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圏論の入門書籍・入門資料まとめ - 俺の Colimit を越えてゆけ
はじめに 圏論が数学のみならず幅広い自然科学の分野で利用されるに従って、これから専門的に圏論を学習したいという人がますます増えてくると予想されます。 また Haskell 等の関数型言語を勉強する中で、圏論について専門的に勉強するまではいかないけどどのような学問なのか知っておきたい、という人もいるでしょう。 以前は圏論について知ろうと思うと初見殺しとして有名な 圏論の基礎 や英語の専門書しか利用できなかったのですが、最近では圏論について日本語で読める書籍が揃ってきました。 また、教科書的なものに限らず読み物的な書籍も幾つか出版されています。 現状でも圏論について書かれた書籍はたくさんあると思います。また、ネット上にもたくさんの圏論に関する解説ブログや資料があります。それらを全て読んで紹介することは不可能なので、ここでは以下のような基準 (必ずしも厳密ではない) を設けた上で、私の独断で入門
可愛い圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
対象の集まり、射の集まりが集合となるような圏は小さい圏（small category）と呼びます。ここでは、小さな圏のなかでも特に、対象集合や射集合が身近なモノであるような圏を可愛い圏として紹介します。 内容： やせた圏 直積、直和、始対象、終対象 モノイド積とモノイド閉構造 もうひとつのモノイド閉圏 可愛い豊饒圏 やせた圏 Cが圏だとして、次の条件を満たすときやせた圏（thin category）といいます。 任意の対象A, Bに対して、ホムセットC(A, B) が空集合か単元集合。 Cがやせた圏のとき、関係 A ≦ B を次のように定義します。 A ≦ B ⇔ C(A, B) が空ではない Cはやせているので、「空ではない」は「単元集合である」でも同じです。次のことはすぐにわかります。 任意の対象Aについて、A ≦ A 任意の対象A, B, Cについて、A ≦ B かつ B ≦ C な
Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 7 - 俺の Colimit を越えてゆけ
Steve Awodey の Category Theory を読む シリーズトップ 7.5 Examples of natural transformations Exercise 9 7.6 Exponentials of categories Proposition 7.13 7.8 Monoidal categories Exercise 18 7.9 Equivalence of categories Proposition 7.26 7.10 Examples of equivalence Proposition 7.28 Example 7.29 Lemma 7.33 参考書籍 7.5 Examples of natural transformations Exercise 9 任意の に対して は と表すことができます。 同様に任意の に対して は と表されます。 任意の集
圏論学習ソフト FQL++ 入門 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
「関手データモデル／圏論データベース： その後の発展と現状 (2016)」 にて： FQL IDEがサポートする4つの言語のなかで、位置付けがハッキリしないカワイソウなFQL++ですが、「圏論の学習にはとても有用」という特徴があります。これだけを切り出して圏論学習ツールにして欲しいくらいです。FQL++に関しては、いずれ別な記事で語りたいと思っています。 FQL++について語ります。2013年の記事「圏と関手をできるだけ簡単に書き下す方法」の内容を、FQL++で書いてみます。 内容： FQL IDEのインストールと実行 圏を記述してみる FQL++の構文 無限圏の扱い 関手の記述 FQL++と圏論 FQL IDEのインストールと実行 FQL IDEは、http://categoricaldata.net/fql.html からダウンロードできます。Javaのjarファイルfql.jarと、
圏論 | 壱大整域
このページについて ※特に断らない限り、圏はlocally smallであると仮定しています。 ※上から順に読むことを想定しています。 ※定義が書いてない言葉があったりするので、その場合はnLabを見るなりしてください。 ※選択公理は特に断らず使います。 意見・質問・感想・誤字や数学的間違いの指摘などはTwitterで直接リプやDMするか、マシュマロで送ってください。 ★お知らせ★ このページのPDFが紙の本になりました。↓のリンクから購入することができます。 全ての概念はKan拡張である: 第0章～第2章(Cauchy完備化は除く) 全ての概念はKan拡張であるII～豊穣圏論～: 第3章 2-category、豊穣圏 ■PDFの量が多すぎると思うので第0章～Kan拡張のPDF(kan_extension.pdf)までの内容を短くまとめたPDFを作りました⇒可能な限り最短でKan 拡張に到
Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 4 - 俺の Colimit を越えてゆけ
Steve Awodey の Category Theory を読む シリーズトップ 4.1 Groups in a category Corollary 4.6 4.2 The category of groups is an equivalence relation Corollary 4.11 Cokernels are special coequalizers 4.3 Groups as categories composition of the congruence category is well-defined is a congruence Theorem 4.13 4.4 Finitely presented categories smallest congruence 参考書籍 4.1 Groups in a category Corollary 4.6 任意の が a
Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 2 - 俺の Colimit を越えてゆけ
Steve Awodey の Category Theory を読む シリーズトップ 2.1 Epis and monos Example 2.4 a function is epic iff surjective in any epi into a projective object splits any retract of a projective object is projective 2.3 Generalized elements ultrafilter に関する lemma Example 2.12 2.5 Examples of products 3 が圏であること が functor であること が product であること product of posets constructed in 2.6 Categories with products is a funct
Steve Awodey の Category Theory を読む : Chapter 1 - 俺の Colimit を越えてゆけ
Steve Awodey の Category Theory を読む シリーズトップ はじめに 1.2 Functions of sets 1.4 Examples of categories 圏 Definition 1.2 poset category が poset であること Functor は monotone function monotone function は Functor an example from topology specialization は preorder が 空間の場合 が 空間の場合 discrete category は poset 1.5 Isomorphisms inverses are unique において が closed であること monoid homomorphism が inverse を保存すること。 Cayley の定理 C
