待ち行列理論（M/M/1モデル）の定理とその証明 | 高校数学の美しい物語ここから冒頭の定理を3段階に分けて証明していきます。けっこう大変です。 平均待ち時間を求めるのが目標ですが，まずは時刻 ttt の時点で行列に並んでいる人数が nnn 人である確率 pn(t)p_n(t)pn(t) について考えます。 微小時間 Δt\Delta tΔt の間に，客が1人増える確率は λΔt\lambda\Delta tλΔt，窓口が1人処理する確率は μΔt\mu\Delta tμΔt である。 Δt\Delta tΔt が十分小さいとき，これらの確率は十分小さいので行列に2つ以上の変化が起きる確率は無視できる。 よって， p0(t+Δt)≒p0(t)(1−λΔt)+p1(t)μΔtp_0(t+\Delta t)\fallingdotseq p_0(t)(1-\lambda \Delta t)+p_1(t)\mu\Delta tp0(t+Δt)≒p0(t)(1−λΔ
