のように近似できるのは理解できます。 f(x) = f(a) + f'(a)*h ・・・（１） 次に、f'(a)を以下のようにf'(a)とf'(x)の平均に置き換えれば、近似精度がよくなるのも理解できます。 f'(a) → (f'(a)+f'(x))/2 ・・・（２） 式（２）のf'(x)を以下のように近似して f'(x) = f'(a) + f''(a)*h ・・・（３） 式（２）を書き直すと f'(a) → f'(a) + f''(a)*h/2 ・・・（