Steve Awodey の Category Theory を読む - 俺の Colimit を越えてゆけ
はじめに 前回の記事では、圏論を学習する上では数学の基礎から学習する必要があると述べました。 一方で、そんなに時間をかけていられない、かけられないといった理由から数学の素養が十分に身についていない状態で Category Theory (Oxford Logic Guides) を読み始めたいという人もいるでしょう。そのような人向けにこの本の副読本のような内容の記事を書いていこうと思います。 この本は十分にわかりやすい本なので解説の部分で内容を追加するようなことはしません。書籍の中で証明はされているけれども十分に明らかとは言えない箇所や、残りは読者に任せるとして省略されている箇所を中心に証明を追加していこうと思います。特に Chapter 1 では数学書を読む場合に自分で手を動かして補いながら読まないといけない箇所がどういう箇所なのか初学者にもわかるように書いていこうと思います。 この記事
From mathematics to map-reduce
There's more mathematics to programming than meets the eye. This post will highlight one such connection that explains the link between map-reduce and category theory. I will then conclude with some wild speculation about what this might imply for future programming paradigms. This post assumes that you already know Haskell and explains the mathematics behind the map-reduce using Haskell concepts
絵算のススメ 2015 年末版 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2013年に「絵算したい人のためにオススメする3つのストリング図解説 （とオマケ）」という記事を書きました。絵算（お絵描き計算、pictorial/graphical/diagrammatic calculation）は、圏論の理解や計算を、図式を使って行う方法です。使用される図式をストリング図（string diagram）と呼びます。 最近、ストリング図の良い解説を見つけました。ダニエル・マースデン（Daniel Marsden）の次の論文です。 Title: Category Theory Using String Diagrams Author: Daniel Marsden URL: http://arxiv.org/abs/1401.7220 Pages: 60p. 2014年発表なので、以前の記事のときには存在してなかったものです。この論文を紹介しながら、絵算に関する“よしな
Resources for Categories in CS
Books Introductory Texts Category Theory by Steve Awodey An Introduction to Category Theory by Harold Simmons Category Theory for Scientists by David Spivak Categories and Computer Science by R. F. C. Walters Basic Category Theory for Computer Scientists by Benjamin C. Pierce Older Online Version: A Taste of Category Theory for Computer Scientists by Benjamin C. Pierce Categorical Logic Introducti
Oregon Programming Languages Summer School
Oregon Programming Languages Summer School — July 16-28, 2012 Logic, Languages, Compilation, and Verification Speakers Organizers Curriculum Schedule Participants The program consists of 80 minute lectures presented by internationally recognized leaders in programming languages and formal reasoning research. Technical Lectures Logical relations — Amal Ahmed Lecture 1 part 1 part 2 part 3 Lecture 2
Monads Made Difficult
Monads Made Difficult Caveat: This is not a monad tutorial, you should not read this to understand monads initially. If you aren’t already comfortable with monads and have used them in production code, please don’t read this. It will not impart any intution. This is a short, fast and analogy-free introduction to Haskell monads derived from a categorical perspective. This assumes you are familiar w
Category Theory for Programmers: The Preface
Category Theory for Programmers: The Preface Posted by Bartosz Milewski under C++, Category Theory, Functional Programming, Haskell, Programming [184] Comments Table of Contents Part One Category: The Essence of Composition Types and Functions Categories Great and Small Kleisli Categories Products and Coproducts Simple Algebraic Data Types Functors Functoriality Function Types Natural Transformati
Categories for the Working Haskeller | SkillsCast
8th October 2014 in London There are 7 other SkillsCasts available from Haskell eXchange 2014 Please log in to watch this conference skillscast. In this talk, I hope to explain a little bit about how categories can help the working Haskeller. I'll focus on two aspects: categories as an organising principle, helping us to manage generic libraries; and categories as a reasoning principle, helping us
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