握手の補題とエルデシュガライの定理 | 高校数学の美しい物語
点（頂点）を線（辺，枝とも呼ぶ）で結んだものをグラフと言い，ある頂点から出ている辺の本数をその頂点の次数と言います。 全ての枝には端点が二つあるので，次数として二回カウントされます。そのため，握手の補題が成り立つのは明らかです。 例えば図のグラフ（図内の数字は頂点番号を表す）において，d1=4, d2=2, d3=1,d4=2, d5=3d_1=4,\:d_2=2,\:d_3=1,\\d_4=2,\:d_5=3d1=4,d2=2,d3=1,d4=2,d5=3 となり，全ての次数の和は枝数 666 の二倍となっています。 握手の補題から以下のようなことも言えます。 主張2：特に，グラフの次数の総和は偶数 主張3：次数が奇数であるような頂点の数は偶数個 いずれも大した主張ではありません，知らなくても簡単に導けます。しかし，数オリの問題やグラフ理論に関する定理の証明ではときどき握手の補
ロンスキアンによる線形独立性の判定、証明 | 趣味の大学数学
ロンスキアンとは2階の線形微分方程式 \[ \begin{aligned}\frac{d^2 u}{dt^2} + a (t)\frac{d u}{dt}+b(t) u=0\end{aligned} \] について考えましょう。これを満たす線形独立な関数は、基本解と呼ばれます。 2階の線形微分方程式では、基本解はちょうど2つ存在し、すべての解はその線形結合で表せます。つまり、一般解を探すためには、線形独立な2つの解を見つければ良いわけです。 参考：線形微分方程式はなぜ指数関数e^{λt}と仮定して解いて良いか では、何らかの方法で見つけた関数が線形独立かどうか、どうやって確かめれば良いでしょうか。 それを判定する方法のひとつが、ロンスキアン（Wronskian）、ロンスキー行列式と呼ばれる行列式です。 \[ \begin{aligned}W(u_1,u_2 )(t):= \det \beg
ヴァンデルモンド行列式の証明と応用例 | 高校数学の美しい物語
i=1,⋯ ,ni=1,\cdots, ni=1,⋯,n について，iii 列目が 1,xi,xi2,⋯ ,xin−11,x_i,x_i^2,\cdots,x_i^{n-1}1,xi,xi2,⋯,xin−1 である n×nn\times nn×n 行列： Vn=(111⋯1x1x2x3⋯xnx12x22x32⋯xn2⋮⋮⋮⋱⋮x1n−1x2n−1x3n−1⋯xnn−1)V_n=\begin{pmatrix}1&1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n\\x_1^2&x_2^2&x_3^2&\cdots&x_n^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&x_3^{n-1}&\cdots&x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}Vn=⎝⎛1x1x12⋮x1n−1
LU decomposition - Wikipedia
In numerical analysis and linear algebra, lower–upper (LU) decomposition or factorization factors a matrix as the product of a lower triangular matrix and an upper triangular matrix (see matrix decomposition). The product sometimes includes a permutation matrix as well. LU decomposition can be viewed as the matrix form of Gaussian elimination. Computers usually solve square systems of linear equat
【徹底解説】テプリッツの定理＜複素内積空間＞ | Academaid
$V$を$n$次元複素内積空間，$F$を$V$の線型変換とする。$F$が$V$の適当な正規直交基底に関して対角行列で表現されるための必要十分条件は，$F$が正規変換であることである。 行列の標準化に関する非常に重要な定理です。 証明 $F$が正規変換であるとき，定義より$F^{\ast}F=FF^{\ast}$を満たします。したがって，可換な合成写像と上三角行列の性質より，$V$の適当な正規直交基底$\beta$に関する表現行列$[F]_{\beta},[F^{\ast}]_{\beta}$はともに上三角行列になります。$A=[F]_{\beta}$とおくと，表現行列の定義より$A^{\ast}=[F^{\ast}]_{\beta}$となるため，$A$と$A^{\ast}$はともに上三角行列になります。ところで，$A^{\ast}$は$A$の随伴行列ですので，$A$が上三角行列であることか
うさぎでもわかる線形代数 第22羽 ジョルダン標準形
こんにちは、ももやまです。 今回は、線形代数の中でもかなりの難易度を誇り、期末試験や院試などで出題されるジョルダン標準形がどんなものなのかを簡単に説明し、3次ジョルダン標準形までの求め方を例題や練習問題を用意し、（たぶん）わかりやすくまとめています。 ※注意 ジョルダン標準形の求め方が知りたい方は、項目3以降をご覧ください。 前回の記事「うさぎでもわかる線形代数 第21羽」はこちら↓ www.momoyama-usagi.com １．ジョルダン標準形とは 行列の中には対角化ができないものもありました。例えば、\[ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{array} \right) \]は、2次正方行列なのに固有ベクトルが1つしか求められないため、対角化ができませんね*1。 しかし、対角化できない行列でもできる限り対角行列に近い形にする
