Look, Ma, No Matrices!
Steven De Keninck Putting PGA ($\mathbb R_{3,0,1}$) to the test! Since the 2019 SIGGRAPH course [1], Geometric Algebra, and Euclidean PGA (plane-based or projective geometric algebra) in particular, has been gaining traction within the computer graphics and machine learning communities [2, 3, 4]. Despite its broad applicability, including for higher dimensional geometry and physics, its adoption i
TypeScriptの代数的部分型模型
本書ではTypeScriptの型と部分型関係がなす代数的構造を解説し、型についての強固かつ柔軟なメンタルモデルを構築します。 順序理論、集合論、束論、環論、そして圏論に至るまで、複数の数学理論を利用して多角的にモデルを構築することで、型の直感的な理解を深め、型の互換性に対する自然な推論を可能となるように解説した新しい試みの本です。
圏論 | 壱大整域
このページについて ※特に断らない限り、圏はlocally smallであると仮定しています。 ※上から順に読むことを想定しています。 ※定義が書いてない言葉があったりするので、その場合はnLabを見るなりしてください。 ※選択公理は特に断らず使います。 意見・質問・感想・誤字や数学的間違いの指摘などはTwitterまでお願いします。 ★お知らせ★ このページのPDFが紙の本になりました。↓のリンクから購入することができます。 全ての概念はKan拡張である: 第0章～第2章(Cauchy完備化は除く) 全ての概念はKan拡張であるII～豊穣圏論～: 第3章 2-category、豊穣圏 ■PDFの量が多すぎると思うので第0章～Kan拡張のPDF(kan_extension.pdf)までの内容を短くまとめたPDFを作りました⇒可能な限り最短でKan 拡張に到達する (2023-09-06更新
Steve Awodey の Category Theory を読む - 俺の Colimit を越えてゆけ
はじめに 前回の記事では、圏論を学習する上では数学の基礎から学習する必要があると述べました。 一方で、そんなに時間をかけていられない、かけられないといった理由から数学の素養が十分に身についていない状態で Category Theory (Oxford Logic Guides) を読み始めたいという人もいるでしょう。そのような人向けにこの本の副読本のような内容の記事を書いていこうと思います。 この本は十分にわかりやすい本なので解説の部分で内容を追加するようなことはしません。書籍の中で証明はされているけれども十分に明らかとは言えない箇所や、残りは読者に任せるとして省略されている箇所を中心に証明を追加していこうと思います。特に Chapter 1 では数学書を読む場合に自分で手を動かして補いながら読まないといけない箇所がどういう箇所なのか初学者にもわかるように書いていこうと思います。 この記事
前野昌弘のホームページ
琉球大学理学部物質地球科学科准教授前野昌弘のホームページ(wikiバージョン)に、５秒後に自動的に移動します。 移動しない場合は↑のリンクをクリックしてください。
5次方程式の解の公式をガチで求めよう - ねくノート
note 版：https://note.com/keyneqq/n/na7d49cd0d841 第1章 2次・3次・4次方程式の解の公式 ●第1.1節 2次方程式●みなさんは2次方程式の解の公式を覚えているでしょうか？ 高校数学で登場する2次方程式の解の公式とは，2次方程式 を満たす数 x を方程式の係数のみで表現したものです．具体的には という形をしていました． このような解の公式は，2次に限らず，3次や4次に対してもすでに与えられています．今回の記事の本題は5次方程式ですが，まずは3,4次方程式の解の公式を結果だけ見ておきます． ●第1.2節 3次方程式の解の公式●3次方程式 の3つの解は以下のように与えられます． ここで p , q , ω はです． ●第1.3節 4次方程式の解の公式● 次に4次方程式 の解はどうなるでしょうか． 実は求解の本質的な難しさは3次方程式とあまり変わりは
ホモグラフィ変換行列の導出方法についてまとめ - ひつじTips
ちょっとホモグラフィ変換について調べたので，そのまとめ（という名のいろんなページの情報集約） ホモグラフィ変換とは ホモグラフィ変換行列 の導出 方針 式の展開 実装例 OpenCV Unity 参考 ホモグラフィ変換とは 平面から平面へ写像する変換，ぐらいの理解．直感的には以下のサイトの下の方のデモアプリがわかりやすい． shogo82148.github.io アフィン変換は，平行移動と回転・拡縮（スケール）・せん断（スキュー）の組み合わせまで．ホモグラフィ変換はそれを拡張し，台形のような変換まで可能． 結局は写像なので，以下のような同次変換で表すことができる． ただし， は変換後の点， は変換前の点とする． ホモグラフィ変換行列 の導出 方針 ホモグラフィ変換行列を一般的に考えると，点の変換（ ）は以下のように表せる． ここで，を定数倍した，（は定数）での変換を考えると，結局, ,
