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積空間の(パラ)コンパクト性について
はじめに位相空間$X, Y$に対して直積$X \times Y$が定まります.このとき$X$や$Y$の位相的性質を直積も... はじめに位相空間$X, Y$に対して直積$X \times Y$が定まります.このとき$X$や$Y$の位相的性質を直積も持つかどうかは興味ある問題です.この記事では(パラ)コンパクト性を取り上げて,この問題に簡単に触れてみます. まず,パラコンパクトの定義を復習しておきます. $X$を位相空間とし,$\mathcal{A}, \mathcal{B} \subset \mathcal{P}(X)$をその部分集合族とする. 任意の$x \in X$に対して$x$の開近傍$U \subset X$であって $$ \{A \in \mathcal{A}\ |\ U \cap A \neq \varnothing\}$$ が有限集合となるものが存在するとき,$\mathcal{A}$は局所有限であるという.任意の$A \in \mathcal{A}$に対して$B \in \mathcal{B}$であ