扇形をすべらせた時の軌跡、面積 - OKWAVE

扇型の半径をrとし直線Lの方向にX軸をとり、扇型の中心Pの出発点の位置を原点O(0,0)にとると、扇の中心P(x,y)の軌跡は、点A(r,0)を中心に原点O(0,0)から半径rで1/4回転して点B(r,r)まで移動し、そこから点C(r+πr/2,rまでX軸に平行に移動します、そこから回転の中心Q(r+πr/2,0)を中心として半径rの円弧を描いて点D(2r+πr/2,0)まで1/4円弧を描いて直線L(X軸)上に戻ります。後は、以上の繰り返しの軌跡になります。 点Pの軌跡とX軸（直線L）で囲まれる図形（OBCD）は対称性から 両側の1/4円（半径r）と中央部の長方形部分（たてr,よこπr/2）で構成されるので、面積Sは S=(1/4)(πr^2)×2 + r×2πr/4＝πr^2 となり、扇形の4個分あわせた円の面積になりますね。