インドの物理学者がひも理論の研究から偶然「円周率」の新しい公式を発見
インド科学研究所の科学者らが、高エネルギー粒子の振る舞いを研究している最中に、偶然「円周率(π)」の新しい表現方法を発見したことを報告しました。 Phys. Rev. Lett. 132, 221601 (2024) - Field Theory Expansions of String Theory Amplitudes https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.132.221601 Indian Institute of Science https://iisc.ac.in/events/iisc-physicists-find-a-new-way-to-represent-pi/ 円周率の新しい公式を発見したのは、インド科学研究所高エネルギー物理学センターのAninda Sinha氏(左)とArnab Saha
素因数分解(3) フェルマー法、２次ふるい法 - wacchoz’s note
以前の記事でもちらっと書きましたが、素因数分解のアルゴリズムは大きなカテゴリーが２つあり、そのうちの１つにフェルマー法、２次ふるい法、連分数法、数体ふるい法が属しています。 今回はフェルマー法、２次ふるい法を紹介していきます。 素因数分解(1) Pollardのρ法 - wacchoz’s note 素因数分解(2) p-1法、p+1法、楕円曲線法 - wacchoz’s note 素因数分解(3) フェルマー法、２次ふるい法 - wacchoz’s note（今ここ） 目次 フェルマー法 ２次ふるい法 平方数の構成法 平方数の構成のプログラム例 「ふるい」とは？ 参考文献 フェルマー法 素因数分解したい数がと分解できたとします。そうすればと分解でき素因数分解できます。そこでこのようなを探すことにします。 xの初期値として、とします。 yの初期値はとします。 を計算する ならが素因数である
すべての自然数を「2±3±5±…±(k番目の素数)」の形で表す - Corollaryは必然に。
2021年9月23日に行われたロマンティック数学ナイト@オンライン #16 で 「オンライン整数列大辞典の未解決問題が解けた話」 というプレゼンをさせていただきました。今回の話はこのイベントで紹介した未解決問題の解説および証明になります（おせーよ）。 素数ものさしってご存知でしょうか？その名の通り、目盛りが素数しかないものさしで、現在でも京大生協でのみ販売されています*1。 素数ものさしのイメージ なんとも不便なものさしですが、 なので「3歩進んで2歩下がる」を繰り返せば、一応すべての自然数を測ることは可能です。しかし、これでは芸がないですね。せっかくならたくさんの素数を使いこなしたいところ。 そこで、すべての自然数を、2から順番に目盛りを1回だけ使って測ってみるのはいかがでしょう？例えば3なら \[ 3 = 2 + 3 + 5 - 7 \]なので、「2歩進んで、3歩進んで、5歩進んで、7
「3の100乗を19で割ったあまりは？」を４通りの方法で計算する - tsujimotterのノートブック
この記事は 日曜数学 Advent Calendar 2015 の 8日目の記事です。（7日目：京大特色入試, コインの問題を解く | kinebuchitomo） ニコニコ動画の「数学」タグを検索するのが日課の日曜数学者 tsujimotter です。 「数学」で検索すると、本当にいろいろな動画が見つかるのです。ぜひお時間あるときに試してみてください。 日曜数学 Advent Calendar ８日目の本日は、そんなニコニコ動画で見つけた動画から１つ、みなさんにご紹介したいと思います。 今回ご紹介したいのは、初音ミクが歌うボカロ曲です。タイトルは 「 を で割ったあまりは？」 です。そのタイトル通り、まさに数学の問題をテーマとした珍しい曲です。まずは、ぜひリンク先の動画をご覧ください。 tsujimotter は、心地よいメロディーが素敵な曲だと思いました。この記事を書いている最中、バッ
「π＞3.05を凄すぎる方法で証明」を整数論的に考える - tsujimotterのノートブック
「」を示す問題が2003年の東大入試で出題されました。これは有名なのでみなさん良くご存じかと思いますが、一方で以下の動画のような解法はご存知でしょうか？ www.youtube.com たいへん面白い解法なので、まずは一度ご覧いただきたいです。動画の解説もとても丁寧です。今回の記事はこの動画の内容を前提としてお話したいと思います。 動画の概要欄にもリンクが載っていますが、Yahoo知恵袋の以下の質問の「その他の回答」に載っていた回答が元ネタだそうです。 detail.chiebukuro.yahoo.co.jp 元ネタの人はどうやって発見したんでしょうね。いやー不思議です。 今回私が考えたいのは、いったいどうしてこんな解法が存在するのであろうかということです。登場するパラメータが絶妙なバランスで構成されていて、このような解法が存在すること自体が非自明です。 今回はその背景にある理屈を整数論
