ヒュームの原理 - Wikipedia
ヒュームの原理（Hume's Principle、HPと略称される）とは、数Fsと数Gsの間に一対一対応（全単射）があるとき、FsとGsは等しいとする原理。ジョージ・ブーロス(George Boolos)によって命名された。ヒュームの原理は二階述語論理の考え方に沿って定式化できる。 ヒュームの原理はゴットロープ・フレーゲの数学の哲学において中心的役割を果たしている。フレーゲによれば、この原理およびそれに適合して定義された算術概念をもとにして、今日では二階算術(second-order arithmetic)と呼ばれているもののすべての公理が論理的必然として導かれることが証明される。このことの帰結がフレーゲの定理の名で知られるものであり、新論理主義の名で知られる数学の哲学を基礎づけている。 ヒュームの原理は、フレーゲの『算術の基礎』において、デイヴィッド・ヒュームの『人間本性論』第1巻第3部
ゴットロープ・フレーゲ - Wikipedia
フリードリヒ・ルートヴィヒ・ゴットロープ・フレーゲ（Friedrich Ludwig Gottlob Frege[2], 1848年11月8日 - 1925年7月26日）は、ドイツの哲学者、論理学者、数学者。現代の数理論理学、分析哲学の祖とされる。 バルト海に面したドイツの港町ヴィスマールに生まれる。母アウグステ・ビアロブロツキーはポーランド系。イェーナ大学で学び、その後ゲッティンゲン大学に移り1873年に博士号を取得。その後イェーナに戻り、1896年から数学教授。1925年死去。 フレーゲは、古代ギリシア（ギリシア哲学）のアリストテレス以来の伝統的論理学の革命を遂行し、数学の哲学である「論理主義」 を提唱した[3]。革命的な『概念記法』(Begriffsschrift) は1879年に出版され、アリストテレス以来2,000年変わらずに続いていた伝統論理学を一掃して論理学の新時代を切り開い
チャールズ・サンダース・パース - Wikipedia
チャールズ・サンダース・パース[注釈 1]（英: Charles Sanders Peirce、1839年9月10日 - 1914年4月19日[1]）は、アメリカ合衆国の哲学者、論理学者、数学者、科学者であり、プラグマティズムの創始者として知られる。 マサチューセッツ州ケンブリッジ生まれ。パースは化学者としての教育を受け、米国沿岸測量局に約30年間、科学者として雇われていた。「アメリカ合衆国の哲学者たちの中で最も独創的かつ多才であり、そしてアメリカのもっとも偉大な論理学者」ともいわれる[2]。存命中はおおむね無視され続け、第二次世界大戦後まで二次文献はわずかしかなかった。莫大な遺稿の全ては今も公表されていない。パースは自分をまず論理学者とみなし、さらに論理学を記号論 (semiotics) の一分野とみなした。 生涯[編集] 清教徒の移民であったジョン・パースの子孫であり、当時アメリカ最大
エルブランの定理 - Wikipedia
エルブランの定理（英: Herbrand's theorem）は1930年にジャック・エルブランが発表した数理論理学上の基本定理である [1]。 エルブランの定理は様々な表現方法があるが、単純には以下のように表現できる。 を節の有限集合とするとき、以下の2つは同値である。 が充足不能 から得られる基礎例（エルブラン基底）の有限集合で充足不能なものが存在 エルブランの定理は一階述語論理における任意の恒真な論理式の証明が有限回の機械的な操作で終わることを保証し、ほとんどの自動定理証明の理論的な基盤になっている。チューリングマシンの停止性問題と同様、一般的な述語論理式が証明可能かどうかを求めるアルゴリズムは存在しないが、エルブランの定理では一階述語論理を命題論理と結び付けることで、一階述語論理での証明可能性についての部分的な回答を与えている。 なお、エルブランの本来の証明は任意の一階述語論理式を
圏論入門としてのホモロジー - 再帰の反復blog
