世界初のプログラマー、19世紀の伯爵夫人エイダ・ラブレス
1835年、20歳のエイダ・ラブレスの肖像画。母親譲りの数学的な厳密さと父親譲りの想像力を合わせもつ女性だった。（IAN DAGNALL COMPUTING/ALAMY） 1833年夏のとある月曜の夜、17歳のエイダ・バイロンは母アナベラとともに、英国の数学者チャールズ・バベッジの家を訪ねた。その12日前に上流社会の夜会でバベッジに会ったバイロン嬢は、彼が製作しているという機械の説明に心を奪われていた。 その機械は青銅と鋼鉄でできた手回し式の装置で、何層もの歯車と、ハンマー状の金属製のアームと、番号のついた数千個の円盤を使い、自動的に数式を解くことができた。バベッジが「階差機関（Difference Engine）」と呼ぶこの機械は未完成で、高さ80cmほどの小さな試作機しかできていなかったが、ガラガラと音を立てて回転し、難しい数式の答えをはじき出した。 バベッジは、階差機関が完成すれば、
超高速！多倍長整数の計算手法【前編：大きな数の四則計算を圧倒的な速度で！】 - Qiita
1. はじめに ～メインを読むための準備～ まず、大きな数の計算の話をする前に、少しコンピューターと計算回数について話しましょうか。 コンピューターは、現代ではソフトウェアやアプリケーションの開発に使われていますが、これには重要な背景があります。これは「計算がめっちゃ速いこと」です！人間なんかと比べたら、圧倒的な計算スピードを誇ります。 1-1. 人間の計算速度はどのくらい？ まず人間はどのくらいの速度で計算できるでしょうか？速い人も遅い人もいると思います。 例えば、$628 \times 463$ の計算を、今やってみましょう。10 秒以内で計算できたらかなり速い方でしょう。この計算では、次のように「単純計算」を合計 28 回もしていることになります。 9 回の 1 桁 × 1 桁の掛け算 6 回の 1 桁 × 1 桁の足し算 13 回の繰り上がり計算 もし $628 × 463$ が
超高速！多倍長整数の計算手法【後編：N! の計算から円周率 100 万桁の挑戦まで】 - Qiita
4-1. N! の高速な計算 $N! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times N$ を計算してみましょう。 $N!$ は場合の数を求める問題でよく出てきて、こんな感じのものが求まります。 $1, 2, ..., N$ が書かれたトランプのカードが 1 枚ずつあるとき、これを一列に並べる順番は何通りあるか？ 例えば、$N = 13$ の場合 $13! = 6,227,020,800$ 通り、のように計算できます。 また、$N!$ は二項係数 $_NC_K$ を求めるのにも使われます。 $N!$ が求まれば、$_NC_K = N! \div K! \div (N-K)!$ で掛け算・割り算するだけで計算できますね。 $N$ 個の区別できるボールから $K$ 個を選ぶ方法は何通りか？ これが $_NC_K$ になります。例えば、$N
虚数や複素数の存在に納得する、もう一つの説明 - OGATA Tetsuji の数学ブログ
数学ブログ、お久しぶりの記事です。 最近はプログラマ界隈でも数学の話題が多くなってきて嬉しいです。 ここ最近ネットウォッチしていると、複素数について初心者にその意義を語る記事やプレゼンテーションを多く見かけます。そこでされている説明は、有名な「オイラーの公式」を出して美しいと説きつつ計算の簡便化につながるという流れが多いように感じます。 確かにそれも大事なのですが、今回は複素数が数学にとって必要だと、私が数学を学んで感じたことを書こうと思います。 高等数学（大学以降の数学）の定理や内容に言及することがありますが、高校数学でだいたい分かる内容です。専門過程で高等数学を学んだ方は用語や議論が曖昧であるという印象をいだくかもしれませんが、わかりやすさを優先した結果だと思ってください。 虚数と複素数について 虚数（または虚数単位） $i$ とは2乗して$-1$になる数と定義します。 \[ i^2
掛け算順序問題派閥チャート
掛け算には順序があるよ (順序肯定派) ├― 先生がそう言ってるんだからそうなんだよ (権威派) ｜ └─ 教科書もそう書いてあるんだからそうなんだよ (教科書固執派) ｜ └─ 学習指導要領にもそう書いてあるよ (実は書いてない派) ｜ ├― 理解を深める、理解力を測るために必要なんだよ (教育論派) ｜ ├─ 根拠はあるよ (根拠教えて派) ｜ ｜ └─ 日本の数学の教育水準は高いよ (相関因果混同派) ｜ └─ 根拠は無いよ (論外派) ｜ └─ 逆に順序がないという証拠を見せろよ (悪魔の証明派) ｜ ├― ある一定の期間までは順序があるよ (期間限定派) ｜ ├─ 授業の終わりまでだよ (不正解否定派) ｜ ├─ 交換法則を教えるまでだよ (交換法則転向派) ｜ ├─ 小学生が終わるまでだよ (算数と数学は違うよ派) ｜
初音ミクの数式が解明 さらにいろんな「俺の嫁」が関数で描けることが判明