べき零行列の定義・例・性質7つとその証明
定義（べき零行列） A を n 次正方行列とする。ある正の整数 k が存在して， \color{red} \large A^k=O とできるとき， A をべき零行列（冪零行列; nilpotent matrix）という。
行列の固有多項式・最小多項式の定義・求め方・性質
定義（固有多項式） A を n 次正方行列とする。このとき， \color{red}\large p_A(\lambda)=\det (\lambda I_n-A) を固有多項式 (characteristic polynomial) という。I_n は n 次単位行列である。 行列式の定義を考えることで， p_A(\lambda) は最高次が \lambda^n となる多項式になっていることが分かるでしょう。 なお， p_A(\lambda)=0 の解 \lambda\in\mathbb{C} を固有値 (eigenvalue) といいます。 固有多項式の求め方 固有多項式を求めるには，行列式 \det (\lambda I_n -A) の計算をすればよいです。これについては，固有値の求め方の途中で現れるため，以下が参考になると思います。
シルベスターの慣性法則の意味と証明 | 高校数学の美しい物語
xxx についての二次式と見て平方完成すると， f(x,y)=2(x+y)2−y2f(x,y)=2(x+y)^2-y^2f(x,y)=2(x+y)2−y2 二乗の係数は 222 と −1-1−1 であり，プラスが1つ，マイナスが1つ yyy についての二次式と見て平方完成すると， f(x,y)=(y+2x)2−2x2f(x,y)=(y+2x)^2-2x^2f(x,y)=(y+2x)2−2x2 二乗の係数は 111 と −2-2−2 であり，プラスが1つ，マイナスが1つ このように，平方完成のやり方は複数ありますが，どのように平方完成しても「各符号の数」は変わりません。これがシルベスターの慣性法則です。 次は，冒頭の主張1～3が同じ意味であることを説明します。2と3については「行列の合同」の意味がわかれば簡単です。 2と3が同じ意味であることの説明 2つの対称行列 A,BA,BA,B の間に
グラム行列の定義と主な性質3つ
グラム行列とは， (i, j) 成分がベクトル \boldsymbol{x_i},\boldsymbol{x_j} の内積になる行列のことです。これについて，定義と性質を証明付きで解説しましょう。 定義（グラム行列） 数ベクトル \boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2},\dots, \boldsymbol{v_n}\in\mathbb{C}^n に対し，(i,j) 成分が \boldsymbol{v_i} と \boldsymbol{v_j} の内積となる行列 \color{red} G = (\langle \boldsymbol{v_i}, \boldsymbol{v_j}\rangle) ，すなわち \color{red} G= \begin{pmatrix}\langle \boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_1}\rangle
双線形性、多重線形性の意味と例 - 具体例で学ぶ数学
写像（１変数関数）$f$ が、以下の２つの性質を満たすとき、 ・$f$ には線形性がある ・$f$ は線形である ・$f$ は線形写像である などと言います。 性質１： 任意の $x,y$ に対して $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 性質２： 任意の $a,x$ に対して $f(ax)=af(x)$ 微分、積分、期待値など、多くの重要な写像は線形性を持っています。 写像（２変数関数）$f$ に対して、それぞれの入力に関して線形性が成り立つ時、 ・$f$ には双線形性がある ・$f$ は双線形写像である などと言います。 それぞれの入力に関して線形性が成り立つの定義をもう少しきちんと述べると、 １つめの入力について線形性が成立： $f(x_1+x_2,y)=f(x_1,y)+f(x_2,y)$ $f(ax,y)=af(x,y)$ ２つめの入力について線形性が成立： $f(x,y_1+y_
基底の変換行列とは～定義と性質をわかりやすく～
一つのベクトル空間に対し，別の2つの基底を取ったときに，その関係性を述べる「基底の変換行列」について，その定義と性質を分かりやすく紹介します。「線形写像の表現行列」との比較も行います。 基底の変換行列とは n 次元ベクトル空間の基底を \{ \boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2},\dots, \boldsymbol{v_n}\} としましょう。また，それとは別の基底 \{ \boldsymbol{v'_1}, \boldsymbol{v'_2},\dots, \boldsymbol{v'_n}\} を取りましょう。このとき， \{\boldsymbol{v'_k}\} は \{\boldsymbol{v_k}\} を用いて \begin{aligned}\boldsymbol{v'_1} &= p_{11} \boldsymbol{ v_1}+p_{21}
