ヘッセ行列で関数の極値判定ができる理由 - Qiita

問題設定 $\mathbb{R}^2$の上で定義される2変数関数$f(x, y)$について，極値の候補となる点$(a, b)$が見つかったとする． すなわち $\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \frac{\partial f}{\partial y}(a, b) = 0$ のとき点$(a, b)$が極値であるか鞍点であるかを判定したい． 解法 この問題を解く方法は大きく分けて3段階で表される． 関数$f(x, y)$を$(a, b)$の周辺で2次関数で近似する 2次近似したものを適当な場所で水平に輪切りにする 断面が楕円だったら$(a, b)$は極値，断面が双曲線なら$(a, b)$は鞍点だと判定できる 1. fの二次近似を求める テイラー展開を使えば$f$の2次近似はすぐに導くことができる． 微小量$h, k \in \mathbb{R}$につ