すまない。僕は数学の詳しいことはよく分からない。ただ、x軸とy軸っていう広大なフロンティアの上で、ファンタスティックな数式が僕らの「嫁」を描き出している……そのことだけは分かって、感動した。心に座標があれば、数式だけで……数式だけで僕らは嫁を思い描ける。それを教えてもらった気がして、胸が熱くなったんだ。 キミも興味があるなら、検索サービス「WolframAlpha」を訪れて、「graph Hatsune miku curve」と入力してみてほしい。そこにはある数式が現れるはずだ。長いツインテールをたたえた、僕らの天使ミクの数式が。 初音ミク、数式に変換されグラフに召喚される WolframAlphaは2009年に始まったWebサービスで、いうなれば“質問応答システム”だ。アルゴリズムや自然言語解析を駆使し、入力したキーワードに対する計算結果や事実情報といった「答え」を返してくる。そんなWo
数字が連続して並ぶ問題 - Active Galactic : 11次元と自然科学と拷問的日常
今年の東大数学が面白い。恐怖の数字連続問題だ。 次のような自然数Aが存在することを示せ。 Aは連続する３つの自然数の積 Aを10進法で表記したとき、1が連続して99回以上並ぶところがある 受験生は誘導つきだったようだけど、時間のあるはてなー諸氏には不要だろう。誘導に囚われないことで別解も見つかっている。 これをみて以下の問題を思い出した。 √2を1億桁まで10進法表示する。このときどの数字も6000万個以上連続して並ぶことはないことを示せ。 『ピーター・フランクルの中学生でも分かる大学生にも解けない数学問題集』が出典で、文字通り中学生にも問題文が理解できる良問だ。命題が正しいことも想像がつく。しかし、証明にはそれなりの模索が要求される。 あとは、この問題が面白い。 pを任意の素数、mを任意の自然数とする。このとき自然数nをうまく選べば、p^nを10進法で表したときその数字列に0が連続してm
5次以上の方程式が代数的に解けないことについて - 再帰の反復blog
まずは「5次以上」ではなく「2次以上」の話から始める。 なぜ2次以上の方程式は四則演算だけで解けないのか もちろん2次方程式の解の公式を知っていれば四則演算だけで解けないことは判るのだけど、ここでは「解と係数の関係」に注目する。 たとえば2次方程式の場合 となるので、 という関係がある。3次方程式では なので という関係がある。4次以上でも同様の関係が得られる。 また、方程式の最高次の係数で全体を割っておいても方程式の解は変わらないので、もしも解が求められるならだけを使って求めることができる(たとえば2次の公式はと書ける)。 解と係数の関係を見ると、係数には重要な特徴があることがわかる。それは、の順番を取り替えても係数は変化しない、ということ。 2次の場合の位置にを置いての位置にを置いてもは変化しない。3次の場合でも、をどのように置き換えてもは変化しない。4次以上の場合でも同様で、一般に方
Ｇの夢 ～ 解けない方程式の謎を解く
なぜ、５次方程式は代数的に解くことができないのか？ 現代科学を支える「群論」って何だろう？ 悲劇の天才が生んだ美しい数学理論を、物語仕立で分かりやすく解説します。
Treegonometry: Maths students have the solution for decorating the perfect Christmas tree - Archive - News archive - The University of Sheffield
If you've gone overboard while decorating the Christmas tree this year and it's more gaudy than great then maths students from the University of Sheffield may have the answer. Members of Sheffield University Maths Society (SUMS) have created a festive formula to ensure just the right ratio of lights, tinsel and baubles are used to give your Christmas tree the perfect look. Using their 'treegonomet
PDLで数値計算 - Articles Advent Calendar 2012 Casual
こんにちは、週末海でマンボウを獲っていたらラギアクルスに襲われた@hirataraです。今回はPerl Data Languageについて紹介します。 Perl Data LanguageとはMATLABやNumpy、Rなどと同様に、多次元配列を効率よく扱って数値計算を実現するためのライブラリです。cpanmで普通にインストールすれば使えますが、グラフを描画したり本格的な数値計算のライブラリであるGSLのバインディングを利用したりする場合はhomebrewでゴニョゴニョしたりする必要があるので、多少頑張って下さい。 基本的にはpdl関数でオブジェクトに変更してから使います。 use PDL; my $pdl = pdl [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]; print $pdl; 【実行結果】 [ [1 0 0] [0 1 0] [0 0 1] ] pdlが
100の職業でどんな数学を使うのか１枚の表にまとめてみた
