記述集合論的命題の強制可能性について
ゼルプスト殿下 @tenapyon 可測基数はラムゼイ基数の定義の「サイズκの均質集合」を「定常な均質集合」に書き換えたやつをみたすなあ。#個人の感想です 2017-03-08 22:10:29 ゼルプスト殿下 @tenapyon @tenapyon いや、いまちょっと《補解析集合に対する完全集合定理が強制法で壊せない》という命題と同値な見かけ上もっと弱い命題がないかと考えていたのよ。んで、《〜》の命題を保証する巨大基数公理としては「いくらでも大きいラムゼイ基数がある」ってのがあるなあと。 2017-03-08 22:17:16
読んで学べる論理学を探しているひとへ――古典命題論理から様相命題論理まで - sho__yamaguchi’s blog
論理学を基礎から〈テキストを読むこと〉だけで独習しようとするひと――こうしたひとにとって役立つかもしれない講義テキストを置いておく。これは某大学で私が担当している論理学の講義のテキストであり、その授業では安井邦夫『現代論理学』（世界思想社、1991年（新装版2021年））も教科書に指定されている。ただし、以下のテキストは、安井の教科書がなくても読むことができる（他方で、「論理学Ⅰ」のテキストを読み終えた後に、その続きとして安井本で述語論理などを学び進めることもできる）。 ちなみに、論理学をまなぼうとするひとの中には《ふつうの散文は却って読みにくく、とりあえず記号を並べてほしい（あとは自分で考えるから）》という方もいると思う。そうした方にとっては、残念ながら、私のテキストは却って読みづらいだろう。なぜなら私のテキストは――最近はこうした言葉づかいがあるらしいが――形式化の背景にある「お気持ち
パースの法則 - Wikipedia
パースの法則（パースのほうそく）は哲学者であり論理学者であるチャールズ・サンダース・パースにちなむ論理学における法則である。彼の最初の命題論理の公理化において、この法則を公理に採用した。この公理は、含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における排中律であると考えることもできる。 命題計算では、パースの法則は ((P→Q)→P)→P のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Pについて、命題Qが存在して、「PならばQ」からPが真であることが従うときには、Pは真でなければならないとなる。とりわけ、Qとして偽を選んだ場合には、Pから偽が従うときは常にPが真であるならば、Pは真であるとなる。 パースの法則は直観論理や中間論理では成立せず、演繹定理だけからでは導くことができない。 カリー＝ハワード同型対応の下では、パースの法則は継続演算子(例えばSchemeにおけるcall/cc)の型で
世界で一番ピュアな論理型プログラミング言語Hilbert(ヒルベルト)をRubyで作った. - Qiita
あいさつ こんにちは. 皆さん如何お過ごしでしょうか. 本日の日付を確認致しましたらもう2014年も残り一月半と改めて認識させられ驚いています. こうも時間の流れが早いと死ぬのもすぐですね. 懸命に生きようと思います. さて今回はHilbertという論理型プログラミング言語を作りました. （カジュアルに作ってるように見えますが、割と本気です.） まだまだやるべき事は本当に多くて、飴ちゃんあげるのでコミッター大募集です. （今ならカントリーマームもつけるのでお願いします.） HP: http://hilbert-lang.org/ja/ Github: https://github.com/gogotanaka/Hilbert 前座 世界で一番ピュアで豊かなプログラミング言語 この言語で仮定されているのは恒真（トートロジー）のみです. （厳密に言うと自然演繹も仮定されていますが.） 当初、自
「わたしはウソをつきません」と言い張る命題やプログラムを書けるのか？ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
エイプリルフールに「わたしはウソをつきません。」と書きました。たいした意味はなくて、すぐにウソだと分かるようなひと言のつもり。 そしたら、id:sasa2718さんに、 「この文は証明可能である」という命題を構成するとその命題は証明可能でしょうか？ というクイズ(?)を出されてしまいました。 「私はウソつきです」が矛盾を引き起こしそうなことは誰でも感じるでしょう。一方、「私はウソをつきません」だと、矛盾する言明かどうかは分からないですが、直感的に胡散臭い気はしますよね。「私はウソをつきません」と言っている人を信じますか？ ふつう信じないでしょ。 さて、「この文は証明可能である」という命題も、「私はウソをつきません」と言っている人みたいなもので、どうも胡散臭い。「この文は証明可能である」はホントなんでしょうか、ウソなんでしょうか？ ある程度ちゃんとした形に定式化してみます。このテの話題は何度
オンラインで入手できる数理論理学・数学基礎論のテキスト
オンラインで入手できる数理論理学・数学基礎論のテキスト 数理論理学、数学基礎論の教科書的に使えるテキスト（講義ノート、サーヴェイ、モノグラフ等）のうち、オンラインで入手できるものを集めました。 入門的概説 論理一般 高階論理と型理論 直観主義論理 コンビネータとラムダ計算 時相論理および時制論理 様相論理 適切さの論理 自然言語の論理 空間論理 モデル理論 安定性理論 無限論理 計算可能性理論および再帰理論 集合論 pcf理論 記述集合論 実数の集合論 選択公理 強制法と内部モデル 連続体仮説 NF 証明論と構成的数学 順序数解析 算術の体系と不完全性 証明可能性論理 線形論理 構成的数学 代数的論理と圏論 ブール代数 普遍代数 量子論理 圏論 歴史 入門的概説 [▲] 加茂静夫，「数理論理学（命題論理と述語論理）」．[PDF] 嘉田勝，「数理論理学 講義ノート（2013年度版）」． St
