対偶証明法と背理法

《解説》 **** １ 対偶証明法 **** ■ 条件ｐを満たすものの全体を集合Ｐで，条件ｑを満たすもの全体を集合Ｑで表わすとき，命題「ｐ→ｑ」は，Ｐ⊂Ｑに対応します． ｐ，ｑ あるいは ｐ（ｘ），ｑ（ｘ）が条件であるとき，この条件が成り立つかどうかはｘの値しだいです．例 条件ｘ＞１をｐ（ｘ）で表わすとき，ｘ＝２ならばｐ（ｘ）は真ですが，ｘ＝０ならばｐ（ｘ）は偽です． このように，条件については（どんなｘについても成り立つ［あるいは成り立たない］ような特別なものを除いて），それ自体の真偽を問うことはまれです－－条件は命題と異なり，真偽が定まるとは限りません．条件を満たすものの集合を考えるだけです． これに対して，「すべてのｘにたいして，ｐ（ｘ）が成り立つ」「あるｘについて，ｐ（ｘ）が成り立つ」という主張・判断は，正しいか間違っているかが定まる命題となります．一般に，条件ｐ（ｘ）に対して，「