前回の記事で「誰が、どんな数学を、どのように使っているか」の表がクリックしても大きくならない、見えない、見たい、なんとかしろ、という話があったので、それを。 Hal Saundersの書物When Are We Ever Gonna Have to Use This?にある 「100の職業人に聞きました、あなたが仕事で使う数学はどんなん？」をまとめた表をそのままスキャンして貼り付けるのもどうかと思ったので、これを元に、より多くの数学のスキル／知識を使う職業から順にソートして並べてみた。 Saundersは、職業人に使われている数学を60のトピックにまとめているが、これについても、より多くの職業で使われるものから順に並べた。 （クリックで拡大） 元のデータをgoogle spreadsheetにアップロードしました（2017.12.31） 元々この本は、教科書に頻出するあまりに非現実的な応用
誰もがどこかでつまずいた→小学校の算数から大学数学まで126の難所を16種類に分類した
数学嫌いはどこから生まれてくるのか？ よく聞かれる「役に立たないから」なる理由は、実のところ良くて後付け悪くて言い訳であって、その実態は、算数や数学につまずいて分からなくなった人たちが、イソップ寓話のキツネよろしく「あのブドウ（数学）は酸っぱい（役に立たない）」と言い広めているのである。 ならば撃つべきは〈算数・数学のつまずき〉である。 以下に示すのは、小学校の算数から大学基礎レベルの数学まで、「つまずいて分からなくなる」箇所を集めて１６のカテゴリーに分類したものである。 一度もつまずかず専門レベルまで一気に駆け上がることのできた一握りの天才を除けば、数学が得意な人も不得意な人もみなどこかでつまずいたであろう、さまざまな算数・数学の難所が挙げられている。 この分類が示そうとしていることのひとつは、同じ〈根っこ〉をもったつまずきが、小・中・高・大の各レベルで繰り返し出現することである。 たと
おねえさんのコンピュータを作ってみた
まだやってたのか、と言われてしまいそうですが、おねえさんが計算にかけた時間と比べればまだまだです。 『フカシギの数え方』 おねえさんといっしょ！ みんなで数えてみよう！ この動画で出てくるおねえさんのコンピュータを作ってみた、というお話。 おねえさんのコンピュータからアクセスできます。 検索アルゴリズム HTML+CSSでコンピュータの画面を再現してみました。Javascriptを組むより、そっちの方に時間がかかった気がする。 経路の描画にはCanvasを使ってます。 この問題は自己回避歩行(Self-avoiding walk)と呼ばれるものらしいです。 単にグラフ上を移動するだけなので、小さいなサイズなら単純な深さ優先検索(DFS)で解けます(大きなサイズで何が起こるのか・・・それは動画で)。 実装では、DFSによる検索プログラムをWeb Workerを使って走らせ、スタートとゴールを
第１４回：全ての植物をフィボナッチの呪いから救い出す
連載コラム 「生命科学の明日はどっちだ」 目次 第１４回：全ての植物をフィボナッチの呪いから救い出す ロマネスコ（左）とマンデルブロ集合の一部（右） 植物にかかったフィボナッチの魔法 このオーラ全開の野菜、なんだか知ってますか。 そう、最近デパートなんかではよく見るようになったロマネスコというカリフラワーの仲間である。 一説によると、悪魔の野菜とか、神が人間を試すために作った野菜とか言われているらしい。 なんと言っても凄いのは、フラクタル構造がめちゃめちゃはっきり見えること。 まるでマンデルブロ集合みたいだ。 ね、似てるでしょう。フラクタルがこんなにはっきり見える構造物は、他には無いんじゃないかな。 この植物が面白いのは、それだけでは無い。 実の出っ張った部分をつなげていくと、らせん構造がくっきり見えてくるでしょう？ そのらせんの本数を数えてみよう。 右向きのらせんと左向
「√2 = 2の証明」あるいは「斜面と階段のナゾ」
思った以上に沢山の人達から解答をもらったので、せっかくなのでまとめてみました。 みなさんからの解答の中にもありますが、これはもともと「半円を無限に分割したら」というパラドックスから着想を得たものです。 とあるところで話題に出したら大いに盛り上がったのでせっかくなので分かりやすい解答を求めて投げてみた結果です。 続きを読む
論理かるた - 言語ゲーム
今日は証明するカードについて書きます。証明というとなんだか人間にも難しく、機械にやらすには高度な人工知能が必要だと思うでしょう。しかしコンピュータも電気も不要です。なんとこのカードは並べるだけで証明ができてしまうのです！とりあえずどんなのか見てみましょう。 自分でやりたい人は logiccard.pdf と logiccard2.pdf をダウンロードして名刺用紙に印刷してください。用紙のサイズが合わない時は logiccard.svg と logiccard2.svg をイラストレータや Inkscape で編集するといいと思います。 このように印刷して、灰色の部分をポンチで穴を開けます。ホッチキス式のポンチではカード中ほどの穴に届かないので、その場合は手芸用のポンチを使うと良いです。 するとこのような謎めいたカードが出来上がります。 それぞれのカードはベン図になっています。穴の開いてい
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