「23」とフェルマーの最終定理 - tsujimotterのノートブック
本日は 2/23 ということで、この日付にまつわる楽しい数学の話をしたいと思います！ お話したいのは、23 という数そのものが持つ性質についてです。 は素数なので、素数についての話かと思った方もいるかもしれません。 もちろん、素数であることは大事なのですが、それだけではありません。 は次のような特徴を持つ素晴らしい数でもあるのです。 を3以上の素数としたとき、 次円分体 の 類数 が より大きくなる最小の は である 整数論を学んだ人にとっては、円分体や類数の意味が理解でき、 そこから23の性質に感動を覚える人も少なくないかと思います。 一方で、円分体や類数をまったく知らない人にとっては、上の説明だけでは何のことかわかりませんよね。私自身、何度か一般向けの講演で上の事実を紹介したことがあるのですが、難しくて理解できなかったという方も多いのではないかと思います。 そんな方でも、今回こそは23
無理関数の不定積分と双曲線、微分形式 - tsujimotterのノートブック
今日考えたいのは、 や というタイプの積分です。 いわゆる無理関数の積分と呼ばれるもので、大学受験でも難関大学の問題として登場するみたいですね。 今回の記事のきっかけとなったのは、清さんによる以下のツイートです： 【清史弘からの提案 7 】 教育系YouTuber の人に向けて、このような動画はどうですか? という内容です。もちろん、YouTuber でない方もご参加ください。 私の考え方は24時間以内にあげようと思っています。 これは、唯一の正解というよりは、いろいろとあってよいと思います。#清史弘からの提案 pic.twitter.com/UokREtslQt— 清 史弘 (@f_sei) 2020年9月13日 上のツイートによると、今回の積分は という変数変換がキーになるようですが、いったいどこからこの式が現れたのか説明せよ、というのが問題です。 清さんのツイートの引用リツイートに、
42年ぶりの復刊！ 科学史上最大の古典『プリンシピア』に挑戦（中野 猿人）
日本語版としては永く絶版状態であったニュートンの代表作『プリンシピア』。たびたび復刊が叫ばれてきたが、ついに42年ぶりにブルーバックスから3ヵ月連続刊行にて復刊されることとなった。それを記念して、今回は訳者である中野猿人（なかの・ましと、1908-2005）氏の「訳者解説」（『プリンシピア 第Ⅰ編』に収録）をWeb用に再編集して特別に公開する。この夏、近代科学発展の端緒をその目で確かめてみてはどうだろうか。 本書（『プリンシピア 自然哲学の数学的原理』）はサー・アイザック・ニュートン（Sir Isaac Newton, 1642-1727）原著『プリンシピア』（“Principia”；くわしく書けば “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica”）の全訳である。 改めて述べるまでもなく、原著はニュートンの主著であり、今日の物理学の原点ともいうべき
A prime pencil: truncatable primes - Online Technical Discussion Groups—Wolfram Community
I just got a set of these pencils, from Mathsgear. The number printed on it is prime, and will remain so as you sharpen the pencil from the left, all the way down to the last digit, 7. Here is a recursive construction of all such truncatable primes. TruncatablePrimes[p_Integer?PrimeQ] := With[{digits = IntegerDigits[p]}, {p, TruncatablePrimes /@ (FromDigits /@ (Prepend[digits, #] & /@ Range[9]))}
東大数理の小林先生があまりに格好よかったのでついでにいくつか話題を紹介する | 相転移プロダクション
このサイトは学部では早稲田で物理を, 修士では東大で数学を専攻し, 今も非アカデミックの立場で数学や物理と向き合っている一市民の奮闘の記録です. 運営者情報および運営理念についてはこちらをご覧ください. 中高の数学の復習から専門的な数学・物理までいろいろな情報を発信しています. 中高数学に関しては自然を再現しようや役に立つ中高数学 中高数学お散歩コース 大学数学に関しては現代数学観光ツアーなどの無料の通信講座があります. その他にも無料の通信講座はこちらのページにまとまっています. ご興味のある方はぜひお気軽にご登録ください! 小林俊行先生に関するスーパー格好いい紹介記事が Twitter で流れてきて深い感銘を受けた. ツイート自体は これ だ. 「心に残る最高の先生」 http://faculty.ms.u-tokyo.ac.jp/~surinews/news2006-2.html#e