全ての概念はKan拡張である、とは何か - algebraic dialy | 壱大整域
なにかあったらすぐtwitterに書いてしまうのであまり更新しません [an error occurred while processing this directive] 「全ての概念はKan拡張である」この言葉はそれなりに有名になったと思いますが、これがどういう意味なのか、私なりの見解をここに書いておきたいと思います。 まず「すべての概念はカン拡張である(all concepts are Kan extensions)」というのは圏論の教科書『圏論の基礎(Categories for the Working Mathematician)』(以下、この本をCWMと呼ぶ)に書いてある言葉です。CWMの前書き(初版への序)には以下のように書いてあります。 圏論の基本概念が終わりの二章にまとめられている．たとえば極限の，より差し迫って必要となる性質，特にフィルター極限の性質，「エンド」の計算，
Encyclopedia of Mathematics
Important Notification Move of The Encyclopedia of Mathematics from Springer Verlag to EMS Press The Encyclopedia of Mathematics (EoM) has moved from Springer Verlag to EMS Press, the Berlin-based mathematics publisher, owned by the European Mathematical Society. Therefore, the software of this server was updated - see the Special:Version for details. In case you encounter any problems with the ne
General Theory of Music by Icosahedron 1: A bridge between "artificial" scales and "natural" scales, Duality between chromatic scale and Pythagorean chain, and Golden Major Minor Self-Duality
Relations among various musical concepts are investigated through a new concept, musical icosahedron that is the regular icosahedron each of whose vertices has one of 12 tones. First, we found that there exist four musical icosahedra that characterize the topology of the chromatic scale and one of the whole tone scales, and have the hexagon-icosahedron symmetry (an operation of raising all the ton
実無限と可能無限によるカントールの対角線論法の考察
公開日 2015/6/26 Koji Sugiyama 対角線論法とは、実数の集合が数えることのできない集合であることを証明する方法です。 本記事では、実無限と可能無限でカントールの対角線論法を考察します。 実無限は変化しない無限です。それは最初から完成しています。一方、可能無限は変化する無限です。それは決して完成しません。現代数学にとって、実無限は公理です。そのため「実無限は存在しない」という主張は同意を得られません。そこで、本記事は数学を実無限数学と可能無限数学に分離します。 n個の自然数の集合を有限集合 と表現します。そして、 n 桁の小数の有限集合を とします。小数は二進法で表現します。その集合の要素の個数は2nです。したがって、0以上1未満の小数の有限集合を次の表で表現できます。 その表の行数は2nです。 この表に対角線論法を適用すると、自然数の有限集合と小数の有限集合は一対
積分定数とは何だったのか - tsujimotterのノートブック
数学ガール「ポアンカレ予想」を読んでいて（あまり本題に関係なく）感動したのが、不定積分 についてです。 の不定積分は、原始関数 を用いて以下のように表せます。 ここで、 は積分定数です。 高校の時からずっと機械的に（もしくはおまじない的に） 「 は積分定数である」 と書いてきたわけですが、この積分定数とは一体何か、というのが今回の主題です。 考えを進めていったら、昨日ブログで書いたド・ラームコホモロジーも出てきてびっくり。よかったら最後まで御覧ください。 昨日の記事： tsujimotter.hatenablog.com 線形微分方程式の解空間 まず、元の不定積分は、微分を使って以下のように書き換えることができます。 「これは微分方程式である」というのが、最も重要な視点の変換です。そういえば、これを微分方程式とみて考えたことは今までの人生の中で一度もありませんでした。冒頭の数学ガールを読ん
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ユーザインタフェースのための線形等式・不等式制約解消系
日本統計学会創立75周年記念出版『21世紀の統計科学』(全3巻) 増補HP版 (2012年1月)