熱伝導方程式の導出 - Qiita

今回は熱伝導方程式 $$ \frac{K_0}{c \rho} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{Q}{c \rho} = \frac{\partial u}{\partial t} $$ を導出してみます．これは，固体の物質の中を熱がどのように伝わるかを微分方程式で表したものです． この微分方程式を解くと， 物質のどこの温度が高くて，どこの温度が低いのか 物質中をどのように温度が伝わっていくか を表した関数$u(x, t)$を得られます． しかし，解くところまでやると大変なので，今回は方程式を導出するところまでにしておきます． ここでは熱量と熱エネルギーを同じ意味の言葉として使っていきますが，細かいところに関しては大目に見てください． ではさっそく熱伝導方程式を導出してみましょう． 熱伝導方程式はよく時刻$t$，3次元空間座標$(x, y