PAAとSAX - LostMemories
今日はPAAとSAXについて調べていました。インターネット上で探しても、英語の説明しか出てこないんで結構困ります。 なので、助手のO先生に講義をしていただいて概要をつかんでみました。PAA(Piecewise Aggregate Approximation)は、ある時系列データを特定の長さに分割して、その分割した区間で１つの値を出していくというアルゴリズム。たとえば、長さが100の時系列を10個に区切るとすると、最終的には10個のPAA変換されたデータ列ができます。こういう意味で、次元の削減(Dimension Reduction)ができるってわけですね。なるほど〜。 時系列データで「次元」というと、データの数のことを指すっぽいです。今までは、ベクトルみたいに、それぞれ独立したデータ列のようなイメージだったので、今日は１つ勉強になりました。 で、SAX(Symbolic Aggregate
汎用検索ツリー - Wikipedia
汎用検索ツリー (GiST: Generalized Search Tree) はディスク上に木構造の検索機能を実現する データ構造 と API である。 GiSTはB+木を一般化したもので、並列実行性能が高くリカバリが可能な高さがバランスされた検索木のフレームワークを提供する。 また、保存できるデータ型や検索クエリに制限が無い。 GiSTは良く利用されるインデックス（B+木, R木, hB木, RD木 など）の実装に利用できる。 また、新しいデータ型に対して特化したインデックスを開発することも容易である。 ただし、GiST を使っても直接的には高さバランスではないツリー構造 (八分木やトライ木) を実装することはできない。 また、GiST は可逆および非可逆の圧縮をサポートしているが、各ノードのデータ型は同一でなければならない。 リーフにはノードとは異なる型を用いることもできる。 データ
Minimum bounding box - Wikipedia
A sphere enclosed by its axis-aligned minimum bounding box (in 3 dimensions) In geometry, the minimum bounding box or smallest bounding box (also known as the minimum enclosing box or smallest enclosing box) for a point set S in N dimensions is the box with the smallest measure (area, volume, or hypervolume in higher dimensions) within which all the points lie. When other kinds of measure are used
局所性鋭敏型ハッシュ - Wikipedia
局所性鋭敏型ハッシュ（きょくしょせいえいびんがたハッシュ、英語: locality sensitive hashing）とは高次元のデータを確率的な処理によって次元圧縮するための手法である。ハッシュの基本的な考え方は類似したデータが高確率で同じバケットに入るようにデータを整理するというものである。多くの場合においてこのバケットの数は入力されるデータサンプルの数よりもずっと小さくなる。 局所性鋭敏型ハッシュを行うためのパラメータの集合をLSH族(Locality Sensitive Hashing Family)と呼ぶ。LSH族は距離空間と閾値、近似因子によって定義される。LSH族[1][2]は2点について次の2つの性質、 ならばとなる確率は以上である。 ならばとなる確率は以下である。 を満たす関数により与えられる族であり，はから一様乱数にしたがって選択される。このときは2点の距離を表す関数
kd木 - Wikipedia
3次元のkd木。根セル（白）をまず2つの部分セルに分割（赤）し、それぞれをさらに2つに分割（緑）している。最後に4つのセルそれぞれを2つに分割（青）している。それ以上の分割はされていないので、最終的にできた8つのセルを葉セルと呼ぶ。黄色の球は木の頂点を表している。 kd木（英: kd-tree, k-dimensional tree）は、k次元のユークリッド空間にある点を分類する空間分割データ構造である。kd木は、多次元探索鍵を使った探索（例えば、範囲探索や最近傍探索）などの用途に使われるデータ構造である。kd木はBSP木の特殊ケースである。 kd木は、座標軸の1つに垂直な平面だけを使って分割を行う。BSP木では分割平面の角度は任意である。さらに一般的には、kd木の根ノードから葉ノードまでの各ノードには1つの点が格納される[1]。この点もBSP木とは異なり、BSP木では葉ノードのみが点（ま
Mel-frequency cepstrum - Wikipedia
