圏論入門としてのホモロジー - 再帰の反復blog
圏論への入門の仕方 ホモロジー コホモロジー 関数のつながりにくさと(コ)ホモロジー 完全系列と圏論的視点 目次 圏論への入門の仕方 ホモロジー 付記:ホモトピーとホモロジーの違い コホモロジー 関数のつながりにくさと(コ)ホモロジー 完全系列と圏論的視点 制約としての完全系列 付記:加群のホモロジーとTor 圏論への入門の仕方 圏論を学ぶきっかけとしては、だいたい 計算機科学、論理学から ホモロジー、代数幾何から の二つがあって、一見すると計算機科学、ロジックの方から入った方が(数学の前提知識をあまり必要としないこともあって)易しいように見える。 でも現実には往々にして、わざわざ圏論という概念を導入する動機やメリットが見えてこないまま色々な言葉の説明がひたすら続いて挫折することになる。高校あたりで「三角関数とか対数とか何の意味があるんだ」「こんなこと何の役に立つんだ」とか言いたくなるのと
反復的集合観と公理的集合論 - 再帰の反復blog
反復的集合観とZFCについて 目次 素朴集合論 素朴集合論の公理 素朴集合論のパラドクス 内包公理の放棄 整礎原理 集合によるコーディング 反復的集合観 集合観から公理へ 巾集合公理 空集合公理 対集合公理と和集合公理 無限公理 部分集合の存在を決める公理(分出公理、選択公理) 置換公理 正則性公理 ZFC クラス 到達不能基数 1. 素朴集合論 素朴集合論における集合のイメージを一言でいうと次のようになる。 集合とは、概念の外延である。 ここに出てくる「概念の外延」というのはいまいちよく判らない言葉だけど、おおざっぱには、概念が当てはまる対象(要素)の全体とか範囲といったことを意味する。 重要なのは、「概念」と「概念の外延」は異なるということ。 「概念の外延」は、概念そのものではなく、その概念が当てはまる対象全体によって定まる何か。ここでは元の概念が何だったのかは捨象される。そのため2つ
字下げ依存構文の解析 - 再帰の反復blog
Python、Haskell、YAMLのように行頭の字下げが文法構造に影響を与えるような構文を、字下げ依存構文(indentation-sensitive syntax)と呼ぶことにする。 Peter J. Landin「The Next 700 Programming Languages」(pdf)では、字下げ依存構文のための規則をオフサイドルールと呼んでいる(6節(3))。 そこでは 句の最初のシンボルをちょうど含んだ右下象限が、句全体を含んでいなければならない。 と説明している。 つまり <first symbol>-------------------------------------> ---------------------------------------------------> --------------------------------------------
モナドの初歩 - 再帰の反復blog
リスト フィリップ・ワドラー(Philip Wadler)は 「How to replace failure by a list of successes: a method for exception handling, backtracking, and pattern matching in lazy functional languages」(1985)で、失敗やバックトラックの可能性がある場合に結果をリストにして返すようにするというテクニックを紹介している。 すべての答えを探索してリストにして返す関数を呼び出しても、遅延評価言語ならば、実際にすべての答えを探索するわけではなく、必要に応じて必要なだけの答えを計算する。そのためリストを返す関数をバックトラック機構の代わりに使うことができるというのがこのテクニックのポイントになる(もちろんバックトラックが使われる全ての場合に適用できる
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