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微分方程式の初歩 - Mathpedia
本稿においては、関数解析の基礎(主に入門テキスト「測度と積分」、超関数とFourier変換、Sobolev空間... 本稿においては、関数解析の基礎(主に入門テキスト「測度と積分」、超関数とFourier変換、Sobolev空間、Hilbert空間上の作用素論、ベクトル解析など)の内容を用いて、特に物理学の初歩的なところで現れる微分方程式の定性的側面について、数学的に厳密な裏付けを与えることを念頭に置き、微分方程式の初歩について論じる。(偏微分方程式論のより詳しい理論展開についてはHölder空間の基本事項やこれに関連する記事を参照されたい。) 具体的に扱う内容について述べる。まず第 $1$ 節では常微分方程式の初期値問題の解の一意性と解の初期値に対する滑らかさについて論じる。(なお、第 $1$ 節の内容は第 $2$ 節以降を読むのに特に必要ではない。) 第 $2$ 節では、第 $3$ 節以降で境界条件を扱う上で重要な役割を演じるGaussの発散定理(Greenの積分公式)のSobolev空間版の証明を行