圏論への入門の仕方 ホモロジー コホモロジー 関数のつながりにくさと(コ)ホモロジー 完全系列と圏論的視点 目次 圏論への入門の仕方 ホモロジー 付記:ホモトピーとホモロジーの違い コホモロジー 関数のつながりにくさと(コ)ホモロジー 完全系列と圏論的視点 制約としての完全系列 付記:加群のホモロジーとTor 圏論への入門の仕方 圏論を学ぶきっかけとしては、だいたい 計算機科学、論理学から ホモロジー、代数幾何から の二つがあって、一見すると計算機科学、ロジックの方から入った方が(数学の前提知識をあまり必要としないこともあって)易しいように見える。 でも現実には往々にして、わざわざ圏論という概念を導入する動機やメリットが見えてこないまま色々な言葉の説明がひたすら続いて挫折することになる。高校あたりで「三角関数とか対数とか何の意味があるんだ」「こんなこと何の役に立つんだ」とか言いたくなるのと
論理とカリー・ハワード対応について書いたこと一覧とメモ - 再帰の反復blog
「直観主義論理の「自然さ」(1) 自然演繹」 直観主義論理の自然演繹では導入則と除去則とが相補的な関係になっている。 「直観主義論理の「自然さ」(2) シーケント計算 」 直観主義論理の自然演繹体系を変形すると直観主義のシーケント計算の体系が得られる。 「直観主義論理の「自然さ」(3)古典論理のシーケント計算と自然演繹」 直観主義論理の演繹体系に規則を追加して結論に複数の論理式を置けるようにすると古典論理の体系になる。 「直観主義論理のカリー・ハワード対応」 直観主義論理の自然演繹と型付きラムダ計算との対応関係の説明。 「call/ccと古典論理のカリー・ハワード対応」 ラベル付きブロック構文とcall/ccの説明。型付きラムダ計算にcall/ccを追加したものは、直観主義論理+(¬A→A)→A = 古典論理に対応する。 「古典論理のカリー・ハワード対応のためのラムダ計算」 λμ計算(の変
数学を教える人が読んでおきたい論理の本 - hiroyukikojima’s blog
ぼくは、以前から、論理とゲーム理論とをクロスオーバーさせた本を書きたい、というテーマを持っており、それは拙著『数学的推論が世界を変える〜金融・ゲーム・コンピューター』NHKブックスで果たすことができた。 この本を書くために、今まで、けっこうな冊数の数理論理学の教科書を読んできた。その中でめぐりあったのが、ゲンツェンの自然演繹と呼ばれる推論規則のセットであった。推論規則というのは、数学の証明で用いられる推論をできるだけ少ない数でセットにしたもので、おおわくではヒルベルトの体系、ゲンツェンのシークエント計算、ゲンツェンの自然演繹、というのがあって、それぞれの演繹能力は同じだけど、体系自体は異なるので、何をしたいかによって有利不利(向き不向き)がある。この３つの中で、普通の数学の証明で利用されている推論の方法は自然演繹が最も近いものである。 ぼくは自然演繹の体系を、鹿島亮『数理論理学』朝倉書店で
call/ccと古典論理のカリー・ハワード対応 - 再帰の反復blog
「直観主義論理のカリー・ハワード対応」の続き。 call/ccと継続 call/ccというのは、gotoを強力にしたものだと思っておけば良い。ただしScheme以外のプログラミング言語では、あまり見かけない機能。 例えばブロック構造から抜け出すための命令がある言語を考える。どのブロックから抜け出すかはラベルで指定する。またラベルはギリシャ文字で表すことにする。とりあえず次のような感じになるだろう。jumpの部分を実行するとブロックから抜け出す。 :α{ ... ... jump α; ... // ここは実行されない }でも、ブロック自体が値を持っている(値を返す)ようにした方が汎用的になる。例えば、次のプログラムはflagが真ならxに1が代入され、偽なら2が代入される。 x = :α{ ... ... if (flag) { jump α 1; } ... 2; }値を返すにしても返さな
新著の目次＋様相論理のお勧め本 - hiroyukikojima’s blog