Essential Incompleteness of Arithmetic Verified by Coq
Abstract A constructive proof of the Gödel-Rosser incompleteness theorem has been completed using the Coq proof assistant. Some theory of classical first-order logic over an arbitrary language is formalized. A development of primitive recursive functions is given, and all primitive recursive functions are proved to be representable in a weak axiom system. Formulas and proofs are encoded as natural
Method of analytic tableaux - Wikipedia
General method[edit] The main principle of propositional tableaux is to attempt to "break" complex formulae into smaller ones until complementary pairs of literals are produced or no further expansion is possible. Initial tableau for {(a⋁¬b)⋀b,¬a} The method works on a tree whose nodes are labeled with formulae. At each step, this tree is modified; in the propositional case, the only allowed chang
シークエント計算 - Wikipedia
制約: (∃L) と (∀R) の規則において、変項 は と に自由出現をもたない。 なお、(∃L) と (∀R) の規則、および、制約は次を採用してもよい。 制約: (∃L) と (∀R) の規則において、変項 は に自由出現をもたない。 直観的説明[編集] 上記の規則群は「論理規則」と「構造規則」に分けられる。論理規則は帰結関係 の右辺か左辺に新たな論理式を導入する。一方、構造規則はシークエントの構造を操作し、論理式の正確な形を無視する。例外として同一性の公理 (I) とカット規則 (Cut) がある。 形式化されているものの、これらの規則は古典論理的に直観的に読み解くことができる。例えば、(∧L1) 規則を見てみよう。これは、A を含む論理式の列から Δ が証明される場合は常に A∧B という（より強い）仮定からも Δ が導かれることを示している。同様に、(¬R) 規則 は Γ と
ホワット・ア・ワンダフル・ワールド The Coq Proof Assistant A Tutorial (1) 宣言
The Coq Proof Assistant A Tutorial を参考にしつつ，Coq について勉強していこうと思っています． まずは，Windows を使っている人は，ここから， coq-8.0pl3-win.exeをダウンロードして，ダブルクリックして Coq (IDE 付き) をインストールしておいてください． Coq は Calculuc of Inductive Constructions という論理体系に基づいた，定理証明支援系なのだそうです． 対話的に形式的な証明を構成していくことができて，さらにそれを，そのまま関数型プログラムの仕様として扱うことができるとのこと． このチュートリアルでは Gallina と呼ばれる基本的な言語仕様だけを扱うそうで，発展的な情報は Coq Reference Manual とか Coq'Art を参照せよ，とのこと． とりあえず，C:\
Getting started
The Coq Proof Assistant A Tutorial Version 1 Gérard Huet, Gilles Kahn and Christine Paulin-Mohring LogiCal Project 1This research was partly supported by IST working group “Types” Getting started Coq is a Proof Assistant for a Logical Framework known as the Calculus of Inductive Constructions. It allows the interactive construction of formal proofs, and also the manipulation of functional programs
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Why don't mathematicians like second-order logic?
Axiom System: Lukasiewicz
Łukasiewicz logic - Wikipedia
Compactness theorem - Wikipedia
Implicational propositional calculus - Wikipedia
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Curry–Howard correspondence - Wikipedia
1 一階述語論理の完全性 「トートロジーは証明可能である．」 これが，一階述語論理の完全性定理とよばれる有 名な定理です．ゲーデルによって証明されましたので，ゲーデルの完全性定