排中律の反例 - Skinerrian's blog

直観主義論理では排中律（P v not-P）が成り立たないと言われる。しかし、これは排中律の否定が成り立つということではない。排中律の否定を仮定すると直観主義論理の範囲でも矛盾が導かれるので、排中律の二重否定が成立する*1。 そういうわけで、排中律が成り立たないからといって、それを端的に否定することはできない。この文脈でしばしば言及されるのは、排中律への「弱い反例」といわれるものだ。例えば、「aのb乗が有理数となるような、無理数a, bは存在するか」という問題を解こうとして、√2の√2乗は有理数か有理数でないかのどちらかである、という形で排中律が使われる。直観主義者にとっては選言文を主張できるのは、どちらか一方の選言肢を証明したときに限られるので、仮定ではなしにこの選言を主張することは許されないのに、である。とはいえ、このことは「√2の√2乗は有理数か有理数でないかのどちらかである」の否定