今週の後半から、新著『数学的推論が世界を変える〜金融・ゲーム・コンピューター』NHK出版新書が書店に並ぶはずなので、今日は、先んじて目次を紹介しようと思う。んで、おまけとして、前回(お勧めの数理論理の本を２冊＋新刊の予告 - hiroyukikojimaの日記)に引き続いて、数理論理学の本をもう一冊、お勧めする。 数学的推論が世界を変える 金融・ゲーム・コンピューター (NHK出版新書) 作者: 小島寛之出版社/メーカー: NHK出版発売日: 2012/12/10メディア: 新書購入: 48人 クリック: 1,233回この商品を含むブログ (26件) を見るこの本の目次立てと各章のアイテムを簡単に紹介すると、次のようになっている。 『数学的推論が世界を変える〜金融・ゲーム・コンピューター』の目次 まえがき −数学的推論で時代を見通す− 第１章 数学でマネーを稼ぐ人たち −ギャンブルからアル
オンラインで入手できる数理論理学・数学基礎論のテキスト
オンラインで入手できる数理論理学・数学基礎論のテキスト 数理論理学、数学基礎論の教科書的に使えるテキスト（講義ノート、サーヴェイ、モノグラフ等）のうち、オンラインで入手できるものを集めました。 入門的概説 論理一般 高階論理と型理論 直観主義論理 コンビネータとラムダ計算 時相論理および時制論理 様相論理 適切さの論理 自然言語の論理 空間論理 モデル理論 安定性理論 無限論理 計算可能性理論および再帰理論 集合論 pcf理論 記述集合論 実数の集合論 選択公理 強制法と内部モデル 連続体仮説 NF 証明論と構成的数学 順序数解析 算術の体系と不完全性 証明可能性論理 線形論理 構成的数学 代数的論理と圏論 ブール代数 普遍代数 量子論理 圏論 歴史 入門的概説 [▲] 加茂静夫，「数理論理学（命題論理と述語論理）」．[PDF] 嘉田勝，「数理論理学 講義ノート（2013年度版）」． St
IIJ Research Laboratory
ネットワークの計測と解析 インターネットの使われ方やネットワークの挙動を把握する事は、ネットワークを運用し、その技術開発を行う ために欠かせません。しかし、観測で得られるデータ量は膨大ですがノイズが多く、また、観測できるのは極めて限られた部分でしかありません。そこで、膨大なデータから意味のある情報を抽出したり、部分的な観測からより一般的な傾向を推測する事が必要となります。... インターネット基盤技術 速くて、安全で、信頼性が高く、使いやすく、など、インターネットサービスへの要求はますます高まっています。これらの要求に応えるために、インターネットの 基盤技術も日々進歩しています。いまやインターネットはつながるだけのサービスではなく、高度で複雑な機能を備えた社会基盤となりました。IIJ技術研究所は、インターネットの基盤として実現が期待される機能を提供するために、さまざまな技術課題に取り組んで
一階述語論理 - Wikipedia
一階述語論理（いっかいじゅつごろんり、英: first-order predicate logic）とは、個体の量化のみを許す述語論理 (predicate logic) である。述語論理とは、数理論理学における論理の数学的モデルの一つであり、命題論理を拡張したものである。個体の量化に加えて述語や関数の量化を許す述語論理を二階述語論理（英: second-order predicate logic）と呼び、さらなる一般化を加えた述語論理を高階述語論理（英: higher-order predicate logic）という。本項では主に一階述語論理について解説する。二階述語論理や高階述語論理についての詳細はそれぞれの記事を参照。 命題論理では文を構成する最も基本的な命題（原子命題）は命題記号と呼ぶ一つの記号によって表していた。それに対し、一階述語論理においては、最も基本的な命題は原子論理式と
YABUKI Taro’s Home Page | 2018/08/19 フィードのURLが変わりました。