In sound processing, the mel-frequency cepstrum (MFC) is a representation of the short-term power spectrum of a sound, based on a linear cosine transform of a log power spectrum on a nonlinear mel scale of frequency. Mel-frequency cepstral coefficients (MFCCs) are coefficients that collectively make up an MFC.[1] They are derived from a type of cepstral representation of the audio clip (a nonlinea
データ構造図 - Wikipedia
データ構造図の一例 データ構造図（Data structure diagram、DSD）は、構成要素とそれらの関係を文書化するグラフィカルな表記法とそれらを束縛する制約を提供することで概念スキーマを記述するデータモデルの一種である。 DSDの基本的グラフィック要素は、実体を表す箱と関係を表す矢印である。データ構造図は特に複雑なデータ実体を文書化する際に有効である。 データ構造図 データ構造図は、データ辞書内のデータ要素の構造を描くのに使われる一種のダイアグラムである。データ構造図は、そのようなデータ辞書のエントリ内の構成仕様をグラフィカルに表したものである[1]。 データ構造図は、実体関連モデル（ERモデル）の拡張である。DSDにおいて、実体を表す箱の外ではなく中に属性が書かれ、属性から構成される箱同士を結ぶように関係を表す矢印が引かれ、実体と実体を束縛する制約を指定する。ERモデルは素朴
Universal Dependencies
Universal Dependencies Universal Dependencies (UD) is a framework for consistent annotation of grammar (parts of speech, morphological features, and syntactic dependencies) across different human languages. UD is an open community effort with over 600 contributors producing over 200 treebanks in over 150 languages (see the bottom of this page for updated numbers from the latest release). If you ar
brat rapid annotation tool
Learn more: What is it? What can you do with it? What does it do? What do I need to run it? Create your own local brat installation: Download v1.3 Manage your own annotation effort Easy to set up: installation instructions Instructions for upgrading to v1.3 (Crunchy Frog) Open source (MIT License) Current version: v1.3 Crunchy Frog (2012-11-08).
CeVIO Official Site
2024.06.21 『CeVIO AI』アップデート（バージョン9.1.14.0） 2024.06.20 『CeVIO AI』バージョン9.1.13.0正式公開 2024.05.21 『ずんだもん』『四国めたん』CeVIO AI ソングボイス発売決定！ 『CeVIO AI』バージョン9.1.14.0を公開致しました。 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ ■主な更新内容 ・一度もソングトラックを選択せずソングを再生するとエラーが発生する不具合、 非選択ソングトラックのキャストを変更するとエラーが発生する不具合等を修正。 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 『CeVIO AI』を起動してアップデートしてください。 アップデートの詳細や操作方法等は、ユーザーズガイドをご覧ください。 『CeVIO AI』バージョン9.1.13.0を正式
ConceptNet
What is ConceptNet? ConceptNet is a freely-available semantic network, designed to help computers understand the meanings of words that people use. ConceptNet originated from the crowdsourcing project Open Mind Common Sense, which was launched in 1999 at the MIT Media Lab. It has since grown to include knowledge from other crowdsourced resources, expert-created resources, and games with a purpose.
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X-tree - Wikipedia
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バイト対符号化 - Wikipedia