多倍長整数 @ 多倍長整数 @ 素因数分解 @ IDM
最終更新日:2003.11.29 目次 概要 多倍長整数とは 巨大整数の構造 自然数の表現 負数の表現 不変性と再確保 YMPについて 移植性 入手法とライセンス 概要 多倍長整数以下の一連の文書では、多倍長整数の実装に用いられる典型的なアルゴリズムを論じ、C言語によって具体的な実装を与える。 一番上に戻る 多倍長整数とは 多倍長整数とは、コンピュータに巨大な整数を扱わせるための仕組みである。 実在する多くのコンピュータの演算装置は、初めからある程度の大きさまでの整数を演算できるように作られている。例えば、2003年現在個人用としてIntel x86シリーズを搭載したコンピュータが広く普及しているが、これは32bitの整数を演算するための機械語を持っている。しかし、これだけでは十分でないことがある。32bitでは0～232-1=4294967295の範囲しか表すことができない。本格的な商用
円周率が22/7より小さいことの証明 - Wikipedia
有名な数学的事実であるところの、円周率 π が 22/7 より小さいことの証明（えんしゅうりつが 7 ぶんの 22 よりちいさいことのしょうめい）は、古代ギリシアのアルキメデスに始まり、何通りも与えられている。本項では、そのうちの一つで、微分積分学の初等的なテクニックのみを用いる、近年に発見された証明を扱う。この証明は、その数学的な美およびディオファントス近似の理論との関係によって、現代数学においても注目されてきた。スティーヴン・ルーカスは、これを「π の近似に関する最も美しい結果の一つ」と呼び[1]、ジュリアン・ハヴィルは、円周率の連分数近似の議論を終える際に「この結果に言及せざるを得ない」と述べた上で証明を示している[2]。 もし円周率が 3.14159 に近いことを知っていれば、22/7（3.142857 に近い）よりも小さいことは自明である。しかし、π < 22/7 を示すのは、π
違法素数 - Wikipedia
違法素数（いほうそすう/英: illegal prime）とは、素数のうち、違法となるような情報やコンピュータプログラムを含む数字。違法数（英語版）の一種である。 2001年、違法素数の1つが発見された。この数はある規則に従って変換すると、DVDのデジタル著作権管理を回避するコンピュータプログラムとして実行可能であり、そのプログラムはアメリカ合衆国のデジタルミレニアム著作権法で違法とされている[1]。 経緯[編集] DVDのコピーガードを破るコンピュータプログラムDeCSSのソースコード 1999年、ヨン・レック・ヨハンセンはDVDのコピーガード (Content Scramble System; CSS)を破るコンピュータプログラム「DeCSS」を発表した。ところが2001年5月30日、アメリカ合衆国の裁判所は、このプログラムの使用を違法としただけではなく、ソースコードの公表も違法である
数なのに法律違反、「違法な素数」とは？ DVDと素数の奇妙な関係 | JBpress(日本ビジネスプレス)
DVDのコピーガード CSS IT世界におけるネットセキュリティを支える暗号技術。例えば、ウエブ上のSSL通信は共通鍵暗号と公開鍵暗号を組み合わせて行われています。 暗号技術を支えるのが、素因数分解問題や離散対数問題といった数学的な難問であり、そこに関わるのが素数です。 ここで紹介する素数は同じセキュリティでもちょっと様相が異なるお話です。 DVDには無断複製を防止するためにコピーガードがかけられています。 多くのDVDソフトに採用されているのがCSS（Content Scramble System）と呼ばれるコンテンツ暗号システムです。 その仕組みのポイントは、映像コンテンツを暗号化し、その暗号鍵を複製できないエリアに記録することです。そのためDVDをパソコンなどで単純にコピーしても暗号鍵自体は複製できません。したがってDVDの再生ができない仕組みです。 DVDの暗号を解読せよ DeCS
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伝説の大学入試問題（数学）
日本女大理
「円周率の日々」数字を無限に並べて計算してみたら（完全版） | 科学コミュニケーターブログ
Maths Gear - Mathematical toys and curiosities
The Mandelbrot Set in HTML5 Canvas & JavaScript
Where can I find Gonthier's Coq code proving the four color theorem?