不完全性定理のLisp, Mathematicaによる記述 Lisp code / Mathematica notebook プログラミング言語なんてどれも同じと思っている人は下の3つをJavaやC++で書いてみてほしい 不完全性定理についてのゲーデルの証明の一部 停止問題の解決不可能性についてのチューリングの証明 LISP式がエレガントであることを証明できないというチャイティンの証明 ライプニッツ「役に立たないパラドックスは無い」（チャイティン「知の限界」） ミンスキー「ゲーデルはLispを思いついておくべきだった。もし彼がLispを思いついていたならば彼の不完全性定理の証明はもっと簡単なものになっただろう」（ホフスタッター「メタマジック・ゲーム」） 次の2冊の本はLispといってもSchemeのようなオリジナル言語が使われている。ここではCommon LispとEmacs Lisp、M
書評（数理論理学）
教科書など 準備 数理論理学を習得するためには、その前に、数学の言葉を操り数学の考え方を駆使できるようになる必要があります。数理論理学は数学の一分野ですので、それについては数学の他の分野と変わることはありません。 幸い、数学の言葉と数学の考え方を学ぶことに特化して使える教科書が出版されています。目についたものを並べてみます。おそらく、他にもあるでしょう。 個人的に特に気にいっているもの 嘉田勝：論理と集合から始める数学の基礎，日本評論社, 2008. (版元による紹介) 鈴木登志雄：例題で学ぶ集合と論理, 森北出版, 2016. (版元による紹介) その他 渡辺治・北野晃朗・木村泰紀・谷口雅治：数学の言葉と論理, 朝倉書店, 2008. (版元による紹介) 中島匠一：集合・写像・論理—数学の基本を学ぶ—, 共立出版, 2012. (版元による紹介) 石川剛郎：論理・集合・数学語, 共立出版
演繹定理 - Wikipedia
演繹定理（えんえきていり、英: Deduction theorem）とは、数理論理学において、論理式 E から 論理式 F が演繹可能ならば、含意 E → F が証明可能である（すなわち、空集合から演繹可能）、というもの。記号的に表すと、 ならば、 である。 演繹定理は、以下のように任意個の有限な前提論理式群に一般化できる。 から が推論でき、最終的に となる。 演繹定理はメタ定理である。つまり、理論自身の定理ではないが、その理論における演繹的証明に使われる。 演繹メタ定理は、メタ定理の中でも最も重要である。論理体系のなかには、これを推論規則（"→" の導入規則）として採用したもの（自然演繹）もある。そうでない体系でも、公理群から演繹定理を証明することでその論理体系が完全であることを示すのが一般的である。ヒルベルト流の体系（英語版）で何かを証明する場合、演繹メタ定理なしでは証明が困難となる
「内容」と「形式」 - hiroyukikojima’s blog
パラモアがグラミーの映画音楽部門を逃したのは残念だった。Decodeはとてもいい曲だったんだけどな。嬉しいのは、新曲のプロモが最近公開された（“The Only Exception”ミュージックビデオ | PARAMOREオフィシャルブログ「PARAMORE official blog in Japan」Powered by Ameba）こと。これがまったまた、意味深な、良い映像作品に仕上がってて感激してしまった。ヘイリーちゃん七変化という感じですばらしい。 とかいって、今日書こうと思うのは、ぜんぜん別の話。はい、懲りもせず、ゲーデルです、ゲーデル。最近、実は次の本をほぼ読破したのだ。 数学基礎論入門 (基礎数学シリーズ) 作者: 前原昭二出版社/メーカー: 朝倉書店発売日: 2006/04/01メディア: 単行本（ソフトカバー）購入: 10人 クリック: 278回この商品を含むブログ (
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Combinator Birds
コンパクト性定理とTychonoffの定理 - Sokratesさんの備忘録ないし雑記帳
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数理論理学入門(Introduction to Mathematical Logic) 高崎金久（京都大学） 〜京都大学での全学共通科目講義に基づく〜